Брайан Кристиан, Том Гриффитс

Алгоритмы для жизни: Простые способы принимать верные решения

Переводчик М. Волохова

Редактор Д. Сальникова

Руководитель проекта М. Шалунова

Корректоры О. Гриднева, Н. Витько

Компьютерная верстка А. Абрамов

Дизайн обложки Ю. Буга

© Brian Christian, Tom Griffiths, 2016

All rights reserved

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина Паблишер», 2017

Все права защищены. Произведение предназначено исключительно для частного использования. Никакая часть электронного экземпляра данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для публичного или коллективного использования без письменного разрешения владельца авторских прав. За нарушение авторских прав законодательством предусмотрена выплата компенсации правообладателя в размере до 5 млн. рублей (ст. 49 ЗОАП), а также уголовная ответственность в виде лишения свободы на срок до 6 лет (ст. 146 УК РФ).

* * *

Нашим семьям

Введение

Алгоритмы для жизни

Представьте, что вы ищете квартиру в Сан-Франциско – в городе с самой катастрофической ситуацией в этом плане. Стремительно растущий технологический сектор и жесткое законодательство по зонированию городской территории, ограничивающее строительство новой недвижимости, привели к тому, что по стоимости жилья город встал на один уровень с Нью-Йорком, при том что уровень конкуренции здесь в разы выше. Объявления о выставленных на продажу квартирах исчезают за считаные минуты, на осмотр свободного дома собираются толпы, и зачастую ключи от квартиры оказываются в руках у того, кто первым успел всучить чек арендодателю.

Жестокие законы рынка не оставляют возможности для принятия взвешенного решения (а именно такие решения должны бы принимать рациональные потребители). В отличие от, скажем, покупателя в торговом центре или интернет-магазине, потенциальный житель Сан-Франциско должен решать мгновенно: либо соглашаться на апартаменты еще при осмотре, отметая при этом другие варианты, либо уходить и не возвращаться.

Чтобы было понятнее, предположим, что вы беспокоитесь исключительно о максимальном повышении ваших шансов на получение самой лучшей квартиры. И сразу же вы оказываетесь перед дилеммой: как понять, что эта квартира – тот самый лучший вариант, если вы изначально не определили основные параметры и условия? И каким образом вы должны определить исходные параметры, если не посмотрите (и не упустите) ряд вариантов? Чем больше информации вы соберете, тем быстрее вы поймете, что перед вами та самая квартира, которую вы искали, – хотя, скорее всего, вы уже ее упустили.

Так что же делать? Каким образом вы примете взвешенное решение, если сам факт обдумывания ставит под угрозу результат? Запутанная ситуация, граничащая с абсурдом.

Обычно большинство людей интуитивно считают, что в подобной ситуации необходим баланс между «отмерить» и «отрезать». То есть вы должны просмотреть достаточное количество квартир, чтобы определить свои стандарты, и далее выбрать подходящий вариант. Понятие баланса в этой ситуации, по сути, абсолютно верно. Однако, что именно вкладывается в понятие баланса, большинство людей четко объяснить не могут.

Но, к счастью, есть ответ.

Тридцать семь процентов.

Если вы хотите максимально увеличить свои шансы на получение лучшей квартиры, потратьте 37 % вашего времени и усилий (11 дней, если вы задались целью найти квартиру за месяц) на изучение вариантов без каких бы то ни было обязательств. Оставьте вашу чековую книжку дома, вы просто примеряетесь. Но после этого будьте готовы действовать незамедлительно – внести депозит и уладить прочие формальности – ради того варианта, который превзойдет по всем параметрам остальные.

Это не просто компромисс между тем, чтобы отмерить и отрезать. Это обоснованно оптимальное решение.

Мы знаем это, потому что поиск квартиры принадлежит к разряду математических задач – «задач об оптимальной остановке». Правило 37 % определяет простую последовательность шагов, которая призвана решать подобные проблемы. На языке программистов она называется алгоритмом.

Поиски квартиры – всего лишь один из примеров ситуации, где работает принцип оптимальной остановки. Решение придерживаться или не придерживаться определенной последовательности действий становится своего рода неотъемлемым элементом нашей повседневной жизни, возникая снова и снова в той или иной ипостаси.

Сколько раз следует объехать квартал, чтобы найти подходящее место для парковки?

Как долго стоит испытывать удачу в рискованном предприятии, прежде чем забрать свою долю?

Сколько ждать лучшего предложения на этот дом или автомобиль?

Тот же вопрос часто возникает и в других, еще более драматичных ситуациях, например в любовных отношениях. Правило оптимальной остановки – это та же теория серийной или последовательной моногамии. С помощью простых алгоритмов можно решить не только задачу по аренде жилья, алгоритмы можно применить ко всем жизненным ситуациям, в которых мы сталкиваемся с вопросом оптимальной остановки.

Люди пытаются разрешить такие спорные вопросы каждый день (хотя поэты наверняка потратили больше чернил на описания своих сердечных мук, а не проблем с парковочными местами), и в некоторых случаях это даже мучительно. Однако эти мучения необязательны. По крайней мере, с математической точки зрения все эти вопросы вполне решаемы. Каждый озабоченный своими проблемами арендатор, водитель или поклонник – люди, которые окружают вас ежедневно, – по сути, пытаются заново изобрести колесо. Им не нужен психоаналитик, им просто необходим алгоритм. В таких ситуациях психоаналитики обычно советуют найти оптимальный баланс между импульсивностью и зацикливанием на проблеме.

Алгоритм же подсказывает, что этот баланс и есть 37 %.

Существует определенный набор проблем, с которыми сталкиваются все, – проблем, которые обусловлены непосредственно тем фактом, что наша жизнь ограничена определенным пространством и временным отрезком. Что мы должны сделать, а за что лучше не браться сегодня или через 10 лет? До какой степени стоит пустить все на самотек и как понять, что упорядоченность становится чрезмерной? Где находится баланс между привнесением в жизнь нового опыта и следованием излюбленным привычкам, который поможет взять от жизни все?

Каждому из нас может казаться, что его проблемы особенные, однако это не так. Более полувека назад программисты бились над решением задач, эквивалентных этим повседневным проблемам (и в большинстве случаев успешно их решали).

Как должен процессор распределить свое «внимание» таким образом, чтобы выполнить все запросы пользователя с минимальными затратами своих ресурсов и при этом максимально быстро? В какой момент процессор должен переключаться с одной задачи на другую и как много задач должны быть приоритетными? Как максимально эффективно использовать ограниченные ресурсы памяти? Стоит ли продолжить собирать данные или необходимо действовать, используя уже имеющуюся информацию? Не каждому человеку под силу использовать по максимуму те возможности, которые он имеет в течение дня, тогда как компьютеры вокруг нас с легкостью решают многочисленные задачи за долю секунды. И здесь нам есть чему у них поучиться.

У многих слово «алгоритм» вызывает ассоциации с непостижимыми для ума операциями с большими данными, мировой политикой и большим бизнесом. Понятие «алгоритм» все чаще воспринимается как часть инфраструктуры современного мира и едва ли – в качестве источника практической мудрости в повседневной жизни.

Тем не менее алгоритм – это всего лишь ограниченная последовательность шагов, которая используется для решения какой-либо задачи. Задолго до того, как алгоритмы стали задействоваться в программировании, их начали применять люди.

Само слово «алгоритм» произошло от имени математика персидского происхождения аль-Хорезми – автора пособия по решению математических задач, написанного им в IX веке. Его книга называлась «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала». Известно, что современное слово «алгебра» произошло как раз от части названия книги – «аль-джебр».

Однако появление самых первых математических алгоритмов предшествует даже трудам аль-Хорезми. На глиняной табличке, найденной недалеко от Багдада, шумеры четыре тысячи лет назад описали схему деления столбиком.

Но область действия алгоритмов не сводится исключительно к математике. Когда вы печете хлеб, вы используете рецепт и, значит, следуете алгоритму. Когда вы вяжете свитер по рисунку, вы следуете алгоритму. Алгоритмы были неотъемлемой частью жизни человека со времен каменного века.

В этой книге мы рассмотрим идею разработки алгоритмов для нашей жизни и найдем лучшие решения для задач, с которыми все мы сталкиваемся ежедневно.

Взгляд на нашу повседневную жизнь через призму компьютерной науки может повлиять на вашу жизнь на различных уровнях. В первую очередь, это дает нам четкие практические рекомендации для решения определенных задач. Правило оптимальной остановки подсказывает нам, сколько раз стоит отмерить, прежде чем наконец отрезать.

Принцип соотношения между поиском новой информации и применением имеющейся помогает нам обрести баланс между стремлением к новым впечатлениям и умением наслаждаться привычными вещами. Теория сортировки подскажет, как организовать рабочее место. Основные принципы технологии кеширования помогут, если необходимо правильно разложить вещи в шкафу или ящиках. Планирование поможет нам правильно распределить время.

На следующем уровне мы сможем воспользоваться терминологией программирования для понимания глубинных принципов работы каждой из этих областей науки. Как сказал Карл Саган, «наука – это скорее определенный образ мышления, нежели просто совокупность знаний».

Даже в тех случаях, когда жизнь слишком хаотична и в ней нет места для четкого численного анализа или готового ответа, использование определенных примеров и моделей, отработанных на более упрощенных вариантах тех же задач, позволит нам постичь суть вещей и двигаться дальше.

Проще говоря, взгляд через призму компьютерной науки может раскрыть нам природу человеческого разума, значение понятия рациональности и ответить на извечный вопрос – «как жить?». Изучение мыслительных процессов человека как средства решения фундаментальных вычислительных задач, которые ставит перед нами жизнь, может в корне изменить наше представление о человеческой рациональности.

Сам факт того, что изучение основ работы компьютера может открыть нам глаза на то, как следует жить и принимать решения, во что верить и как поступать, может показаться многим не просто крайне примитивным, но и, по сути, бессмысленным. Даже если в этом есть рациональное зерно, захотим ли мы получить ответы на все эти вопросы?

Образ жизни роботов из научной фантастики – явно не тот, которому хочется следовать. Отчасти это так, поскольку компьютеры в первую очередь ассоциируются у нас с бездушными механическими запрограммированными системами, которые строго придерживаются дедуктивной логики и принимают решения, всегда выбирая единственно верный вариант из ряда ранее заложенных опций. И при этом не важно, как долго и тяжело они размышляют.

По сути, человек, который впервые задумался о компьютерных технологиях, представлял себе это именно так. Алан Тьюринг описал понятие вычислительного процесса, проведя аналогию с ученым-математиком, который сосредоточенно шаг за шагом выполняет длинный расчет и в итоге приходит к верному ответу.

Потому может показаться неожиданным тот факт, что современные компьютеры, решая сложную задачу, действуют совсем иначе. Сама по себе арифметика, разумеется, не представляет большой сложности для современного компьютера. Вот, например, взаимодействие с человеком, восстановление поврежденного файла или победа в игре го (задачи, в которых нет четких правил, частично отсутствует необходимая информация или же поиск единственно верного ответа требует рассмотрения астрономического числа вариантов) действительно бросают вызов компьютерному интеллекту. И алгоритмы, разработанные учеными для решения задач самых сложных категорий, избавили компьютеры от необходимости всецело полагаться на всевозможные расчеты. На самом деле для разрешения реальных жизненных ситуаций необходимо смириться с тем, что в жизни есть место случаю или вероятности, что нам приходится максимально аккуратно использовать время и зачастую работать только с приближенными значениями величин. По мере того как компьютеры приближаются к решению повседневных проблем, они могут предложить не только алгоритмы, которые человек может использовать в жизни, но и более совершенный стандарт, по которому можно оценить когнитивные способности человека.

За последние 10–20 лет поведенческая экономика поведала нам очень много о сути человеческого мышления, а именно – что мы иррациональны по своей природе и склонны делать ошибки в основном из-за несовершенного и крайне специфического устройства нашего головного мозга. Эти нелестные факты давно уже не новость, но все же определенные вопросы до сих пор вызывают раздражение.

Почему, к примеру, четырехлетний ребенок все равно покажет лучший результат по сравнению с суперкомпьютером ценой в миллион долларов в решении познавательных задач, в том числе в части зрительного и языкового восприятия и установления причинных связей?

Решения повседневных задач, позаимствованные из компьютерной науки, расскажут совсем другую историю о человеческом разуме. Жизнь полна задач – и достаточно сложных. И ошибки, допускаемые людьми, зачастую говорят скорее об объективной сложности той или иной задачи, нежели о несовершенстве человеческого мозга. Алгоритмическое осмысление мира, изучение фундаментальных структур задач, с которыми мы сталкиваемся, и способов их решения поможет нам заново оценить свои сильные стороны и понять допускаемые ошибки.

В сущности, люди регулярно сталкиваются с рядом особо сложных задач, изучаемых программистами. Зачастую нам приходится принимать решения в условиях неопределенности, временных ограничений, неполной информации и быстро меняющейся реальности. В некоторых подобных случаях даже новейшие компьютерные технологии пока не могут предложить нам эффективные и всегда верные алгоритмы. Для определенных ситуаций, как оказывается, таких алгоритмов еще не существует. Но даже в тех случаях, для которых тот самый идеальный алгоритм еще не найден, битва нескольких поколений ученых с наиболее труднорешаемыми жизненными задачами тоже принесла свои плоды. Эти выводы и правила, полученные ценой огромных усилий, идут вразрез с нашими привычными понятиями о рациональности и напоминают исключительно строгие предписания математика, который пытается изобразить мир четкими ровными линиями. Нам говорят: «Не надо рассматривать все имеющиеся варианты», «Не ведись на выгоду каждый раз», «Иногда можно и дров наломать», «Путешествуй налегке», «Пусть все подождет», «Доверься своей интуиции и не раздумывай слишком долго», «Расслабься», «Подкинь монетку», «Прощай, но не забывай», «Будь честен с самим собой».

И все же жить по заветам компьютерной науки не так уж и плохо. Ведь, в отличие от большинства советов, ее мудрость имеет обоснования.

Разработка алгоритмов для компьютеров изначально была предметом исследования на стыке двух дисциплин – математики и инженерии. Составление алгоритмов для людей тоже не лежит в плоскости какой-либо одной науки. Сегодня разработка алгоритмов опирается не только на достижения информатики, математики и инженерии, но и на такие смежные научные области, как статистика и операционные исследования.

Проводя параллель между алгоритмами для техники и алгоритмами для людей, нам также следует обратиться к научным ресурсам когнитивистики, математики, экономики и других наук. Авторы этой книги хорошо знакомы с междисциплинарными исследованиями в этих отраслях. Прежде чем защитить дипломную работу в области исследования английского языка, Брайан изучал компьютерные технологии и философию, а карьеру построил на стыке всех трех специальностей. Том посвятил годы изучению психологии и статистики, прежде чем стал профессором Калифорнийского университета в Беркли, где теперь уделяет почти все свое время исследованию взаимосвязей между мыслительной деятельностью человека и вычислительными операциями.

Однако никто не может быть экспертом сразу во всех научных отраслях, задействованных в разработке алгоритмов для людей. Поэтому в поисках алгоритмов для жизни мы беседовали с людьми, которые придумали самые известные алгоритмы за последние 50 лет. И мы спрашивали, как их исследование повлияло на их же подход к решению жизненных задач – от поиска второй половины до сортировки носков после стирки.

На следующих страницах начинается наше увлекательное путешествие сквозь самые сложные задачи и вызовы, брошенные компьютерам и человеческому разуму: как существовать в условиях конечного пространственного и временнóго промежутка, ограниченного внимания, неустановленных параметров, неполной информации и непредсказуемого будущего; как жить уверенно и с достоинством; и, наконец, как делать это в рамках социума, где другие стремятся к тем же целям одновременно с нами.

Мы исследуем фундаментальную математическую основу таких задач и изучим устройство компьютерного интеллекта (который в ряде случаев работает совсем не так, как мы представляем), чтобы извлечь максимум пользы для своей жизни. Мы узнаем, как работает человеческий разум, рассмотрим его различные, но тесно взаимосвязанные методы решения одного и того же набора вопросов в условиях наличия тех же ограничений. В конечном итоге то, что мы можем приобрести в рамках нашего путешествия, – это не просто набор конкретных уроков для нашей повседневной жизни, не новый способ увидеть утонченные схемы за самыми сложными дилеммами человечества и не только признание глубинной взаимосвязи компьютеров с тяжелым человеческим трудом. Это кое-что более основательное, а именно новый словарь для изучения мира вокруг нас и шанс узнать что-то поистине новое о нас самих.

1. Задача об оптимальной остановке

Когда пора остановить поиски

Хотя все христиане пишут в свадебных приглашениях, что брак их совершился по воле Божьей, я, будучи философом, готов поспорить с этим утверждением…

Иоганн Кеплер

Ежели мистер Мартин любезнее вам всякого другого мужчины, ежели никогда и ни с кем не было вам так приятно, как в его обществе, тогда зачем колебаться?

Джейн Остин. Эмма[1]

Каждый год влюбленные парочки студентов-первокурсников возвращаются после совместных каникул по случаю Дня благодарения, разругавшись в пух и прах. Это так часто происходит, что у психологов колледжей есть даже специальное словечко: turkey drop.

Однажды к психологу на прием пришел Брайан, крайне возбужденный первокурсник. Его школьная подружка уехала учиться в другой колледж, и теперь у них был классический роман на расстоянии. Кроме того, их мучил непростой философский вопрос: а хорошие ли у них отношения? Сравнивать им было не с чем. Психолог посочувствовала Брайану, сказала, что это типичная дилемма первокурсников, и невозмутимым тоном предложила удивительное: «Собирай данные».

Сторонники серийной моногамии, как правило, сталкиваются с фундаментальной неизбежной проблемой. Когда можно считать, что вы познакомились с достаточным количеством людей, чтобы найти свою половинку? А что, если вы уже пропустили ее? Настоящая «уловка-22» в любовных делах!

Ответ на крик души этого влюбленного первокурсника содержится в теории, которую математики называют «задачей об оптимальной остановке». И звучит он так: 37 %.

Ну или как-то иначе. Все зависит от ваших взглядов на любовь.

Задача о секретаре

В любой задаче об оптимальной остановке критически важный вопрос – не «какой вариант необходимо выбрать», а «как много вариантов необходимо рассмотреть и учесть». Эти задачи имеют значение не только для влюбленных или арендаторов, но и для водителей, домовладельцев, грабителей и т. д.

Правило 37 %[2] произошло от самой известной головоломки об оптимальной остановке, которая со временем стала известна как «задача о секретаре». Исходные данные задачи очень напоминают дилемму о поиске квартиры, которую мы рассматривали ранее. Представьте, что вы проводите собеседование с рядом кандидатов на позицию секретаря и ваша цель – выбрать и принять на работу единственного кандидата, лучшего из всех. Пока у вас нет представления, как распределить баллы между каждым из претендентов, вы можете легко определить, кому вы отдаете предпочтение. (В этом случае математик сказал бы, что вы оперируете только порядковыми числами – вы сравниваете только соответствующие качества, которыми обладают все кандидаты. Но вам недоступны количественные числа – вы не можете ранжировать эти качества в общей шкале.) Вы интервьюируете претендентов в произвольном порядке, по одному за раз. Вы можете принять решение нанять кандидата в любой момент собеседования, а он, в свою очередь, примет ваше предложение и завершит свои поиски работы. Но при этом, если вы упустите кандидата, решив не нанимать его, вы потеряете его навсегда.

Считается, что задача о секретаре впервые была опубликована (без непосредственного упоминания секретарей) в февральском номере журнала Scientific American в 1960 году Мартином Гарднером в качестве одной из головоломок в его популярной колонке о занимательной математике. Однако само происхождение задачи остается загадкой. Наше собственное расследование с нуля привело нас к некоторой гипотезе еще до того, как оно неожиданно превратилось для нас в детективную работу в прямом смысле слова. Мы отправились в Стэнфорд, чтобы в архивах работ Гарднера найти его переписку середины прошлого века. Чтение писем немного напоминает подслушивание чужого телефонного разговора: вы слышите только одну сторону диалога, а ответ можете лишь предположить. В нашем случае у нас были только ответы на вопросы, которыми, очевидно, задавался сам Гарднер более 50 лет назад, исследуя историю происхождения задач. Чем больше мы читали, тем более запутанной и неясной казалась нам эта история. Гарвардский математик Фредерик Мостеллер вспомнил, что слышал об этой задаче в 1955 году от своего коллеги Эндрю Глизона, который, в свою очередь, слышал о ней от кого-то еще. Лео Мозер из Альбертского университета рассказывал в своем письме, что читал о головоломке в «неких записях» Р. И. Гаскелла из компании Boeing, который приписывал авторство задачи своему коллеге. Роджер Пинкхам из Ратгерского университета писал, что впервые услышал о головоломке в 1955 году от математика по фамилии Шонфильд из Университета Дьюка, а тот, по его убеждению, сам впервые услышал о задаче от кого-то из Мичигана. Этот «кто-то из Мичигана», с большой вероятностью, носил имя Меррил Флад. И хотя за пределами мира математики его имя мало кому известно, влияние Флада на развитие компьютерной науки нельзя не отметить. Именно он обратил внимание на задачу о коммивояжере (которую мы обсудим более подробно в главе 8), изобрел математическую игру «Два бандита» (которая будет описана в главе 11) и даже, весьма вероятно, ввел термин «программное обеспечение». По его же собственным словам, Флад приступил к изучению вопроса в 1949-м и в 1958 году стал автором своего первого известного открытия – правила 37 %. Хотя он и отдает пальму первенства в этом вопросе другим математикам.

Достаточно будет отметить, что вне зависимости от своего происхождения задача о секретаре оказалась едва ли не идеальной математической загадкой: ее легко объяснить, очень сложно решить, решение ее чрезвычайно лаконично, а выводы крайне занимательны. В результате она передавалась из уст в уста в математических кругах в 50-е годы, распространяясь со скоростью лесного пожара, и только благодаря Гарднеру и его колонке в 1960 году захватила воображение широкой общественности. К 80-м задача и различные ее вариации столько раз подвергались анализу, что ее стали обсуждать в газетах как подраздел самой себя.

А что до секретарей, довольно умилительно наблюдать, как каждая культура накладывает свой особый антропологический отпечаток на формальные системы. К примеру, при мысли о шахматах нам представляется средневековая Европа, хотя на самом деле появились шахматы в VIII веке в Индии. Они были достаточно грубо «европеизированы» в XV веке, когда «шахи» были переименованы в «королей», «визири» – в «королев», а «слоны» стали «офицерами».

Аналогичным образом менялись и задачи об оптимальной остановке, отражая насущные проблемы и переживания каждого поколения. В XIX веке типичными ситуациями для таких задач были барочные лотереи или выбор подходящего поклонника для дамы; в начале XX века – поиск лучшего отеля для автопутешественника и выбор подходящей спутницы для мужчины; в середине XX века, во время расцвета офисной рутины и доминирования мужчин, – подбор лучшей секретарши для руководителя-мужчины. Впервые название задачи о секретаре именно в такой формулировке было упомянуто в газете в 1964 году, позднее оно закрепилось окончательно.

Почему 37 %?

Подбирая секретаря, вы можете совершить две ошибки: остановиться либо слишком рано, либо слишком поздно. Если вы прекращаете поиски рано, существует большой риск, что лучшего кандидата вы еще не успели встретить. Если останавливаетесь слишком поздно, вы продолжаете ждать идеального кандидата, которого не существует. Оптимальная стратегия требует от вас баланса между чрезмерным и недостаточным поиском.

Если ваша цель – найти лучшего претендента и вы не согласны на меньшее, то очевидно, что, пока вы проводите собеседования с кандидатами, вы не должны даже позволять себе мысли нанять кого-то, если он не лучший из всех, кого вы видели. Тем не менее просто быть лучшим недостаточно для того, чтобы получить предложение о работе. Ведь самый первый кандидат будет лучшим просто по определению. Проще говоря, совершенно очевидно, что показатели «лучшего на данный момент» претендента будут снижаться от собеседования к собеседованию. Например, второй кандидат имеет шансы 50 на 50 стать лучшим из тех, что вам довелось встретить. Но у пятого кандидата есть уже только один шанс из пяти, а у шестого – один из шести. В итоге «лучшие на данный момент» претенденты неизменно будут все больше впечатлять вас по мере продолжения поиска (ведь они по определению уже лучше всех тех, кто приходил до них), однако и попадаться они будут все реже и реже.

Хорошо, теперь мы знаем, что принимать на работу первого «лучшего на данный момент» кандидата (иначе говоря, самого первого кандидата) – опрометчивое решение. Если у вас есть сто претендентов, поспешным будет предложить работу и второму «лучшему на данный момент» только потому, что он лучше первого. Так как же действовать?

Существует несколько потенциальных стратегий. Например, нанять кандидата, который в третий раз превосходит всех, кого вы уже видели. Или даже четвертый. Или, возможно, стоит принять следующего «лучшего на данный момент» кандидата после долгой «засухи» – вереницы слабых игроков. Но на поверку ни одна из этих относительно разумных стратегий не оказывается на высоте. Наоборот, оптимальное решение приобретает формы того, что мы называем правилом «семь раз отмерь, один раз отрежь». Вы изначально определяете количество таких «замеров», в нашем случае это рассмотрение вариантов и сбор информации, в течение которого вы не останавливаете свой выбор ни на ком, как бы он или она вас ни впечатлили. После этого вы переходите на этап «отрежь», когда вы готовы принять на работу любого, кто затмит лучшего кандидата, увиденного вами на первом этапе.

Мы можем наблюдать, как вырисовывается правило «отмерь и отрежь» даже при совсем маленьком количестве кандидатов на позицию секретаря в нашей задаче. У вас есть всего один кандидат? Решение простое – наймите его! Если у вас два претендента, ваши шансы на успех 50 на 50, что бы вы ни предприняли. Вы можете нанять первого претендента (который проявил себя лучше всех из первой половины прошедших собеседование) или же можете отказаться от первого и по умолчанию выбрать второго (который впечатлил вас больше всего из второй половины претендентов). Добавим третьего кандидата, и здесь уже становится интересней. Наш шанс на успех в этом случае равняется 33 %. При наличии двух кандидатов мы могли полагаться только на удачу. Но если их трое, возможно, мы можем сами принять правильное решение?

Получается, что можем. И все зависит от того, как мы поступим со вторым проинтервьюированным претендентом.

Когда мы встречаем первого кандидата, у нас нет никакой информации, и, разумеется, он или она окажутся по умолчанию лучшим вариантом. Когда мы беседуем с третьим кандидатом, у нас нет свободы выбора, поскольку мы, в конце концов, должны кого-то нанять, а остальные кандидатуры мы уже отклонили. Но, когда мы встречаемся со вторым претендентом, мы оказываемся посередине: мы можем оценить, лучше или хуже второй кандидат, чем первый, и одновременно у нас есть выбор – принять этого кандидата или отказать.

Что же произойдет в том или ином случае?

Мы рассмотрим лучшую из возможных стратегий на примере с тремя кандидатами. Этот подход работает на удивление удачно как с тремя претендентами, так и с двумя (в этом случае вам необходимо выбирать лучшего половину всего времени, предусмотренного на поиски[3]).

Если развивать этот сценарий до четырех претендентов, то отбор необходимо начинать со второго кандидата. При пяти претендентах – с третьего. По мере того как количество претендентов растет, провести эту черту необходимо на отметке 37 % от общего числа кандидатов, прежде чем начать отбор. Тщательно рассмотрите кандидатуры первых 37 % претендентов[4], не отдавая предпочтение ни одному из них. Затем будьте готовы выбрать первого, проявившего себя лучше всех рассмотренных до него.

Как оказывается, следование оптимальной стратегии в конечном итоге дает нам 37 %-ный шанс принять на работу лучшего кандидата. Одновременно в этой цифре заключается и уникальная математическая симметрия этой задачи: число, определяющее стратегию, и процент вероятности успеха совпадают. В таблице выше рассмотрены оптимальные стратегии для решения задачи о секретаре при различном количестве претендентов, при этом очевидно, что показатель вероятности успеха и точка отсчета для начала отбора кандидатов приближаются к отметке 37 % при возрастании общего количества кандидатов.

63 %-ная вероятность неудачи при использовании лучшей имеющейся стратегии – отрезвляющий факт. Даже если, решая задачу, мы будем действовать оптимально, все равно в большинстве случаев мы потерпим неудачу и, значит, нам не суждено принять на работу того самого лучшего кандидата.

Это плохая новость для тех, кто живет только поисками «того единственного (той единственной)». Но есть и положительный момент. Интуиция могла бы нам подсказать, что наши шансы на выбор лучшего кандидата будут неизменно уменьшаться при возрастании общего количества претендентов. Если бы мы искали наугад, выбирая, к примеру, из ста претендентов, у нас был бы лишь один шанс на успех. Из тысячи – 0,0001 % шанса. Тем не менее удивительно, что математическая составляющая задачи неизменна. При оптимальной остановке ваш шанс выбрать лучшего кандидата из ста – 37 %. И если выбирать из тысячи, то вероятность успеха по-прежнему 37 %. Таким образом, чем больше становится число претендентов, тем бóльшую ценность для нас может представлять знание алгоритма.

Действительно, в большинстве случаев вы вряд ли найдете потерянную иголку. Но оптимальная остановка, по крайней мере, защитит вас от ее поисков в стоге сена.

Любовный алгоритм

Притяжение между мужским и женским полом присутствовало на протяжении всего существования человечества, поэтому, говоря языком алгебры, этот факт можно назвать заданной величиной.

Томас Альтус

Я вышла замуж за первого мужчину, которого поцеловала. Когда я рассказываю эту историю своим детям, они просто не находят слов.

Барбара Буш

Задолго до того, как стать профессором в области операционных исследований в Университете Карнеги – Меллон, Майкл Трик был обычным выпускником и искал любовь. «Меня осенило: эта проблема уже изучена; это же задача о секретаре! У меня была свободная позиция и несколько претенденток и была цель – выбрать лучшую». Майкл произвел расчет. Он не знал, сколько женщин он встретит в своей жизни, но само по себе правило тридцати семи процентов обладает определенной гибкостью: его можно применить как в отношении количества кандидатов, так и при определении периода поиска. Трик предположил, что будет искать суженую с 18 до 40 лет. Таким образом, согласно правилу 37 % он определил, что по достижении 26,1 года он должен перейти от «просмотра» кандидаток к непосредственному отбору. Так и получилось. Поэтому, когда он встретил женщину, которая подходила ему больше всех тех, с кем он раньше встречался, он точно знал, что нужно действовать. Он сделал свой выбор.

«Я не знал, была ли она идеальна для меня (сама модель алгоритма не позволяет определить это), но, вне всяческих сомнений, она соответствовала всем параметрам для следующего шага. Я сделал ей предложение, – пишет Трик, – и она ответила мне отказом».

Математики не понаслышке знают о несчастной любви как минимум с XVII века.

Имя легендарного астронома Иоганна Кеплера по сей день остается на слуху благодаря открытию эллиптической формы планетных орбит и его огромной роли наравне с Галилеем и Ньютоном в «Революции Коперника», которая перевернула представление человека о его месте в космосе. Но у Кеплера были и вполне земные переживания. После смерти первой жены в 1611 году он приступил к долгим и непростым поискам второй половины. В общей сложности Кеплер ухаживал за одиннадцатью женщинами.

Из первой «четверки» больше всех ему нравилась четвертая кандидатка («из-за ее высокого роста и атлетического телосложения»), однако на ней он не прекратил свои поиски. «Вопрос был бы решен, – писал он, – если бы любовь и разум не подтолкнули бы ко мне пятую женщину. Она покорила меня своей любовью, скромной преданностью, экономностью в хозяйстве, кротостью и заботой, которую она дарила моим детям. И тем не менее я продолжил поиски».

Друзья и знакомые Кеплера представляли его все новым дамам, и он продолжал свой поиск, но с некоторым безразличием. Его мысли оставались с той пятой женщиной. В конечном счете, после одиннадцати ухаживаний, он решил прекратить поиски. «Готовясь к поездке в Регенсбург, я вернулся к пятой женщине, открылся ей и получил ее согласие». Кеплер и Сюзанна Рюттингер поженились и вырастили шестерых детей, включая его детей от первого брака. Биографии описывают семейную жизнь Кеплера и Сюзанны как самое спокойное и радостное время в его жизни.

И Кеплер, и Трик – хоть и с разными конечными результатами – первыми убедились на собственном опыте, что задача о секретаре излишне упрощает поиски второй половины. В классическом варианте задачи претенденты на должность всегда дают положительный ответ на предложение о работе, исключая отказ, с которым столкнулся Трик. А «вернуть» кандидата, как это получилось у Кеплера, не представляется возможным.

На протяжении десятилетий, с момента появления задачи о секретаре, ученые рассматривали множество вариантов развития сценария и в итоге разработали новые стратегии оптимальной остановки в различных условиях. Возможность получения отказа, к примеру, может быть устранена простым математическим решением – необходимо предлагать рано и часто. Предположим, если ваши шансы быть отвергнутым составляют 50 на 50, тот же математический анализ, с помощью которого появилось правило тридцати семи процентов, предписывает нам начать делать предложения после первой четверти ваших поисков. В случае отказа продолжайте делать предложения каждому «лучшему на данный момент» человеку, которого встречаете, пока не получите положительный ответ. С такой стратегией общая вероятность вашего успеха, то есть получение согласия на ваше предложение от лучшего кандидата из имеющихся, составит 25 %. Очевидно, это не такой уж и плохой расклад для сценария, в котором возможность получить отказ сочетается с общей сложностью определения прежде всего своих стандартов.

Кеплер, в свою очередь, открыто ругал себя за «тревожность и нерешительность», которые заставили его продолжить поиски. «Неужели не было иного способа для моего смятенного сердца примириться с судьбой, – жаловался он своему близкому другу, – кроме как осознать невозможность исполнения других моих желаний?» В этом случае теория оптимальной остановки вновь приносит некоторое утешение. Беспокойство и нерешительность уже в меньшей степени служат признаками моральной или психологической деградации и оказываются частью успешной стратегии в тех сценариях, где второй шанс возможен.

Если вы можете вернуть предыдущих претендентов, то оптимальный алгоритм существенно преображает знакомое нам правило «семь раз отмерь, один раз отрежь»: вы дольше можете не связывать себя обязательствами, и у вас есть резервный план. Например, предположим, что своевременное предложение обречено на положительный ответ, при этом запоздалые предложения отвергают через раз. В этом случае математический расчет призывает нас продолжать поиски без каких бы то ни было обязательств до тех пор, пока вы не просмотрите 61 % всех кандидатов, и затем выбрать из оставшихся 39 % того, кто окажется лучшим для вас. Если, рассмотрев хорошенько все варианты, вы по-прежнему остались одиноки, как было с Кеплером, то вернитесь к лучшему кандидату из прошлого. И даже в этом случае симметричность стратегии и результата сохраняется: при наличии возможности «войти в одну и ту же реку дважды» вероятность того, что вы остановите свой выбор на лучшем кандидате, снова составляет 61 %.

В случае Кеплера несоответствие между реальной жизнью и задачей о секретаре в ее классическом понимании привело его к счастливому концу. По сути, неожиданный поворот в классической задаче сыграл на руку и Трику. После того отказа он защитил диплом и получил работу в Германии. Там «он зашел в бар, влюбился в красивую женщину, через три недели они уже жили вместе. Он предложил ей пожить "некоторое время" в Штатах». Она согласилась, и спустя шесть лет они поженились.

Выбери лучшее с первого взгляда: полная информация

Первый рассмотренный нами набор вариантов – отказ и возврат – изменил в классической задаче о секретаре представление, что своевременные предложения принимаются всегда, а запоздалые – никогда. В этом случае наилучший подход остался таким же, как изначально: некоторое время наблюдать со стороны, взвесить все, а затем быть готовым к решительным действиям.

Но существует еще один важный момент в задаче о секретаре, который заставляет задуматься. А именно: мы ровным счетом ничего не знаем о соискателях, кроме их сравнительных характеристик. У нас нет четкого представления о том, каким должен быть хороший или плохой соискатель. Более того, когда мы сравниваем двух кандидатов, мы видим, кто из них лучше, но не понимаем, насколько лучше. И, проходя через эту неизбежную фазу поиска, мы рискуем упустить отличного кандидата, пока не определимся со своими требованиями и ожиданиями. Математики называют эту сложность с оптимальной остановкой игрой в отсутствие информации.

Этот принцип, вероятно, далек от большинства поисков квартиры, спутника жизни или того же секретаря. Но попробуйте на секунду представить, что у нас есть некий объективный критерий оценки (например, если бы каждый претендент на должность секретаря прошел бы обязательный экзамен на скорость печатания, результат которого выражался бы в перцентилях аналогично современным тестам SAT, GRE или LSAT). Таким образом, баллы каждого соискателя наглядно продемонстрируют его уровень среди всех прошедших тест: машинистка 51-го перцентиля всего лишь выше среднего уровня, в то время как машинистка 75-го перцентиля превосходит троих испытуемых из четырех и т. д.

Допустим, наша подборка соискателей репрезентативна и никоим образом не искажена и была выбрана случайно. Более того, предположим, что скорость печатания – это единственный критерий, по которому мы отбираем кандидатов на должность. Тогда мы приходим к тому, что математики называют полной информацией, и ситуация меняется. «Чтобы установить стандарт, не нужно накапливать опыт, – говорится в основной статье по этой проблеме, написанной еще в 1966 году, – и удачный выбор порой делается мгновенно». Иными словами, если соискателю 95-го перцентиля случается стать первым, кого мы оцениваем, мы мгновенно понимаем, что с уверенностью можем принять его на работу – при условии, конечно, что мы не рассматриваем наличие соискателя 96-го перцентиля в подборке.

И вот в чем загвоздка. Если опять же наша цель – найти наилучшего кандидата на должность, то нам по-прежнему необходимо взвесить вероятность существования более сильного претендента. Однако наличие у нас полной информации дает возможность вычислить эти шансы напрямую. Например, вероятность того, что следующий соискатель будет из 96-го перцентиля или выше, всегда будет 1 к 20. Таким образом, решение о том, когда следует прекратить поиски, сводится исключительно к тому, сколько еще кандидатов нам осталось просмотреть. Полная информация подразумевает, что нам не нужно так уж тщательно обдумывать свои действия. Вместо этого можно применить пороговое правило, руководствуясь которым мы можем немедленно принять на работу кандидата выше определенного уровня перцентиля. И нам не нужно просматривать первоначальную группу кандидатов, чтобы установить этот порог. Но стоит тем не менее учитывать, сколько еще соискателей остаются доступными.

Математика показывает, что, когда в подборке остается еще много кандидатов, легко пройти мимо хорошего претендента в надежде найти кого-то еще лучше. Но по мере уменьшения шансов вы должны быть готовы нанять того, кто окажется просто чуть выше среднего уровня. Это всем знакомое, хотя и не слишком вдохновляющее явление: в случае скудного выбора нам приходится снижать требования. Так же верно и обратное: если в море полно рыбы, то планку требований можно поставить выше. Но в обоих случаях, что особенно важно, именно математика говорит насколько.

Самый простой способ понять, как все это работает на практике, – попытаться начать с конца. Если вы дошли до последнего соискателя, то вам, конечно же, не остается ничего другого, кроме как принять его на работу. Но на собеседовании с предпоследним кандидатом вопрос уже ставится иначе: а выше ли он 50-го перцентиля? Если да, можете нанять его; если же нет, то стоит обратить внимание на последнего кандидата, поскольку его шансы оказаться выше 50-го перцентиля будут по определению равны 50/50. Аналогичным образом вам следует выбрать третьего от конца соискателя, если он окажется выше 69-го перцентиля, четвертого от конца – если он будет выше 78-го, и т. д. (будучи тем избирательнее, чем больше соискателей еще осталось). Но, несмотря ни на что, никогда не берите на работу кандидата ниже среднего уровня, если только ваше положение не совсем уж безвыходное. (И, поскольку вы все еще заинтересованы в выборе наилучшего человека из подборки, не стоит нанимать того, кто не превосходит просмотренных вами до сих пор соискателей.)

Шанс найти в итоге лучшего кандидата из всех возможных в этом варианте (при наличии полной информации) увеличивается до 58 % – что, конечно, далеко не гарантия успеха, но это значительно лучше тех 37 %, которые дает нам правило 37 % в игре без информации. И если у вас есть все факты, вероятность добиться своей цели выше, даже когда число претендентов произвольно растет.

Таким образом, игра с полной информацией приводит нас к неожиданному и, пожалуй, даже несколько странному заключению. Золотоискательство имеет гораздо больше шансов на успех, чем поиски любви. Если вы оцениваете своих потенциальных партнеров, основываясь на каком-либо объективном критерии (скажем, на перцентиле уровня их дохода), то вы получаете в свое распоряжение гораздо больше информации, чем в результате эфемерной эмоциональной реакции («любви»), которая требует как опыта, так и сравнительного анализа для принятия решения.

Конечно же, нет никаких оснований выбирать чистую стоимость активов – или, если на то пошло, скорость печатания – в качестве главного мерила. Любой показатель, дающий вам полное представление о том, насколько претендент соотносится с населением в целом, может изменить способ принятия решения с правила «семь раз отмерь, один раз отрежь» на пороговое правило, что резко повысит ваши шансы найти лучшего кандидата из всех предложенных.

Существует множество вариаций «проблемы секретаря», модифицирующих свойственные им условия в соответствии с такими более реальными задачами, как поиск спутника жизни (ну или секретаря). Но уроки, которые преподает нам оптимальная остановка, не ограничиваются одними лишь свиданиями или приемом на работу. На самом деле попытки сделать наилучший выбор в условиях, когда варианты предлагаются только по очереди, имеют место и в ситуации с продажей дома, парковкой автомобиля или принятием решения об уходе, будучи на пике успеха. И все эти проблемы в той или иной степени решаемы.

Когда продавать

Если мы изменим еще пару аспектов классической «проблемы секретаря», это перенесет нас из области знакомств и свиданий в сферу недвижимости. Ранее мы уже рассматривали процесс поиска съемной квартиры в качестве проблемы оптимальной остановки, но владение домом также не испытывает недостатка в оптимальной остановке.

Допустим, вы продаете дом. После консультаций с несколькими агентами по недвижимости вы выставляете его на продажу, освежаете слой краски на стенах, приводите в порядок лужайку и начинаете ждать предложений. Получив очередное предложение о покупке, вы, как правило, должны решить, принять ли его или отклонить. Но за отклоненные предложения приходится в итоге расплачиваться – еще одним еженедельным (или ежемесячным) платежом по ипотеке, пока вы ожидаете следующего предложения, вовсе не будучи уверенными в том, что оно будет выгоднее предыдущего.

Продажа дома похожа на игру с полной информацией. Мы знаем объективную долларовую стоимость всех предложений, которая позволяет нам не просто определить, какие из них выгоднее, но и понять, насколько они выгоднее. Более того, у нас есть довольно обширные сведения о состоянии рынка, что позволяет нам хотя бы приблизительно спрогнозировать диапазон цен в ожидаемых предложениях. (Это дает нам такую же информацию о перцентилях каждого предложения, какую мы рассматривали в примере с тестом на скорость печатания.) Однако наша цель уже не в том, чтобы выбрать наилучшее предложение, но в том, чтобы выручить как можно больше денег в рамках всей процедуры продажи в целом. Учитывая, что каждый день ожидания измеряется в долларах, есть смысл принять хорошее предложение прямо сейчас, а не ждать чуть более выгодного еще несколько месяцев.

Располагая данной информацией, мы можем не назначать примерный ценовой диапазон. Вместо этого мы установим четкий порог, будем игнорировать все, что ниже его, и примем то предложение, которое его превысит. Правда, если мы стеснены в средствах и они закончатся, если мы не продадим дом за определенный срок либо мы ожидаем получить весьма ограниченное число предложений и не особо заинтересованы в результате, то нам стоит снизить планку, так как подобный подход ограничивает. (Вот почему покупатели обычно ищут «мотивированных» продавцов домов.) Но если проблемы не загоняют нас в угол, мы можем просто сосредоточиться на анализе затрат и выгод игры в ожидание.

Сейчас мы разберем один из простейших случаев: мы точно знаем ценовой диапазон ожидаемых предложений, и все предложения в данном диапазоне равновероятны. Если нам нет нужды волноваться о том, что предложения (или наши сбережения) подойдут к концу, то мы можем сосредоточиться исключительно на расчетах, что мы приобретем или потеряем, если будем ждать более выгодной сделки. Если мы отклоним нынешнее предложение, то сможет ли вероятность более выгодного предложения, умноженная на ожидаемую нами разницу в выгоде, компенсировать связанные с ожиданием расходы? Как выясняется, математика здесь довольно проста, и мы видим прямую зависимость стоп-цены от цены ожидания следующего предложения.

Этот математический расчет не будет волновать нас, если мы продаем многомиллионный особняк или полуразвалившийся сарай. В этом случае будет иметь значение только небольшая разница между самой низкой и самой высокой ценой, которую нам, вероятно, предложат. Если мы введем конкретные цифры, то увидим, что данный алгоритм предлагает нам множество четких указаний. Допустим, ценовой диапазон ожидаемых нами предложений варьируется от $400 000 до $500 000. Если цена ожидания незначительна, мы можем быть почти бесконечно разборчивы. Если цена ожидания следующего предложения составляет всего $1, то мы получим максимальную выгоду, всего лишь дождавшись покупателя, который предложит нам за дом $499 572,99 и ни центом меньше. Если ожидание обойдется нам в $2000 за предложение, придется дотянуть до $480 000. В условиях медленного роста рынка, где ожидание будет стоить $10 000, нам придется принять любое предложение, которое превысит $455 279. Ну и наконец, если цена ожидания составит половину или даже больше от ожидаемого нами диапазона предложений (в данном примере это $50 000), то нет абсолютно никакого смысла тянуть дальше и нужно приложить максимум усилий, чтобы продать дом первому, кто назовет свою цену, и покончить с этим. Нищим выбирать не приходится.

В данном примере важно отметить, что устанавливаемый нами предел зависит только лишь от стоимости поисков. Поскольку вероятность того, что следующее предложение окажется лучше предыдущего (а также стоимость выяснения этого) никогда не изменится, то нам нет смысла снижать стоп-цену, так как поиски продолжаются и не зависят от нашей удачливости. Мы устанавливаем ее однажды, прежде чем выставить дом на продажу, и в дальнейшем ориентируемся на нее.

Специалист по оптимизации Висконсинского университета в Мэдисоне Лора Альберт Маклей воспользовалась своими знаниями проблем оптимальной остановки, когда пришло время продавать ее собственный дом. «Первое же полученное нами предложение было замечательным, – рассказывает она, – но оно предполагало огромные затраты с нашей стороны, потому что покупатели просили нас съехать на месяц раньше, чем мы были к этому готовы. Было еще одно конкурентоспособное предложение… [но] мы держались, пока не получили подходящее нам». Многих продавцов необходимость отклонить парочку выгодных предложений весьма нервирует, особенно если последующие предложения уступают им в выгоде. Но Маклей твердо стояла на своем и сохраняла спокойствие. «Это было бы очень, очень тяжело, – признается она, – если бы я не знала, что математика на моей стороне».

Данный принцип применим к любой ситуации, где вам предстоит получить ряд предложений и заплатить за то, чтобы искать дальше или ждать следующего. Следовательно, это относится к случаям, которые выходят далеко за рамки продажи недвижимости. Например, экономисты, пользуясь этим алгоритмом, моделируют процесс поиска людьми работы и наглядно объясняют кажущийся на первый взгляд парадоксальным факт одновременного существования на рынке вакансий и безработных.

На самом деле, у этих вариаций проблемы оптимальной остановки есть еще одно поистине удивительное свойство. Как мы помним, возможность вернуть упущенный в прошлом шанс была жизненно важной в любовных поисках Кеплера. Но в случае с продажей дома или поисками работы вам никогда, ни в коем случае не следует так поступать, даже если есть возможность вернуться вновь к ранее отклоненному предложению и даже если это предложение все еще не утратило своей актуальности. Если оно не превышало ваш пороговый показатель на тот момент, оно не превысит его и сейчас. То, что вы заплатили за возможность продолжить поиски, – это невозвратные издержки. Не идите на уступки, не жалейте ни о чем. И никогда не оглядывайтесь.

Когда парковаться

Я пришел к выводу, что три главные административные проблемы в кампусе – это секс у студентов, спорт у выпускников и парковка у всего преподавательского состава.

Кларк Керр, президент Калифорнийского университета в Беркли (1958–1967)

Еще одна сфера, где в избытке имеется проблема оптимальной остановки и где бессмысленно сожалеть об упущенном шансе, – это все, связанное с автомобилем. Автомобилисты уже фигурировали в упомянутой нами проблеме секретаря, а современный стиль жизни, побуждающий постоянно двигаться вперед, превращает каждую поездку на машине еще и в проблему остановки: поиски ресторана; поиски туалета и, что наиболее остро для городских водителей, поиски парковочного места.

Кто лучше расскажет обо всех тонкостях парковки, чем заслуженный профессор Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе по градопланированию Дональд Шоуп, которого Los Angeles Times назвала рок-звездой парковки? Мы ехали к нему на встречу из Северной Калифорнии, заверив Шоупа, что оставили в запасе достаточно времени для непредвиденных проблем с трафиком. «Что до планирования непредвиденных проблем с трафиком, я думаю, что стоит планировать предвиденные проблемы», – парировал он. Шоуп прославился благодаря своей книге «Высокая цена бесплатной парковки», в которой он во многом внес ясность в процесс, который на самом деле имеет место, когда мы движемся из пункта А в пункт Б.

Бедного водителя стоит пожалеть! Идеальное парковочное место, в понимании Шоупа, – то, в котором умело соблюден точный баланс между стоимостью места парковки, неудобством от ходьбы пешком, временем, затраченным на поиски свободного пространства (сильно различается в зависимости от района, времени суток и т. д.), и сожженным за все это время бензином. Условия уравнения меняются с количеством пассажиров в автомобиле, которые могут разделить между собой плату за парковку, но не временем, потраченным на поиски места или на то, чтобы дойти пешком от места парковки до нужного пункта. Водитель должен учитывать, что пространство с наибольшим количеством свободных парковочных мест будет пользоваться наибольшим спросом. Поиски парковки всегда включают в себя элемент теории игр: пока вы пытаетесь перехитрить всех водителей на дороге, они, в свою очередь, пытаются перехитрить вас[5]. Таким образом, большинство проблем с парковкой сводится к одному фактору – уровню заполненности. Это отношение общего числа парковочных мест к количеству занятых в данный момент. Если уровень заполненности низкий, то можно без проблем найти хорошее место. Если же он высок, то поиск хоть какого-нибудь места, где можно было бы оставить машину, становится поистине сложной задачей.

Шоуп утверждает, что проблемы с парковкой возникли вследствие политики городских властей, которая привела к невероятно высокому уровню заполненности. Если плата за парковку в определенных районах слишком низкая (или – о ужас! – парковка и вовсе бесплатная), то большинство автолюбителей будет стремиться припарковаться именно там, а не чуть подальше, откуда придется немного пройти пешком. Таким образом, каждый старается встать там, но все места оказываются заняты, и люди в конечном счете тратят уйму времени и бензина, кружа по району в поисках парковочного места.

Решение Шоупа предполагает установку цифровых паркоматов, способных корректировать стоимость парковки по мере возрастания спроса (такой проект сегодня реализуется в центре Сан-Франциско). Цены устанавливаются исходя из уровня заполненности, и, по версии Шоупа, этот показатель должен быть в районе 85 % – довольно большой отрыв от 100 % забитых тротуаров большинства крупных городов. Он отмечает, что заполненность, возрастающая с 90 до 95 %, означает всего лишь на 5 % больше машин, зато удваивает количество времени, затрачиваемого водителем каждой из них на поиски места.

Ключевой момент влияния уровня заполненности на стратегию парковки становится очевиден, стоит нам только признать, что процесс парковки – это и есть проблема оптимальной остановки в чистом виде! Каждый раз, когда вы, проезжая по улице, видите свободное парковочное место, вам нужно принять решение: припарковаться здесь или проехать чуть ближе к конечному пункту и попытать удачи там?

Представьте, что вы едете по бесконечно длинной дороге, парковочные места на которой расположены через равные промежутки, и ваша цель состоит в том, чтобы свести к минимуму расстояние, которое вам придется пройти пешком от машины до конечного пункта. В этом случае решением станет правило «семь раз отмерь, один раз отрежь». Водитель, желающий найти оптимальный вариант парковки, должен проехать мимо всех свободных мест, находящихся дальше определенного расстояния от пункта назначения, а затем остановить свой выбор на первом же месте, которое встретится ему после этой точки отсчета. А вот расстояние, на котором «отмерь» превращается в «отрежь», зависит уже от соотношения мест, которые, вероятно, окажутся заняты, с общим их количеством – тот самый уровень заполненности. В таблице ниже приводятся расстояния для нескольких типичных соотношений.

Если эта абстрактная бесконечная улица большого города имеет 99 %-ный уровень заполненности и всего 1 % свободных мест, то вам следует занять первое пустое место, которое попадется вам примерно за четверть мили до конечного пункта назначения (около 70 мест). Но если верить теории Шоупа, когда уровень занятости снизится до 85 %, вы можете не беспокоиться насчет парковки, пока вам не останется полквартала до места.

Но большинство из нас не катается по бесконечным прямым дорогам. Поэтому, как и в случае прочих проблем оптимальной остановки, исследователи рассмотрели ряд уловок. Например, они изучили стратегию оптимальной парковки в тех случаях, когда водитель может разворачиваться, когда чем ближе человек к месту назначения, тем меньше парковочных мест, и когда водитель составляет конкуренцию другим водителям, направляющимся в ту же точку. Но, каковы бы ни были условия задачи, наличие большего количества парковочных мест существенно облегчает жизнь. Это напоминание муниципальным властям: процесс парковки не так прост, как наличие ресурсов (мест) и обеспечение их максимального использования (занятость). Парковка – это процесс, который требует внимания, времени и затрат топлива и приводит к загрязнению окружающей среды и образованию заторов. Правильная политика решает эти проблемы. И, как ни парадоксально, наличие свободных мест в густонаселенных кварталах – признак того, что система функционирует правильно.

Мы поинтересовались у Шоупа, помогают ли ему его исследования в оптимизации его же собственных поездок на работу в Калифорнийский университет через все пробки Лос-Анджелеса. Вероятно, у лучшего в мире эксперта по парковке есть свои секретные приемы? «Все просто: я езжу на велосипеде», – ответил он.

Когда увольняться

В 1997 году журнал Forbes назвал Бориса Березовского самым богатым человеком в России; его состояние оценивалось примерно в $3 млрд. Всего десятью годами раньше он жил на зарплату сотрудника Академии наук СССР. Свои миллиарды он заработал на промышленных связях, появившихся у него в ходе исследований с целью основания компании-посредника между иностранными автоконцернами и советской автомобилестроительной компанией «АвтоВАЗ». Впоследствии компания Березовского стала крупным дилером машин «АвтоВАЗа» благодаря использованию схемы оплат в рассрочку, что в условиях гиперинфляции рубля имело огромное преимущество. На заработанные средства Березовский приобрел право на частичное владение «АвтоВАЗом», а затем вошел в совет директоров телеканала ОРТ и, наконец, компании «Сибнефть». Будучи представителем нового класса олигархов, он активно участвовал в политике, поддерживая перевыборы Бориса Ельцина в 1996 году и кандидатуру Владимира Путина в качестве его преемника в 1999 году.

Но в дальнейшем удача отвернулась от Березовского. Вскоре после избрания Путина на должность президента Березовский публично выступил против предложенных конституционных реформ, расширяющих президентские полномочия. Дальнейшие его публичные критические высказывания в адрес Путина привели к серьезному ухудшению их отношений. В октябре 2000 года, когда Путину был задан вопрос относительно критических замечаний Березовского, он ответил следующее: «Государство держит в своих руках дубину, которую применяют только один раз, но по голове. Пока государство эту дубину не использовало ‹…›. Когда мы серьезно рассердимся, мы, не колеблясь, применим ее…» Месяцем позже Березовский навсегда покинул Россию и эмигрировал в Англию, где продолжил критиковать режим Путина.

Вопрос, как вовремя уйти, когда ты на коне, анализировался в различных его проявлениях, но наиболее иллюстративным в ситуации с Березовским будет – да простят нас российские олигархи! – «задача грабителя». В этой задаче преступник может беспрепятственно совершить некоторое количество грабежей. Каждый из них сулит грабителю определенную выгоду, и каждый раз у него есть шанс эту выгоду получить. Но, если грабителя поймают и арестуют, он потеряет всю накопленную добычу. Каким алгоритмом ему стоит воспользоваться для максимизации своего ожидаемого дохода?

Тот факт, что данная проблема имеет решение, мало обрадует режиссеров фильмов об ограблениях: когда бандиты являются к старому гангстеру, отошедшему от работы, и уговаривают его в последний раз пойти на дело, хитрому вору остается только прикинуть числа. Тем более что результаты довольно наглядны: количество грабежей, которые вы хотите совершить, примерно равно шансам выйти сухим из воды, разделенным на вероятность быть пойманным. Если вы опытный вор и ваши шансы успешно провернуть дело равны 90 % (и 10 %, соответственно, вероятность его провалить), то стоит оставить свое ремесло после 90/10 = 9 грабежей. А неуклюжий новичок, чьи шансы на удачу 50/50? В первый раз вы ничего не потеряете, но не стоит искушать судьбу повторно.

Невзирая на опыт Березовского в решении задач оптимальной остановки, его история заканчивается весьма печально. Березовский умер в марте 2013 года; его тело было обнаружено телохранителем в запертой изнутри ванной комнате его дома в Беркшире. В официальном заключении патологоанатомического исследования сказано, что он покончил с собой – повесился, потеряв бóльшую часть своих богатств в результате ряда громких судебных процессов с участием своих врагов в России. Возможно, ему следовало остановиться раньше – накопив, к примеру, всего несколько десятков миллионов долларов и не влезая в большую политику. Но, увы, это было не в его правилах. Один из друзей Березовского, математик Леонид Богуславский, рассказал историю из времен их общей далекой юности о том, как они отправились на одно из подмосковных озер покататься на водных лыжах и у них сломался катер. Вот как Дэвид Хоффман описывает этот случай в своей книге «Олигархи»:

В то время как их друзья пошли разводить костер на пляже, Богуславский с Березовским отправились к причалу, чтобы попытаться отремонтировать мотор. ‹…› За три часа они полностью разобрали и заново собрали двигатель, но он так и не заработал. Друзья пропустили бóльшую часть пляжной вечеринки, но Березовский упорно не желал бросать попытки починить мотор. «Мы пробовали и так, и этак», – вспоминает Богуславский. Но Березовский не собирался сдаваться.

Как ни странно, это стремление никогда не сдаваться – во что бы то ни стало! – описывается и в материалах по проблеме оптимальной остановки. Возможно, это не выглядело очевидным в том широком спектре проблем, который мы рассматривали, но существуют последовательные задачи принятия решений, для которых правило оптимальной остановки не работает. Простой пример – игра «Утроить или потерять». Представьте, что у вас есть $1 и вы можете играть в эту игру бессчетное количество раз: поставьте на кон все деньги и получите 50 %-ный шанс утроить сумму и такой же 50 %-ный шанс все потерять. Сколько раз вам нужно сыграть? Несмотря на кажущуюся простоту, к этой задаче неприменимо правило оптимальной остановки, так как с каждой новой игрой ваш средний прирост становится чуточку выше. Начав с $1, вы в половине случаев получите $3, а в половине случаев – $0, так что в среднем вы ожидаете завершить первый раунд с $1,5 в кармане. Тогда, если в первом раунде вам повезло, появляется возможность во втором туре остаться либо с $9, либо с $0 – и средний выигрыш составляет уже $4,5. Математика утверждает, что вы всегда будете продолжать играть. Но если следовать этой стратегии, то в конечном итоге вы потеряете все. Некоторых проблем лучше избегать, нежели решать их.

Всегда останавливайтесь

Я проживу свою жизнь только единожды. Поэтому все то хорошее и доброе, что я могу сделать для ближних, я хочу сделать сейчас!

Я не хочу откладывать это или пренебрегать этим, потому что у меня не будет возможности пройти этот путь заново.

Стефан Греллет

Наслаждайтесь этим днем. Ведь вы не сможете забрать его с собой.

Энни Диллард

Мы рассмотрели примеры конкретных людей, столкнувшихся в жизни с необходимостью решить проблему оптимальной остановки. Очевидно, что большинство из нас ежедневно встречается с этой проблемой в той или иной форме. Касается ли это секретарей, женихов (невест) или жилья, жизнь полна проблем оптимальной остановки. И главный вопрос заключается в том, действительно ли мы следуем наилучшей стратегии – благодаря эволюции, или образованию, или интуиции?

На первый взгляд, ответ – нет. Около дюжины исследований привели к такому результату: большинство людей, как правило, останавливаются слишком рано, оставляя лучшие варианты нерассмотренными. Чтобы глубже разобраться в данной ситуации, мы побеседовали с Амноном Рапопортом, профессором Калифорнийского университета в Риверсайде, который более 40 лет проводил эксперименты по оптимальной остановке.

Исследование, наиболее близкое к классической проблеме секретаря, было проведено Рапопортом и его соратником Дэррилом Сиэлом в 1990-х. В рамках этого исследования люди прошли через многократно повторяющиеся варианты проблемы секретаря, имея каждый раз от 40 до 80 претендентов на должность. Средний процент отсмотренных кандидатов, на котором поиски лучшего прекращались, составил 31 % – что довольно близко к оптимальным 37 %. Большинство руководствовались правилом «семь раз отмерь, один раз отрежь», но «отрезали» раньше, чем следовало, в четырех случаях из пяти.

Рапопорт признался, что он всегда помнит об этом, когда сталкивается с проблемами оптимальной остановки в повседневной жизни. В поисках квартиры, к примеру, он всегда борется с желанием поскорее заключить сделку. «Хотя по природе своей я очень нетерпелив и готов снять первую же квартиру, я стараюсь держать себя в руках!»

Но это нетерпение подводит нас к еще одному нюансу, который мы ранее не принимали во внимание в проблеме секретаря: роль времени. В конце концов, весь период, что вы ищете секретаря, у вас по факту нет секретаря! Более того, вы тратите дни на проведение собеседований вместо того, чтобы заниматься своей работой.

Этот вид расходов вполне объясняет, почему в процессе решения проблемы секретаря люди останавливаются в поисках раньше положенного срока. Сиэл и Рапопорт продемонстрировали, что если стоимость собеседования с каждым из кандидатов составит, предположим, 1 % от стоимости поиска лучшего секретаря, то оптимальная стратегия как раз совпадет с той, где люди перешли от слов к делу во время эксперимента.

Загадка в том, что в исследовании Сиэла и Рапопорта стоимость поисков не учитывалась! Так почему же все люди в лаборатории действовали как один?

Потому что для людей время всегда имеет свою цену. Она не назначается организаторами эксперимента. Ее подсказывает сама жизнь.

«Эндогенная» стоимость времени, которую обычно не включает в себя моделирование оптимальных остановок, может, таким образом, объяснить, почему принятие решений на практике обычно расходится с тем, что рекомендуют эти модели. Как выразился Нил Бирден, исследующий проблему оптимальной остановки, «через некоторое время после начала поисков нам, людям, обычно становится скучно. В этом нет ничего иррационального, но это сложно точно смоделировать».

Это не делает проблему оптимальной остановки менее важной; на самом деле это делает ее еще более значительной, потому что поток времени превращает принятие решений в оптимальную остановку.

«Теория оптимальной остановки связана с проблемой выбора времени для совершения заданного действия», – гласит наиболее полный учебник по проблемам оптимальной остановки, и сложно придумать более емкое описание для человеческой природы. Мы выбираем нужный момент для покупки акций и для их продажи; мы также выбираем, когда открыть бутылку вина, которую приберегали для особого случая; выбираем подходящий момент, чтобы прервать кого-то – и чтобы поцеловать.

С этой точки зрения выявляется наиболее фундаментальное и вместе с тем невероятное предположение о проблеме секретаря – ее строгая серийность, ее неумолимый невозвратный ход вперед. Это и есть природа самого времени. Таким образом, явный принцип проблемы оптимальной остановки является скрытым принципом того, что значит быть живым. Это то, что подталкивает нас к решению, основываясь на еще не виданных нами возможностях, то, что заставляет нас принимать во внимание высокий риск неудачи, даже когда мы действуем оптимально. Выбор не повторяется. Нам могут предоставить похожий выбор, но точно такой же – никогда. Нерешительность и сомнения – иными словами, бездействие – так же необратимы, как и действие. Словно водитель, не могущий покинуть дорогу с односторонним движением, мы попадаем в четвертое измерение: мы действительно проходим этот путь, но только однажды.

Интуитивно мы полагаем, что рациональное принятие решений подразумевает исчерпывающее перечисление всех наших вариантов, и мы тщательно взвешиваем каждый из них, чтобы выбрать лучший. Но на практике, когда часики тикают, некоторые аспекты принятия решений (или мышления в общем) становятся столь же важны, как этот: когда же остановиться.

2. Исследование и эксплуатация

Новейший против величайшего

Ваш желудок урчит от голода. Вы пойдете в ваш давно любимый итальянский ресторан или в недавно открывшийся тайский? Возьмете с собой лучшего друга или нового знакомого, которого хотите узнать поближе? О нет, это слишком сложно. Вероятно, вы просто предпочтете остаться дома. Приготовите ужин по проверенному рецепту или порыскаете по интернету в поисках чего-нибудь новенького? Пустяки, можно же просто заказать пиццу! Возьмете «как обычно» или поинтересуетесь новинкой? Вы выдохлись раньше, чем откусили первый кусок! И мысль поставить музыкальный диск, посмотреть фильм или почитать книжку – какую же выбрать? – уже не кажется столь привлекательной!

Каждый день мы вынуждены выбирать между вариантами, которые отличаются друг от друга по одному специфическому признаку: попробуем ли мы что-то новое или останемся верны старым проверенным вариантам? Мы интуитивно понимаем, что жизнь – это баланс между нововведениями и традициями, между новейшим и величайшим, между рисками и наслаждением тем, что мы знаем и любим. Но, как и в случае с дилеммой поиска жилья, остается без ответа вопрос: а где он, этот баланс?

В 1974 году автор классики «Дзен и искусство ухода за мотоциклом» Роберт Пирсиг осудил такую разговорную форму, как «что новенького?», утверждая, что этот вопрос, «если отвечать на него максимально точно, может привести лишь к нескончаемому параду мелочей и веяний моды, этого ила завтрашнего дня». Взамен он предлагает превосходную альтернативу: «Что лучшего?»

Но реальность на поверку не так уж проста. Учитывая, что каждая «лучшая» в вашей жизни песня или ресторан когда-то были для вас чем-то новым, стоит помнить, что, возможно, впереди еще много неизведанных «лучших», а потому все новое заслуживает по меньшей мере толики нашего внимания.

Затертые до дыр афоризмы подтверждают данное противоречие, но не объясняют его. Утверждения «Заводите новых друзей, но берегите старых. Новые – серебро, а старые – золото» и «Как бы ни была жизнь богата и насыщенна, но для еще одного друга найдется в ней местечко» довольно правдивы и достоверны. Но они не могут сообщить нам ничего полезного, допустим, о соотношении «золота» и «серебра», которое в сплаве и было бы лучшим показателем правильно прожитой жизни.

Ученые-компьютерщики работают над достижением этого баланса уже более 50 лет. У них даже существует специальный термин для обозначения данного явления: компромисс между «исследовать» и «эксплуатировать».

Исследовать/эксплуатировать

В английском языке коннотации этих слов полностью противоположны. Но для ученого-компьютерщика эти слова имеют более специфическое, нейтральное значение. Проще говоря, исследование – это сбор информации, а эксплуатация – это использование уже имеющейся у вас информации для получения гарантированно хорошего результата.

Очевидно, что без исследований жить невозможно. Но стоит помнить, что отсутствие эксплуатации столь же плохо. Согласно определению в информатике, эксплуатация нужна нам для того, чтобы охарактеризовать многое из того, что мы называем лучшими моментами своей жизни. Семья, собирающаяся по праздникам вместе, – это эксплуатация. Так же как и любитель чтения, устраивающийся поудобнее в кресле с чашечкой кофе и любимой книгой, как и группа, исполняющая свой самый знаменитый хит перед толпой поклонников, как и пара, танцующая под «свою песню».

Но более того – исследование может быть проклятием.

Что, например, хорошо в музыке: всегда есть что-то новенькое, чтобы послушать. А что ужасно в музыке, если ты, к примеру, музыкальный обозреватель, так это то, что всегда есть что-то новенькое, чтобы послушать. Быть музыкальным обозревателем означает, что ты можешь исследовать материал сутками и все равно останется пара новых непрослушанных композиций. Любители музыки сочтут работу в музыкальной журналистике раем, но, когда тебе приходится постоянно исследовать новое, у тебя не остается возможности насладиться плодами своего профессионализма. А это своего рода ад. Мало кто разбирается в этом столь же глубоко, как Скотт Плагенхоф, бывший главный редактор журнала Pitchfork. «Во время работы ты пытаешься найти время послушать то, что тебе хочется, а не то, что нужно», – говорит он о жизни музыкального критика. Его отчаянное желание прекратить продираться сквозь дебри непрослушанных мелодий сомнительного качества и просто слушать любимую музыку было столь сильным, что он нарочно скачивал в свой iPod только новую музыку, чтобы было физически невозможно отказаться от выполнения своих обязанностей в те моменты, когда ему больше всего на свете хотелось послушать The Smiths. Журналист, таким образом, является мучеником, исследующим, чтобы другие могли эксплуатировать.

В информатике связь между исследованием и эксплуатацией наиболее ярко отражается в сценарии под названием «проблема многорукого бандита». Это странное название произошло от разговорного термина, обозначающего вид игровых автоматов, – «однорукий бандит». Представьте, что вы входите в зал казино, полный разных игровых автоматов, каждый из которых дает шанс на выигрыш. Закавыка в том, что вы не знаете ничего об этих шансах заранее: пока вы не начнете играть, вы не поймете, какие автоматы наиболее прибыльные («многоиграющие», как говорят игроманы), а какие только вытянут из вас все денежки.

Естественно, вы заинтересованы в максимальном выигрыше. И понятно, что это подразумевает некую комбинацию нажатий на рычаги различных автоматов с целью их проверки (исследование) и выбор среди этих автоматов наиболее перспективных (эксплуатация).

Для понимания всех тонкостей данной задачи представьте, что у вас есть только два игровых автомата. На одном из них вы сыграли 15 раз; 9 раз он выдал вам выигрыш, а 6 раз – нет. На другом вы сыграли всего дважды; один раз выиграли и один раз проиграли. Какой из автоматов перспективнее?

Просто разделите количество выигрышей на общее количество раз, что вы дернули ручку, и вы получите «ожидаемую выгоду». Согласно этому способу, первый автомат явно лидирует. Его соотношение 9: 6 дает нам 60 % ожидаемой выгоды, в то время как у второго соотношение 1: 1 дает всего 50 %. Но это еще не все. В конце концов, всего две игры – это не слишком показательно, и можно предположить, что мы просто пока не знаем, насколько хорош второй автомат.

Выбор ресторана или музыкального альбома по сути своей – это тот же выбор, за какую ручку дернуть в жизненном казино. Но поиск компромисса между «исследовать» и «эксплуатировать» – это не просто более легкий способ принять решение, где поужинать или какой диск послушать. Он дает нам базовое представление о том, как наши цели должны меняться с годами и почему наиболее рациональный принцип действий не всегда подразумевает выбор самого лучшего. И это, как выясняется, составляет самую суть процессов веб-дизайна и клинических исследований – двух понятий, которые обычно не встречаются в одном предложении.

Люди склонны раздумывать над решениями в одиночестве, чтобы сосредоточиться и понять, какое из них принесет в результате наибольшую ожидаемую выгоду. Но так редко получается на практике, да и ожидаемая выгода – еще не конец истории. Если вы размышляете не только над вашим следующим шагом, но и над всеми теми шагами, которые вы предпримете в аналогичных обстоятельствах в будущем, то соблюдение баланса «исследовать/эксплуатировать» имеет решающее значение. В этом случае, как пишет математик Питер Уиттл, проблема многорукого бандита «воплощает в себе самую суть конфликта, проявляющегося в любой деятельности человека».

Так какой же из двух рычагов дернуть? Вот тут и кроется подвох. Это целиком и полностью зависит от того, что мы еще не обсудили: как долго мы вообще собираемся оставаться в казино.

Поймай интервал

«Лови мгновение», – призывает Робин Уильямс в одной из самых памятных сцен в фильме «Общество мертвых поэтов» (1989). «Ловите мгновение, мальчики! Пусть ваша жизнь будет необыкновенной!»

Это невероятно важный совет, хоть он немного и противоречит сам себе. Ловить момент и охватить всю жизнь – два совершенно разных стремления. Есть такое выражение: «Ешь, пей, веселись, ибо завтра мы умрем», но неплохо было бы продолжить его в ином ключе: «Начни изучать новый язык, получи новые знания и навыки, заговори с незнакомцем, ведь жизнь так длинна, и кто знает, что ожидает тебя спустя много лет». Когда мы пытаемся найти равновесие между старыми любимыми впечатлениями и новыми, ничто так не важно для нас, как продолжительность времени, в течение которого мы собираемся ими наслаждаться.

«Я скорее пойду в новый ресторан, когда я только приехал в город, нежели когда я уже покидаю его», – рассказывает специалист по обработке и анализу данных и блогер Крис Стуккио, ветеран боев за компромисс «исследовать/эксплуатировать» как в работе, так и в жизни. «Сейчас я в основном посещаю рестораны, которые давно знаю и люблю, потому что собираюсь вскоре покинуть Нью-Йорк. При этом, когда я пару лет назад переехал в Индию, в город Пуна, я был готов поесть в любой чертовой забегаловке, лишь бы она не выглядела так, словно меня там собираются отравить! И когда я собрался уезжать, я ходил по старым проверенным местам вместо того, чтобы исследовать новые… Даже если бы я нашел местечко получше, я бы смог побывать там всего раз или два. Так зачем рисковать?»

Отрезвляющий момент в пробовании чего-то нового заключается в том, что ценность исследования, поисков нового фаворита, исчезает с течением времени, в то время как возможность наслаждаться найденным остается. Даже если вы обнаружите очаровательное кафе в свой последний вечер в городе, у вас уже не будет шанса еще раз туда вернуться.

Обратная же сторона медали в том, что ценность эксплуатации со временем только возрастает. Чудеснейшее кафе, о котором вы знаете сегодня, по меньшей мере настолько же чудесно, как и те чудеснейшие кафе, о которых вы знали в прошлом месяце. (А если с тех пор вы открыли для себя новое любимое место, то, может быть, и еще чудеснее!) Так что исследуйте, если у вас будет возможность насладиться впоследствии полученными результатами, и эксплуатируйте, когда будете готовы покинуть игру. Этот промежуток и определяет стратегию.

Интересно отметить, что раз стратегия определяется интервалом, то, наблюдая за стратегией, мы можем определить этот интервал. Возьмем, к примеру, Голливуд: среди десяти самых кассовых фильмов 1981 года только два были сиквелами. В 1991-м – три. В 2001-м – уже пять. А в 2011-м восемь из десяти самых кассовых фильмов оказались сиквелами! На самом деле 2011 год показал рекордный процент сиквелов от всех основных релизов киностудии. А следом 2012-й побил этот рекорд; и следующий год точно так же побьет рекорд предыдущего. В декабре 2012-го журналист Ник Аллен с заметным усталым равнодушием предсказывал наступление нового года:

Публике покажут шестую часть «Людей Икс», а заодно и «Форсаж-6», «Крепкий орешек – 5», «Очень страшное кино – 5» и «Паранормальное явление – 5». Также выйдет «Железный человек – 3», «Мальчишник в Вегасе – 3» и вторые части «Маппетов», «Смурфиков», «Броска кобры» и «Плохого Санты».

С точки зрения киностудии, сиквел – это фильм с гарантированной аудиторией поклонников: дойная корова, беспроигрышное дело. Но перегрузка этими «верняками» – недальновидный подход, как и у Стуккио с его отъездом из города. Сиквелы скорее, чем абсолютно новые фильмы, станут хитами этого года, но откуда брать следующие желанные серии в будущем? Это наводнение сиквелами не только прискорбно (как полагают критики), но и несколько мучительно. Входя в фазу чистейшей воды эксплуатации, киноиндустрия, кажется, подходит к концу своего интервала.

И беглый анализ экономики Голливуда подтверждает эту догадку. Прибыль крупнейших киностудий к 2011 году упала на 40 % по сравнению с 2007-м, а продажи билетов снизились в 7 раз за последние 10 лет. Как выразились в журнале The Economist, «зажатые между ростом расходов и падением доходов, крупные киностудии ответили на вызов выпуском новых фильмов, которые, по их мнению, должны стать хитами: обычно сиквелов, приквелов или чего-то с участием узнаваемых персонажей». Другими словами, они дергают за рычаги лучших игровых автоматов, пока их не вышвырнули из казино.

Закрепи победу

Поиск оптимальных алгоритмов, которые подсказали бы нам, как укротить «многорукого бандита», оказался весьма сложной задачей. Как рассказывает Питер Уиттл, в ходе Второй мировой войны попытки решить данную задачу «настолько подорвали силы и умы союзников… что было выдвинуто предложение подкинуть Германии эту проблему как самый действенный способ интеллектуальной диверсии».

Первые шаги к решению были предприняты годы спустя после войны, когда колумбийский математик Герберт Роббинс продемонстрировал, что существует простая стратегия, которая хоть и не идеальна, но дает некоторые гарантии. Роббинс предметно рассмотрел тот случай, когда у нас ровно два игровых автомата, и предложил способ под названием «победил – закрепи результат, проиграл – переключись»: выберите наугад любой рычаг и дергайте его до тех пор, пока автомат выдает деньги. Если после определенного рывка автомат не выдал выигрыш, стоит перейти к другому автомату. И хотя эта простая стратегия далека от оптимального решения, Роббинс в 1952 году доказал, что работает она куда лучше случайности.

Вслед за Роббинсом некоторые исследователи дальше занялись изучением принципа «оставайся победителем». Ясно, что если вы и так собирались дернуть за рычаг именно этого автомата, а он вдруг еще и выдал вам выигрыш, это немедленно увеличит его ценность в ваших глазах и вам будет хотеться и дальше дергать рычаг. И действительно, данный принцип оказывается элементом оптимальной стратегии балансирования между исследованием и использованием в широком диапазоне условий.

А вот «проиграл – переключись» – это уже совсем другая история. Менять рычаг каждый раз, как проиграешь, – довольно опрометчивый шаг. Допустим, вы посетили некий ресторан сто раз и всегда оставались довольны вкусной едой. Неужели одного-единственного разочарования будет достаточно, чтобы вы перестали туда ходить? Хорошие варианты не должны слишком строго караться за возможные несовершенства.

Что важно, принцип «победил – закрепи результат, проиграл – переключись» не имеет никакого отношения к промежутку времени, который вы пытаетесь оптимизировать. Если ваш любимый ресторан разочаровал вас в последнее посещение, данный алгоритм гласит, что вы должны отправиться на ужин в другое место – даже если это ваша последняя ночь в городе.

Таким образом, работа Роббинса о проблеме многорукого бандита дала старт появлению значительного количества прочей литературы на эту тему, и за последние годы исследователи добились существенного прогресса. Ричард Беллман, математик из корпорации РЭНД (RAND), нашел верное решение для случаев, когда мы заранее точно знаем, сколько всего шансов и возможностей у нас будет. Как и в ситуации с полной информацией в проблеме секретаря, трюк Беллмана заключался в том, чтобы на самом деле действовать от обратного, представив вначале последний рывок и предположив, какой из автоматов выбрать, учитывая все возможные результаты предыдущих решений. Выяснив это, уже можно переходить к предпоследнему варианту, потом к третьему с конца и т. д. до исходной точки старта.

Выводы, проистекающие из метода Беллмана, неоспоримы, но при большом количестве вариантов и длительном визите в казино он потребует головокружительного – или попросту невозможного – объема работы. Более того, даже если нам удастся просчитать все возможные расклады, мы все равно не будем знать точно, сколько возможностей (или хотя бы сколько способов) нам будет дано. По этим причинам проблема многорукого бандита так и остается нерешенной. По словам Уиттла, «она быстро стала классикой и синонимом неуступчивости».

Индекс Гиттинса

Как обычно бывает в математике, частное – это путь к общему. В 1970-х годах корпорация Unilever попросила молодого математика Джона Гиттинса помочь им оптимизировать некоторые клинические испытания их препаратов. И неожиданно получилось, что вместе с этим Гиттинс нашел ключ к математической загадке, которая оставалась нерешенной целым поколением.

Гиттинс, сегодня – профессор статистики в Оксфорде, размышлял над задачей, поставленной Unilever. При наличии нескольких химических соединений как быстрее всего определить, какое из них будет наиболее эффективным в борьбе с болезнью? Гиттинс попытался решить эту задачу наиболее общим способом: множественные варианты следования, разная вероятность вознаграждения за каждый из них и определенное количество усилий (или денег, или времени), которые будут между этими вариантами распределены. Это было, по сути, иное воплощение проблемы многорукого бандита.

И некоммерческие фармацевтические компании, и медицинские работники постоянно сталкиваются с противоречивыми требованиями соотношения «исследовать/эксплуатировать». Компании хотят вкладывать средства, выделяемые на научно-исследовательскую работу, в открытие новых лекарств, но в то же время желают быть уверены, что их уже существующие прибыльные производственные линии процветают. Доктора же хотят выписывать лучшие из существующих лекарств, чтобы их пациенты получали соответствующее лечение, но также хотят стимулировать экспериментальные разработки с тем, чтобы были созданы препараты, которые будут еще лучше.

В обоих случаях, кстати, не совсем ясно, каким должен быть релевантный промежуток. В некотором смысле и фармацевтические компании, и врачи заинтересованы в неопределенном будущем. Компании теоретически хотят присутствовать на рынке всегда, и прорыв в медицине может в будущем помочь людям, которые еще даже не родились! Но при этом у настоящего приоритет выше: вылеченный сегодня пациент гораздо более ценен, чем вылеченный через неделю или через год, и то же самое можно сказать и о прибылях. Экономисты называют «дисконтированием» эту идею ценить настоящее выше, чем будущее.

В отличие от своих предшественников, Гиттинс подошел к проблеме многорукого бандита с этой точки зрения. Он поставил своей целью максимизацию прибылей не в течение ограниченного временного интервала, а в бесконечном необозримом будущем, хотя и дисконтированном.

С этим дисконтированием мы не раз сталкивались в жизни. В конце концов, если вы приезжаете в город на 10 дней, вы будете принимать решение о выборе ресторана, держа в уме именно этот временной промежуток; но если вы живете здесь постоянно, то это теряет смысл. Вместо этого вы можете представить себе ценность выгод, уменьшающихся в будущем: вас больше заботит, что съесть на ужин сегодня, а не что будет на ужин завтра, а завтрашний ужин – больше, чем тот, что состоится через год, особенно в зависимости от лично вашей «дисконтной функции». Гиттинс в свою очередь предположил, что ценность, приписываемая выгодам, уменьшается в геометрической прогрессии: каждый ваш визит в ресторан стоит некой относительной доли вашего предыдущего визита. Если, к примеру, вы допускаете, что ваш шанс в любой день быть сбитым автобусом равен 1 %, то вам нужно оценить ваш завтрашний ужин на 99 % от ценности сегодняшнего, потому что есть вероятность его не съесть.

В работе над этим предположением о дисконтировании в геометрической прогрессии Гиттинс изучал стратегию, которая, как он думал, «была бы по меньшей мере хорошим приближением»: думать о каждой «руке» многорукого бандита по отдельности и попытаться вычислить ее самостоятельную ценность. Объяснял он это на весьма забавном примере – на взятках.

В популярной телеигре «Сделка?!» участник выбирает один из 26 портфелей, в которых находятся призы от одного цента до миллиона долларов. По ходу игры таинственный персонаж по имени Банкир периодически звонит и предлагает участнику различные суммы, чтобы тот не открывал выбранный портфель. Задача участника – решить, какую названную Банкиром сумму предпочесть неизвестному призу в чемодане.

Гиттинс (пусть и за много лет до выхода в эфир первого выпуска игры) понял, что проблема многорукого бандита ничем не отличается. О каждом игровом автомате мы знаем крайне мало, а то и вовсе ничего, но есть некая гарантированная сумма выигрыша, которая, если нам предложат ее взамен игры на автомате, заставит нас больше никогда не дергать этот рычаг. Эта цифра, которую Гиттинс назвал «динамический индекс распределения» и которую весь мир знает сегодня как индекс Гиттинса, предлагает очевидную стратегию поведения в казино: всегда играйте на автомате с наивысшим индексом[6].

По факту стратегия индексирования оказалась удачной. Она полностью решает проблему многорукого бандита с геометрически дисконтированными выигрышами. Напряженные взаимоотношения между исследованием и эксплуатацией превращаются в более простую задачу по максимизации единственной величины, которая составляет долю и того и другого. Гиттинс скромно оценивает свои достижения: «Это, конечно, не великая теорема Ферма, – говорит он со смешком, – но это теорема, позволяющая решить ряд вопросов дилеммы "исследование/эксплуатация"».

Расчет индекса Гиттинса для конкретного агрегата, учитывая показатели его работы и нашу ставку дисконтирования, используется и сегодня. Но как только индекс Гиттинса для определенного набора предпосылок становится известен, он может в дальнейшем использоваться для решения всех задач такого плана. Примечательно, что количество рычагов не имеет значения, поскольку индекс для каждого рассчитывается отдельно.

В таблице ниже приведены значения индекса Гиттинса для девяти успехов и неудач с тем расчетом, что выигрыш в следующей игре будет стоить 90 % от выигрыша нынешнего. Эти значения могут использоваться для решения задач многорукого бандита в повседневных делах. Например, руководствуясь данными предположениями, вы должны выбрать тот игровой автомат, у которого результат прошлых игр 1: 1 (и ожидаемая ценность 50 %), а не тот, у которого результат 9: 6 (и ожидаемая ценность 60 %). Сравнение соответствующих значений в таблице показывает, что у менее известного автомата индекс 0,6346, а у другого индекс всего 0,6300. Проблема решена: испытай удачу в этот раз и исследуй.

Глядя на таблицу значений индекса Гиттинса, можно отметить несколько интересных моментов. Во-первых, наглядно показано, как работает принцип «оставайся победителем»: в любой строке слева направо значение индекса возрастает. То есть если вы выбрали автомат, дернули за рычаг и получили выигрыш, то (согласно таблице) имеет смысл снова дергать именно его. Во-вторых, можно увидеть, в каких случаях принцип «проиграл – переключись» может вас подвести. Девять выигрышей подряд и следующий за ними проигрыш дадут индекс 0,8695, который выше других значений в таблице, и, таким образом, вам нужно оставаться у этого автомата по меньшей мере еще на одну игру.

Но самое интересное в таблице можно увидеть в верхнем левом углу. Результат 0: 0 – у автомата, который совершенно неизвестен, – обладает ожидаемой ценностью в 0,5000, а индекс Гиттинса – 0,7029. Иными словами, нечто неизведанное не является более привлекательным, чем автомат, который, как вы уже знаете, выдает деньги в семи играх из десяти! Если посмотреть по диагонали вниз, можно заметить, что соотношение 1: 1 дает в итоге индекс 0,6346, соотношение 2: 2 дает индекс 0,6010 и т. д. Если тенденция к 50 %-ным выигрышам сохраняется, то мы в итоге приходим к индексу 0,5000, тогда как практика доказывает, что в автомате нет ровным счетом ничего особенного и он в итоге забирает тот «бонус», который подталкивает нас к дальнейшему исследованию. Но конвергенция происходит довольно медленно; азарт исследователя – это все же мощная сила. И действительно, смотрите: даже неудача с самой первой игры (соотношение 0: 1) имеет индекс по-прежнему выше 50 %.

Мы также можем заметить, насколько меняется баланс «исследовать/эксплуатировать» по мере того, как мы «обесцениваем» будущее. В следующей таблице представлена точно такая же информация, как в предыдущей, но предполагается, что последующий выигрыш стоит 99 % от нынешнего, а не 90 %. В будущем, продуманном столь же четко, как настоящее, ценность случайного открытия, относящегося к принятию беспроигрышных решений, возрастает еще больше. Здесь игра на абсолютно непроверенном автомате с результатом 0: 0 имеет 86,99 % гарантированного успеха!

Индекс Гиттинса, таким образом, дает нам формальное строгое обоснование, почему мы всегда предпочитаем узнавать нечто новое при условии, что у нас есть некоторая возможность воспользоваться результатами исследования. Старая пословица утверждает, что «по ту сторону забора трава всегда зеленее», а математика объясняет, почему это так: у неизведанного всегда есть шанс оказаться лучше, даже если мы не ожидаем особой разницы и даже если оно может оказаться хуже. Непроверенный новичок ценится больше (на ранних этапах, во всяком случае), чем ветеран с такими же, казалось бы, способностями именно потому, что о новичке мы меньше знаем. Исследование ценно само по себе, поскольку поиски нового увеличивают наши шансы найти лучшее. Таким образом, именно расчет на будущее, а не концентрация на сегодняшнем дне и побуждает нас к новшествам.

Из этого следует, что индекс Гиттинса предлагает удивительно простое решение проблемы многорукого бандита. Но это вовсе не обязательно ставит точку в данном вопросе или помогает нам ориентироваться во всех соотношениях исследования/эксплуатации в повседневной жизни. С одной стороны, индекс Гиттинса оптимален только при определенных строгих условиях. Он основан на обесценивании будущих выигрышей в геометрической прогрессии, оценивая каждый на долю меньше предыдущего, то есть делая ровно то, чего, согласно многочисленным исследованиям в области бихевиористской экономики и психологии, люди обычно не делают. Но если появляются затраты на переключение между разными вариантами, индекс Гиттинса перестает быть оптимальным. (Трава по ту сторону забора, может быть, и зеленее, но это не обязательно служит основанием для того, чтобы лезть через забор – не говоря уж о том, чтобы взять второй ипотечный кредит.) И, вероятно, еще более важно то, что индекс Гиттинса невозможно вычислить походя, на лету. Если вы постоянно таскаете с собой таблицу значений индекса, то вы, конечно, можете оптимизировать свой выбор кафе и ресторанов, но затраченные время и усилия могут не стоить того. («Погодите, сейчас я разрешу наш спор. Так, этот ресторан получил 29 хороших оценок из 35, а этот – 13 из 15, и, таким образом, индекс Гиттинса… Эй, а куда все ушли?!»)

C тех пор как был разработан индекс Гиттинса, этот подход заставил ученых-компьютерщиков и статистиков искать более простые и гибкие стратегии обращения с многорукими бандитами. Эти стратегии более удобны людям (и автоматам) для применения в различных ситуациях, чем напряженные подсчеты индекса Гиттинса, и при этом они обеспечивают сравнительно хорошие показатели работы. Кроме того, они борются с одним из главных человеческих страхов относительно принятия решений о том, какой шанс нельзя упустить.

Сожаление и оптимизм

Сожаления? Их было несколько. Настолько мало, что и вспоминать не стоит.

Фрэнк Синатра

Я оптимист – не вижу особого смысла в том, чтобы быть кем-то еще.

Уинстон Черчилль

Если индекс Гиттинса слишком сложен или ситуация, в которой вы оказались, не располагает к геометрическому дисконтированию, у вас есть еще один вариант: сосредоточиться на сожалении. Когда мы выбираем, что съесть на ужин, с кем провести время или в каком городе жить, на горизонте появляются сожаления: имея набор отличных вариантов, легко замучить себя мыслями о последствиях неправильного выбора. Обычно мы сожалеем о том, что нам не удалось сделать, о возможностях, которые мы упустили. Как гласит памятная фраза бизнес-теоретика Честера Барнарда, «пробовать и ошибаться – значит хотя бы учиться; ошибиться, не попробовав, – значит пережить невосполнимую потерю того, что могло бы быть».

Сожаление, впрочем, может стать отличной мотивацией. Прежде чем создать Amazon.com, Джефф Безос занимал спокойную и хорошо оплачиваемую должность в инвестиционной компании D. E. Shaw & Co в Нью-Йорке. Запуск книжного онлайн-магазина должен был стать большим скачком – именно тем, что его босс (тот самый D. E. Shaw) советовал Джеффу тщательно обдумать. Безос рассказывает:

Общие принципы, которые я открыл и которые сделали решение предельно простым, я назвал – как назвал бы только «ботаник» – принципами минимизации сожалений. Я представил себя в возрасте 80 лет и сказал: «О'кей, вот я оглядываюсь на прожитую мною жизнь. Хотел бы я свести к минимуму те сожаления, которые мне пришлось испытать!» Я знал, что, когда мне стукнет 80, я точно не пожалею о том, что попробовал сделать это. Я не пожалею о том, что ввязался в то, что называется интернетом, и я знал, что это будет великая вещь. Я знал, что в случае неудачи я не буду сожалеть об этом, но я всегда буду сожалеть о том, что даже не попытался. Я знал, что это будет преследовать меня каждый день, поэтому, когда я взглянул на все с этой точки зрения, принять решение оказалось весьма легко.

Информатика не обеспечит вам жизнь, целиком лишенную сожалений. Однако она может предложить то, чего так добивался Безос: жизнь с минимумом сожалений.

Сожаление – результат сравнения того, что мы на самом деле сделали, с тем, что могло бы быть лучше, если оглянуться назад. В проблеме многорукого бандита «невосполнимая потеря» Барнарда на самом деле может быть точно оценена, а сожаление измерено количественно: это разница между общим выигрышем, полученным в результате следования определенной стратегии, и выигрышем, который теоретически можно было бы получить, просто дергая каждый раз за рычаг лучшего автомата (если бы нам с самого начала было известно, какой из них лучший). Мы можем вычислить эту цифру для различных стратегий и выбрать те, которые сводят ее к минимуму.

В 1985 году Герберт Роббинс предпринял вторую попытку решения проблемы многорукого бандита, спустя 30 лет после его первой работы по «победил – закрепи успех, проиграл – переключись». Ему и его коллеге из Колумбийского университета математику Цзе Люн Лаю удалось доказать несколько ключевых моментов, касающихся сожалений. Во-первых, предполагая, что вы не всезнайка, можно сказать, что число ваших сожалений никогда не перестанет расти, даже если вы будете выбирать наилучшую стратегию действий. Потому что даже наилучшая стратегия не может быть каждый раз совершенной. Во-вторых, сожаление будет расти меньшими темпами, если вы будете предпочитать лучшую стратегию всем прочим; более того, с хорошей стратегией уровень сожаления будет падать по мере более глубокого изучения проблемы и выбора лучших решений. В-третьих и в-главных, минимально возможное количество сожалений – снова не допуская всеведения – это сожаление, которое растет логарифмически выверенно с каждым рывком рычага.

Логарифмически растущее сожаление означает, что мы совершим столько же ошибок за первые десять рывков, сколько мы совершим за последующие девяносто, и столько же ошибок за первый год, сколько за оставшиеся девять из декады. (Количество ошибок в первой декаде, в свою очередь, совпадет с количеством ошибок за последующие 90 лет.) Это в какой-то мере утешает. В целом мы не можем ожидать, что в один прекрасный день сожаления вовсе исчезнут. Но если следовать алгоритму минимизации сожалений, то с каждым годом мы можем ожидать меньше сожалений, чем в предыдущем году.

После Лая и Роббинса исследователи последние десятилетия искали алгоритмы, которые могли бы гарантировать минимальное количество сожалений. Из всех обнаруженных самый популярный получил название алгоритма верхнего доверительного предела.

Иллюстрированные статистические показания часто включают в себя так называемые планки погрешностей, которые идут вверх и вниз от любой точки графика, указывая на погрешность измерений; планки погрешностей показывают диапазон вероятных значений, которых измеряемая величина может достигать. Этот диапазон также известен как доверительный интервал, и чем больше информации мы соберем о чем-либо, тем сильнее будет сокращаться доверительный интервал, отражая все более точную оценку. (Например, игровой автомат, выдавший выигрыш один раз из двух, будет иметь более широкий доверительный интервал, хотя и такую же ожидаемую выгоду, как и тот, который выдал выигрыш 5 раз из 10.) Согласно алгоритму верхнего доверительного предела, в задаче с многоруким бандитом достаточно выбрать тот автомат, у которого верхняя точка доверительного интервала будет самой высокой.

Как и индекс Гиттинса, алгоритм верхнего доверительного предела определяет единое число для каждого рычага многорукого бандита. И это число устанавливается равным наибольшему значению, которого автомат мог бы объективно достичь, основываясь на доступной нам до сих пор информации. Таким образом, алгоритм верхнего доверительного предела не учитывает, какой из автоматов был доселе лучшим; вместо этого он выбирает автомат, который объективно мог бы стать лучшим в будущем. Если вы, к примеру, никогда не были в некоем ресторане, он может оказаться гораздо лучше всех тех, что вы знаете. И даже если вы бывали в нем раз-другой и пробовали пару предлагаемых в нем блюд, вы все равно не будете достаточно информированы, чтобы исключить вероятность того, что он может оказаться лучше вашего любимого местечка. Так же, как и индекс Гиттинса, верхний доверительный предел всегда больше ожидаемой выгоды, но становится меньше и меньше по мере того, как мы накапливаем опыт работы с выбранным объектом. (Ресторан, получивший одну-единственную посредственную оценку, по-прежнему сохраняет потенциал превосходства, в отличие от ресторана, получившего сотни таких оценок.) Рекомендации, которые дает алгоритм верхнего доверительного предела, будут такими же, как и у индекса Гиттинса, но их значительно легче выработать, и они не требуют предположения о геометрическом дисконтировании.

Алгоритмы верхнего доверительного предела претворяют в жизнь принцип, прозванный оптимизмом перед лицом неопределенности. Оптимизм, как выясняется, может быть совершенно рациональным. Сфокусировавшись на том лучшем, что может дать объект, принимая во внимание доказательства, полученные к данному моменту, эти алгоритмы увеличивают возможности, о которых мы знали меньше всего. Как следствие, они действительно вносят долю исследования в процесс принятия решений, заставляя с энтузиазмом хвататься за новые возможности, потому что одна из них может оказаться выдающейся. Этот же принцип, к примеру, использовал Лесли Келблинг из Массачусетского технологического института в создании «оптимистичных роботов», которые исследуют пространство вокруг себя, повышая ценность неизведанных территорий. И это, разумеется, имеет значение для жизни человека.

Успех алгоритмов верхнего доверительного предела формально оправдывает пользу сомнений. Следуя этим алгоритмам, вы должны с восторгом знакомиться с новыми людьми и пробовать что-то новое, предполагая о них лучшее за неимением доказательств обратного. В конечном итоге оптимизм – лучшее лекарство от сожалений.

Интернет-казино

В 2007 году руководитель производственного направления компании Google Дэн Сирокер взял отпуск, чтобы присоединиться к президентской кампании тогдашнего сенатора Барака Обамы в Чикаго. Возглавив команду «Новых медиааналитиков», Сирокер использовал одну из интернет-практик Google для поддержки так называемой кнопки пожертвований кампании. Результат оказался ошеломляющим: $57 млн дополнительных пожертвований стали прямым итогом его работы.

Что именно он сделал с этой кнопкой?

Он провел сплит-тестирование.

Сплит-тестирование (или А/В-тестирование) работает следующим образом: компания разрабатывает несколько версий определенной интернет-странички. Для этого используются, например, различные цвета или изображения, разные заголовки для новостных статей или по-разному располагают элементы на экране. Затем входящие пользователи случайным образом направляются на эти страницы (как правило, в равных количествах). Один пользователь может увидеть красную кнопку, в то время как другой видит синюю; один видит «Передать в дар», а другой – «Пожертвовать». Затем соответствующие количественные показатели – например, число кликов или средняя выручка от каждого посетителя – отслеживаются. Если по истечении определенного периода времени отмечаются статистически значимые результаты, то «победившая» версия, как правило, становится окончательной – или контрольной для следующего цикла экспериментов.

В случае со страничкой пожертвований Обамы результаты А/В-тестов Сирокера были впечатляющими. В случае с теми, кто впервые посетил сайт кампании, самой действенной оказалась кнопка «Пожертвуйте и получите подарок», несмотря на то что стоимость отправки подарка учитывалась. В случае с давними подписчиками на новости сайта, которые никогда не давали ни копейки, лучше всего сработала кнопка «Пожалуйста, пожертвуйте», вероятно взывавшая к их чувству вины. Посетителей, делавших пожертвования раньше, лучше всего сподвигла на следующие пожертвования кнопка «Внести вклад» (логика в том, что человек уже пожертвовал, но всегда может внести еще немного). И во всех случаях, к огромному удивлению команды кампании, простая черно-белая фотография семьи Обамы превзошла все фото и видео, которые команда могла придумать. Чистый эффект всех этих не зависящих друг от друга оптимизаций был поистине гигантским.

Если вы пользовались интернетом за последнее десятилетие, то вы, вероятно, стали частью решения чьей-либо задачи «исследовать/эксплуатировать». Компании хотят понять, что приносит им наибольший доход, стараясь в это же время заработать как можно больше. Исследуют, эксплуатируют. Крупные технологические компании, такие как Amazon и Google, начали проводить А/В-тесты на своих пользователях примерно с 2000 года, и в последующие годы интернет превратился в крупнейший управляемый эксперимент в мире. Что эти компании исследуют и эксплуатируют? Ну, например, вас: выясняют, что может заставит вас двинуть мышкой и раскошелиться.

Компании проводят А/В-тесты навигации по их сайтам, адресных строк и времени рассылки их рекламных имейлов, а иногда даже своих текущих характеристик и ценообразования. Вместо обычного алгоритма поиска Google и простого оформления заказов на Amazon теперь существует бессчетное множество едва уловимых изменений и перестановок. (К примеру, Google самым глупым образом протестировал 41 оттенок синего для одной из своих панелей инструментов в 2009 году.) Но в некоторых случаях маловероятно, что произвольная пара пользователей будет иметь абсолютно одинаковый опыт.

Специалист по обработке данных Джефф Хаммербахер, бывший сотрудник Facebook, однажды сказал в интервью Bloomberg Businessweek, что «лучшие умы моего поколения размышляют над тем, как заставить людей кликать по объявлениям». Вспомните «Вопль» Аллена Гинзбурга – «Я видел лучшие умы своего поколения, разрушенные безумием» – самое известное произведение бит-поколения. Хаммербахер оценивает такое положение дел как «отстой». Но, несмотря ни на что, интернет все же дает возможности для развития экспериментальной науки о кликах мышкой, о чем маркетологи прошлого не могли и мечтать.

Мы все, разумеется, знаем, что произошло с Обамой на выборах 2008 года. Но что же случилось с его аналитическим директором Дэном Сирокером? После инаугурации Сирокер вернулся на запад, в Калифорнию, и вместе с коллегой из Google Питом Куменом организовал фирму по оптимизации веб-сайтов Optimizely. К президентскому избирательному циклу 2012 года среди проектов их компании фигурировала как кампания по перевыборам Обамы, так и кампания кандидата от республиканцев Митта Ромни.

В течение примерно 10 лет после первого использования А/В-тестирование перестало быть секретным оружием. Оно так глубоко укоренилось в принципах ведения бизнеса и политики в интернете, что стало считаться чем-то само собой разумеющимся. Каждый раз, открывая браузер, вы можете быть уверены, что все цвета, изображения, тексты, возможно, даже и цены, которые вы видите, – и, конечно же, объявления – пришли из алгоритма исследования/эксплуатации, подстраиваясь под ваши клики. В этой конкретной задаче многорукого бандита вы не азартный игрок; вы – джекпот.

Сам процесс сплит-тестирования с течением времени становится все более изящным. Наиболее традиционная схема А/В-тестирования – разделение потока пользователей поровну между двумя вариантами в течение заданного периода времени, а затем передача всего трафика целиком победителю – необязательно может быть лучшим алгоритмом для решения данной проблемы, так как она означает, что половина пользователей получает худший по качеству вариант на время проведения тестирования. Награда за нахождение лучшего подхода потенциально весьма высока. Более 90 % от годового дохода компании Google (а это $50 млн) сегодня составляет доход от платной рекламы, а онлайн-торговля насчитывает сотни миллиардов долларов в год. Это означает, что алгоритмы исследования/эксплуатации эффективно властвуют – экономически и технологически – над значительной долей интернета в целом. Лучшие алгоритмы до сих пор горячо обсуждаются, конкурирующие статистики, инженеры и блогеры ведут бесконечные споры об оптимальном способе сбалансировать исследование и эксплуатацию в каждом возможном сценарии ведения бизнеса.

Обсуждения малейших отличий между разными взглядами на проблему исследования/эксплуатации могут показаться безнадежно туманными. На деле оказывается, что эти различия имеют огромное значение – и на кону не только президентские выборы или интернет-экономика.

На кону человеческие жизни.

Испытательный срок клинических исследований

Между 1932 и 1972 годами несколько сотен больных сифилисом афроамериканских мужчин в округе Мейкон, штат Алабама, были намеренно оставлены без медицинской помощи в рамках сорокалетнего эксперимента Службы общественного здравоохранения США, известного как Таскиджийское исследование сифилиса. В 1966 году сотрудник службы здравоохранения Питер Бакстун заявил протест. Второй протест был заявлен в 1968 году. Но ситуация не менялась, пока он не донес информацию до СМИ. Статья об этом вышла в The Washington Star 25 июля 1972 года, а на следующий день появилась на первой полосе The New York Times. И правительство США наконец прекратило исследование.

Общественный резонанс и последующие слушания в Конгрессе привели к инициативе по формальному закреплению принципов и стандартов медицинской этики. В результате заседания комиссии в 1979 году в Бельмонтском конференц-центре в Мэриленде был принят документ, известный также как Бельмонтский отчет. В нем изложены этические основы медицинских экспериментов. Таскиджийский эксперимент – вопиющее, однозначно неприемлемое нарушение долга работников системы здравоохранения по отношению к пациентам – благодаря этому не должен повториться. Но документ также отмечает, что в некоторых случаях сложно определить, где же должна проходить граница возможного.

«Завет Гиппократа "не навреди" давно уже стал основополагающим принципом медицинской этики, – отмечается в докладе. – [Физиолог] Клод Бернар распространил его действие и на сферу медицинских исследований, сказав, что никто не имеет права нанести человеку вред, независимо от тех выгод, которые это может принести остальным. Тем не менее, чтобы понять, как избежать вреда, потребуется изучение, которое может этот самый вред нанести; и в процессе получения этой информации некоторые субъекты могут быть подвержены риску». Таким образом, Бельмонтский отчет признает, но не отменяет той напряженности, которая неизбежно возникает между действием на основе неких имеющихся знаний и желанием получить еще больше знаний. Кроме того, становится ясно, что в отдельных случаях получение дополнительной информации может быть настолько ценным, что приходится опустить некоторые аспекты медицинской этики. Клинические испытания новых препаратов и методов лечения, отмечается в отчете, часто требуют риска причинения ущерба некоторым пациентам, даже если принимаются все меры по минимизации этого риска.

Но принцип милосердия не всегда столь однозначен. Остается сложная этическая проблема, касающаяся, например, исследований [по детским заболеваниям], имеющих степень риска выше минимального уровня при отсутствии в ближайшей перспективе непосредственной пользы для детей, включенных в эксперимент. Некоторые утверждают, что подобные исследования неприемлемы, но другие считают, что некий минимальный лимит исключит необходимость проведения многих исследований в будущем, обещая принести огромную пользу здоровью детей в перспективе. И здесь снова, как и во всех сложных ситуациях, различные требования, предусматриваемые принципом благодеяния, могут вступить в конфликт и поставить перед сложным выбором.

Один из основных вопросов, поднятых за время существования Бельмонтского отчета, звучит так: действительно ли стандартный подход к проведению клинических исследований предполагает свести к минимуму риски для пациентов? В традиционном клиническом испытании пациенты разделены на группы, и каждой группе назначается различное лечение на время проведения исследования. (Только в исключительных случаях испытания прекращают досрочно.) Цель данного способа – выяснить, какое лечение эффективнее, а не обеспечить каждому пациенту в отдельности наилучшую терапию. В этом случае он работает точно так же, как А/В-тестирование веб-сайта, когда определенные группы людей получают некий опыт в ходе эксперимента, который зарекомендует себя позднее. Но врачи, как и технологические компании, получают информацию о том, какой метод лучше, непосредственно в процессе исследования – информацию, которая может использоваться для улучшения результатов не только у будущих пациентов, но и у тех, кто уже вовлечен в испытание.

Миллионы долларов тратятся на исследования оптимальной конфигурации веб-сайта, но в клинических испытаниях последствия экспериментов с оптимальными методами лечения – это в буквальном смысле вопрос жизни и смерти. И все больше врачей и аналитиков полагают, что мы действуем неправильно: мы должны отнестись к проблеме выбора методов лечения как к задаче многорукого бандита и попытаться найти лучшие варианты терапии для пациентов еще в процессе исследования.

В 1969 году Марвин Зелен, гарвардский специалист по медико-санитарной статистике, предложил проводить «адаптивные» исследования. Одна из предложенных им идей заключалась в алгоритме случайной выборки по последнему успеху – этакий вариант принципа «победил – закрепи успех, проиграл – переключись», в котором возможность использования определенного лечения повышается с каждой победой и уменьшается с каждым поражением. Согласно методу Зелена, перед вами шляпа, в которой находится два шара, каждый из которых символизирует один из двух вариантов лечения, предполагаемых к изучению. Принцип лечения первого пациента определяется случайным образом, путем вытаскивания наугад любого шара из шляпы (после этого шар кладут обратно в шляпу). Если выбранное лечение оказывается успешным, то вы кладете в шляпу еще один шар, символизирующий данный способ лечения, – и теперь у вас есть три шара, два из которых – это успешное лечение. Если же выбранное лечение не приносит результатов, то в шляпу кладется еще один шар, обозначающий другой метод лечения, что повышает вероятность выбора альтернативы.

Алгоритм Зелена был впервые применен 16 лет спустя для изучения экстракорпоральной мембранной оксигенации, или ЭКМО, – революционного подхода к лечению дыхательной недостаточности у младенцев. Согласно разработанному в 1970-х годах Робертом Бартлеттом из Мичиганского университета методу ЭКМО, кровь, поступающая к легким, забирается, насыщается кислородом с помощью специального аппарата и возвращается к сердцу. Это радикальная мера, весьма рискованная (возможно даже осложнение в виде эмболии), но она предлагает реальный выход в ситуациях, когда других вариантов уже не остается. В 1975 году метод ЭКМО сохранил жизнь новорожденной девочке, которой даже искусственная вентиляция легких не обеспечивала достаточное количество кислорода. Сегодня эта девочка – счастливая сорокалетняя жена и мать. Но на первых порах процедура ЭКМО считалась более чем экспериментальной и первые ее испытания на взрослых не выявили особых преимуществ метода по сравнению с традиционными формами лечения.

С 1982 по 1984 год Бартлетт и его коллеги из Мичиганского университета провели исследование на новорожденных с дыхательной недостаточностью. Исследователи подняли вопрос, как они сами обозначили его, «этического аспекта проведения неапробированного, но потенциально спасающего жизни метода лечения» и не хотели «скрывать спасительное лечение от будущих пациентов ради случайного выбора традиционных назначений». По этой причине они прибегли к методу Зелена. Стратегия привела к тому, что один ребенок получил традиционное лечение и умер, а одиннадцати новорожденным подряд был назначен экспериментальный метод ЭКМО и все они выжили. В период с апреля по ноябрь 1984 года, после окончания официального исследования, еще десять новорожденных подпали под критерии лечения методом ЭКМО. К восьмерым из них этот метод был применен, и все восемь выжили. Двоих оставшихся пытались лечить традиционными способами, и они скончались. Эти цифры говорят о многом, но тем не менее вскоре после того, как Мичиганский университет завершил исследование ЭКМО, оно стало предметом многочисленных споров. Столь малое количество пациентов, получивших в рамках исследования традиционное лечение, значительно отличается от традиционной методики проведения испытаний, а сама процедура была высокоинвазивной и крайне рискованной. После публикации статьи профессор биологической статистики Гарвардского института общественного здравоохранения Джим Уор и его коллеги-медики тщательно изучили данные и пришли к выводу, что они «не оправдывают применение метода ЭКМО без дальнейшего углубленного изучения». Так Уор с коллегами организовали второе клиническое испытание в попытках сбалансировать обретение новых знаний с эффективным лечением пациентов, но используя менее радикальные методики. Они собирались случайным образом назначать пациентам либо ЭКМО, либо традиционное лечение, пока количество смертей в одной из групп не достигнет предварительно заданного показателя. Тогда назначение лечения всем пациентам в группах будет изменено на то, которое окажется более эффективным из двух.

На первом этапе исследования Уора четверо из десяти детей, получивших традиционное лечение, умерли, а все девять из девяти, к кому было применено ЭКМО, выжили. Четырех смертей было достаточно, чтобы запустить вторую фазу исследования, в которой двадцати пациентам было сделано ЭКМО, и девятнадцать выжили. Уор и его коллеги были убеждены полученными результатами, заключив, что «сложно будет оправдать дальнейшую рандомизацию с этической точки зрения».

Но некоторые врачи на тот момент уже пришли к этому выводу самостоятельно и подняли шум. В число критиков входил и Дон Берри, один из ведущих мировых экспертов по проблеме многорукого бандита. В комментарии, который был опубликован параллельно с результатами исследования Уора в журнале Statistical Science, Берри писал, что «случайный выбор пациентов для получения не-ЭКМО-лечения в исследовании Уора был неэтичным. …С моей точки зрения, исследование Уора не должно было проводиться».

И все-таки исследование Уора убедило не все медицинское сообщество. В 1990-х в Великобритании было проведено еще одно исследование ЭКМО, в котором участвовали около двухсот младенцев. Вместо адаптивных алгоритмов в этом исследовании использовались традиционные методы, то есть младенцы были случайным образом разделены на две равные группы. Исследователи объяснили свой эксперимент тем, что польза ЭКМО «является спорной только из-за различной интерпретации имеющихся данных». Как выяснилось, разница между двумя способами лечения не была столь ярко выражена в Великобритании, в отличие от США, но результаты тем не менее были заявлены «в соответствии с ранее сделанными заключениями о том, что применение метода ЭКМО снижает риск смертности». Какова была цена этого знания? В группе с применением традиционных методов лечения умерло на 24 младенца больше, чем в группе, где проводилось ЭКМО.

Трудность в признании результатов адаптивных клинических исследований может на первый взгляд показаться непонятной. Но учтите, что вклад статистики в медицину в начале XX века заключался в том, чтобы превратить ее из той сферы, где доктора в отдельно взятых ситуациях должны были убеждать друг друга в пользе новых методов лечения, в такую, где у них были бы четкие указания, какого рода данные убедительны, а какого – нет. Изменения в общепринятой статистической практике имеют все шансы нарушить это хрупкое равновесие, по крайней мере временно.

После спора, возникшего по поводу ЭКМО, Дон Берри перешел из отдела статистики Университета Миннесоты в Онкологический центр М. Д. Андерсона в Хьюстоне, где он применил методы, полученные в ходе изучения проблемы многорукого бандита, в разработке клинических испытаний для различных способов лечения рака. И хотя он остается самым громогласным критиком рандомизированных клинических испытаний, он ни в коем случае не одинок. В последние годы идеи, за которые он боролся, наконец-то стали массовыми. В феврале 2010 года Управление по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США выпустило «руководство» – документ под названием «Адаптивный дизайн клинических исследований лекарственных средств и биопрепаратов», свидетельствующий о том, что они наконец-то готовы изучить альтернативы (несмотря на то что медики всю жизнь цеплялись за вариант, которому доверяют).

Беспокойный мир

Стоит только познакомиться с многорукими бандитами, как вы начнете видеть их повсеместно. Редко когда мы принимаем «изолированное» решение, результаты которого не будем использовать позже. Поэтому логично будет поинтересоваться, насколько в целом люди настроены решать подобные задачи, – вопрос, который широко изучался психологами и поведенческими экономистами.

Представляется, что люди склонны к избыточным исследованиям: новому уделяется несоизмеримо больше внимания, чем лучшему. Наиболее ярко данный феномен был продемонстрирован в 1966 году в эксперименте Амоса Тверски и Варда Эдвардса, когда испытуемым показали ящик с двумя лампочками на нем и сказали, что каждая лампочка будет загораться на какой-то определенный (но неизвестно какой) отрезок времени. Затем им дали 1000 шансов либо наблюдать, какая из лампочек загорится, либо сделать ставку на тот или иной результат, не видя самих лампочек. (В отличие от более традиционной схемы с многоруким бандитом, здесь невозможно было выбрать вариант, который был бы одновременно и заключением пари, и наблюдением; участники только в самом конце могли узнать, победила их ставка или нет.) Это чистой воды поединок между исследованием и эксплуатацией, сбором информации и ее использованием. В основном люди выбирали разумную стратегию, наблюдая за лампочками некоторое время, а затем делая ставки на кажущийся им наиболее вероятным исход. Но они неизменно тратили на наблюдение больше времени, чем требовалось. Насколько же больше? В первом эксперименте одна лампочка горела 60 % времени, а другая 40 %; разница не слишком заметна. В этом случае люди предпочли 505 раз в среднем наблюдать, а в остальных 495 попытках делать ставки. Но математика говорит, что им следовало бы начинать спорить после 38 наблюдений, оставляя себе 962 шанса выиграть пари.

Другие исследования привели к аналогичным выводам. В 1990-х исследователи из Уортонской школы бизнеса Роберт Мейер и Янг Ши провели эксперимент, в котором людям предлагалось на выбор два варианта: один с верным шансом на успех, а другой с неизвестным, а именно две авиакомпании: перевозчик с именем, всегда прилетающий по расписанию, и совершенно новая авиакомпания, не имеющая пока репутации. С учетом цели максимизации количества прибывших вовремя рейсов за установленный период времени математически оптимальной стратегией было бы летать новой авиакомпанией при условии, что преимущества перевозчика с именем не столь очевидны. Если в какой-то момент станет ясно, что известная авиакомпания лучше (то есть если индекс Гиттинса у новичка падает ниже показателей «ветерана»), тогда вы немедленно переключаетесь на авиакомпанию с именем и больше никогда не изменяете своему выбору. (Если в этой ситуации вы не сможете получить больше информации о компании-новичке, как только перестанете с ней летать, у нее не будет шансов реабилитироваться.) Но в процессе эксперимента люди предпочитали летать неизвестной авиакомпанией слишком редко, когда все было хорошо, и слишком часто, когда все было плохо. Они также не ставили на ней крест, продолжая периодически выбирать ее, особенно в ситуациях, когда ни один перевозчик не прибывал вовремя по расписанию. Все это лишний раз подтверждает тенденцию к чрезмерному исследованию.

И наконец, психологи Марк Стейверс, Майкл Ли и Э.-Я. Вагенмакерс провели эксперимент с четырехруким бандитом, предложив группе людей выбрать, за какой рычаг дергать, предоставив для этого 15 попыток. Затем они классифицировали стратегии, которые, как им показалось, использовали участники. Итоги показали, что 30 % участников были наиболее близки к оптимальной стратегии, 47 % предпочитали принцип «победи – закрепи успех, проиграл – переключись» и 22 % хаотично выбирали между выбором нового рычага и рычагом лучшего до сих пор автомата. Это опять-таки согласуется со склонностью к чрезмерным исследованиям, так как и принцип «закрепи победу», и случайный выбор рычага заставляют людей пробовать нечто отличное от того, что привело к успеху в последней игре, хотя вместо этого они могли бы, наоборот, наслаждаться результатами. Таким образом, в то время как мы склонны нанять нового секретаря слишком быстро, мы, как правило, прекращаем летать новой авиакомпанией слишком поздно. Но так же как работа без секретаря имеет свои издержки, так же есть свои издержки у слишком быстрого привыкания к новой авиакомпании: мир может измениться.

Обычная проблема многорукого бандита предполагает, что вероятность выиграть у автомата остается неизменной на протяжении долгого времени. Но это не всегда верно относительно авиакомпаний, ресторанов или прочих ситуаций, где люди должны делать повторный выбор. Если вероятность выигрыша на различных автоматах меняется со временем (так называемый беспокойный бандит), то задача становится значительно сложнее. (Настолько сложнее, что простого алгоритма решения, по сути, не существует, и считается, что его и не будет никогда.) Один из аспектов этой сложности заключается в том, что речь больше не идет об исследовании в течение какого-то отрезка времени, а затем – эксплуатации: когда мир меняется, продолжать исследовать может быть наилучшим выходом. Возможно, через несколько лет стоит вновь посетить разочаровавший вас ресторан. А вдруг там поменялось руководство?

В своей знаменитой книге «Прогулки» Генри Дэвид Торо размышлял о том, что предпочитает, путешествуя, не уезжать далеко от дома, что никогда не уставал от окрестностей и всегда находил нечто новое или удивительное в пейзажах Массачусетса. «Существует своего рода гармония между картинами пейзажа в радиусе десяти миль, в маршруте послеобеденной прогулки, в веке человеческой жизни, – писал он. – Они никогда не будут достаточно хорошо вам знакомы».

Жизнь в беспокойном мире требует от каждого из нас доли неугомонности. До тех пор пока мир продолжает меняться, вы не должны прекращать исследовать его.

Тем не менее алгоритмы, заточенные под стандартную проблему многорукого бандита, пригождаются и в беспокойном мире. Такие методы, как индекс Гиттинса или верхний доверительный предел, предлагают довольно верные решения, особенно если выигрыш не слишком меняется с течением времени. А большинство выгод в этом мире сегодня гораздо более статичны, чем когда-либо были. Горсть ягод будет спелой неделю, а потом сгниет, но, как сказал Энди Уорхол, «кола – это кола». Инстинкты, заложенные эволюцией для жизни в постоянном течении, не всегда окажутся нужными в эпоху промышленной стандартизации.

Производные понятия от классической формы проблемы – баланс между исследованием и эксплуатацией, важность интервала, высокая стоимость варианта 0: 0, минимизация сожалений – вкладывают новый смысл не только в задачи, с которыми нам приходится сталкиваться, но и во всю нашу жизнь.

Исследуй…

Хотя лабораторные исследования могут быть поучительными и красноречивыми, большинство важнейших задач, которые нам приходится решать, весьма далеки от них. И изучение структуры окружающего нас мира, и формирование прочных социальных связей – пожизненные проекты. Так что весьма поучительно будет понаблюдать, как общая картина раннего исследования и поздней эксплуатации выглядит на протяжении всей жизни.

Один любопытный факт человеческого существования, который стремится понять и объяснить любой психолог, заключается в том, что нам требуются многие годы, чтобы стать опытными и независимыми. Карибу и газели должны быть готовы убегать от хищников с первого дня жизни, в то время как человеку требуется почти год, чтобы сделать первый шаг. Элисон Гопник, профессор психологии Калифорнийского университета в Беркли и автор книги «Ученый в колыбели», объясняет, почему у людей такой длительный период зависимости: «…это дает нам пройти полный путь развития в решении конфликта между исследованием и эксплуатацией». Как мы могли убедиться, хорошие алгоритмы игры с многорукими бандитами, как правило, склоняют нас на раннем этапе больше к исследованию, а на позднем – к эксплуатации полученных знаний. Но, как пишет Гопник, «существенный недостаток в том, что вы не получите хороший барыш, находясь на стадии разведки». Поэтому детство «дает нам период просто исследовать возможности и не беспокоиться о выгоде, потому что об этом побеспокоятся мамы и папы, бабушки и няни».

Думать о детях как о находящихся на переходном этапе разведки жизненного алгоритма может быть утешительно для родителей дошкольников. (У Тома две дочери дошкольного возраста, и он надеется, что они следуют алгоритму минимизации сожалений.) Но это также дает возможность взглянуть по-новому на рациональность детей. Гопник пишет: «Если вы понаблюдаете за тем, как люди воспринимают детей, станет ясно, что дети совершенно не приспособлены к жизни: если посмотреть на их практические навыки, то вы ужаснетесь. Они не могут завязать шнурки, не имеют понятия о долгосрочном планировании, не умеют долго фокусировать внимание. Это все у детей действительно выходит ужасно». Но беспорядочно жать на кнопки, живо интересоваться новыми игрушками, мгновенно переключаться с одного на другое детям удается отлично. И это именно то, чем они и должны заниматься, если их цель – исследование. Если вы младенец, то засовывать в рот каждый предмет в доме – это все равно что дергать в целях изучения за все рычаги в казино.

В общем и целом наше восприятие рациональности чаще продиктовано эксплуатацией, а не исследованием. Когда мы говорим о принятии решений, мы обычно фокусируемся на немедленной выгоде, которую это единственное решение должно принести. А если относиться к каждому решению как к последнему в жизни, тогда, конечно, только эксплуатация имеет смысл. Но на протяжении всей жизни вам придется принимать множество решений. И будет разумным сделать акцент на исследовании (новое, а не лучшее, захватывающее, а не безопасное, спонтанное, а не запланированное), по крайней мере в начале жизни. То, что мы принимаем за детские капризы, может быть проявлением мудрости большей, чем наша.

…и пользуйся

На своем читательском пути я дошла до той точки, которая наверняка знакома многим: в отведенный мне отрезок земной жизни должна ли я читать все больше и больше новых книг или лучше прекратить это бесполезное потребление – бесполезное, потому что оно не имеет конца, – и начать перечитывать те книги, которые принесли мне наибольшее удовольствие в прошлом.

Лидия Дэвис

Противоположность малышам – старики. Мысли о старении с точки зрения дилеммы «исследовать/эксплуатировать» также приводят к удивительным открытиям относительно того, каких изменений нам следует ожидать от жизни с течением времени.

Лаура Карстенсен, профессор психологии в Стэнфорде, всю свою карьеру боролась с нашими предубеждениями о старении. В частности, она изучила, как именно и почему социальные взаимоотношения людей меняются с возрастом. Основная картина ясна: обширность социальных связей (то есть количество межличностных отношений, в которые мы вовлечены) практически всегда уменьшается с течением времени. Но исследование Карстенсен заставило нас иначе взглянуть на это явление.

Привычное объяснение, почему пожилые люди имеют меньше социальных связей, звучит так: это всего лишь один из показателей ухудшения качества жизни, которое приходит с возрастом, результат пониженной способности вносить вклад в социальные взаимоотношения, бóльшая хрупкость и общая отстраненность от общества. Но Карстенсен утверждает, что пожилые люди сужают круг социальных связей по собственному желанию. По ее словам, это сужение – «результат процессов отбора на протяжении всей жизни, с помощью которых люди стратегически культивировали свои социальные связи, чтобы максимизировать социальные и эмоциональные выгоды и свести к минимуму социальные и эмоциональные риски».

Карстенсен и ее коллеги обнаружили, что сокращение социальных связей по мере старения связано в первую очередь с «обрубанием» периферийных, второстепенных отношений и сосредоточением на главном – близких друзьях и членах семьи. Этот процесс представляется осознанным, заранее обдуманным решением: по мере того как люди приближаются к концу жизни, они хотят уделить внимание наиболее значимым для них вещам.

В рамках исследования достоверности данной гипотезы Карстенсен и ее коллега Барбара Фредриксон попросили людей выбрать, с кем бы они предпочли провести полчаса: с близким членом семьи, с автором книги, которую они недавно прочли, или с кем-то из недавних знакомых, с кем нашлись общие интересы. Пожилые люди предпочли членов семьи, а молодежь с равным энтузиазмом отнеслась и к перспективе провести время с автором книги, и к возможности найти новых друзей. Но в тот момент, когда молодым людям предложили представить, что им предстоит переехать на другой конец страны, они тоже предпочли члена семьи. На втором этапе исследования Карстенсен с коллегами получили тот же результат в другом контексте: когда пожилых попросили представить, что прорыв в медицине позволит им прожить еще на 20 лет дольше, их выбор не отличался от выбора молодежи. Смысл в том, что эти различия в социальных предпочтениях не имеют ничего общего с возрастом: они скорее говорят о том, на какой точке интервала люди воспринимают себя в момент принятия решения.

Ощущение того, сколько времени у тебя остается в запасе, – именно то, что предлагает компьютерная наука для решения проблемы «исследовать/эксплуатировать». Мы стереотипно думаем о молодых как о непостоянных, а о старых – как об имеющих четкие убеждения. В действительности же и те, и другие ведут себя соответственно их положению относительно их интервалов. Осознанное сужение социальных связей до самых значимых отношений – разумная реакция на ограниченность времени на то, чтобы насладиться ими.

Осознание того, что пожилой возраст – это всего лишь время, отведенное для эксплуатации, открывает новые точки зрения на процесс старения. Например, если учеба в колледже – новая социальная среда, состоящая из людей, которых мы никогда раньше не встречали, – обычно воспринимается как позитивное, захватывающее время, то переезд в дом престарелых – также новая социальная среда, состоящая из людей, которых мы никогда раньше не встречали, – может быть довольно болезненным. И эта разница отчасти является следствием того, на какой стадии процесса исследования/эксплуатации мы находимся в те или иные этапы нашей жизни.

Баланс между исследованием и эксплуатацией также говорит о том, как следует воспринимать советы от старших. Когда ваш дедушка рассказывает, какие рестораны хороши, к нему стоит прислушаться. Это жемчужины, выловленные за десятилетия поисков. Но если он каждый день в пять часов вечера отправляется в один и тот же ресторан, то вам не стоит ограничивать себя в изучении новых возможностей, даже если они, вероятно, окажутся хуже.

Возможно, самый глубокомысленный вывод из размышлений о дальнейшей жизни как о возможности использовать накопленный десятилетиями опыт заключается в следующем: жизнь должна стать лучше с течением времени. Выгода, которую исследователь извлекает из обретенных знаний, – это удовольствие. Индекс Гиттинса и верхний доверительный предел, как мы видим, завысили значимость малоизвестных вариантов сверх наших ожиданий, так как приятные сюрпризы принесут во много раз больше выгоды. Но в то же время это означает, что исследование неизбежно будет в итоге отодвинуто в сторону. Посвящение большего внимания тому, что любишь, улучшает качество жизни. И, кажется, это действительно так: Карстенсен обнаружила, что пожилые люди в большинстве своем гораздо больше удовлетворены имеющимися у них социальными связями и их уровень эмоционального благополучия выше, чем у более молодых.

Так что завсегдатаев этого ресторанчика, с наслаждением вкушающих плоды своих жизненных исследований, на склоне дней ожидает еще очень многое.

3. Сортировка

Создаем порядок

Если слово, которое вы хотите найти, начинается с буквы «а», ищите его в начале данной таблицы, а если с буквы «ф» – ищите ближе к концу. Таким же образом, если слово начинается с буквосочетания «ва», вы найдете его в начале раздела слов на букву «в», а если с буквосочетания «ву» – ищите ближе к концу раздела. И далее следуйте тому же правилу.

Роберт Каудри. Алфавитная таблица (1604)

До того как Данни Хиллис основал корпорацию Thinking Machines и изобрел машину логических связей, он был обычным студентом Массачусетского технологического института, жил в студенческом общежитии и был в ужасе от носков своего соседа по комнате.

В ужас Хиллиса приводило вовсе не несоблюдение гигиены, часто свойственное студентам колледжа. Дело было не в том, что сосед Хиллиса не стирал свои носки. Он их как раз стирал. Проблема заключалась в том, что происходило после.

Молодой человек доставал носок из корзины с чистым бельем. Потом наугад доставал второй. Если носки не оказывались парными, он бросал второй носок обратно в корзину. Этот процесс продолжался до тех пор, пока он не находил пару первому носку.

Итак, при 10 разных парах носков ему приходилось в среднем 19 раз вытаскивать разные носки, чтобы подобрать одну пару, и еще 17 раз, чтобы составить вторую. В общей сложности сосед Хиллиса мог вылавливать по одному носку 110 раз, чтобы собрать 20 пар. Этого было достаточно, чтобы начинающий компьютерный специалист переехал жить в другую комнату.

Сегодня обсуждение техники сортировки носков может пробудить в программистах удивительное красноречие. Вопрос о носках, опубликованный на программистском сайте Stack Overflow в 2013 году, вызвал настоящие дебаты.

«Проблема с носками ставит меня в тупик!» – признался легендарный специалист по криптографии и информатике, лауреат премии Тьюринга Рон Ривест, когда мы заговорили с ним об этом вопросе.

Во время встречи на нем были сандалии на босу ногу.

Радости сортировки

Сортировка лежит в основе работы компьютеров. По сути, именно необходимость сортировки послужила причиной создания компьютера.

В конце XIX века прирост населения Соединенных Штатов составлял 30 % за десятилетие, и количество «объектов исследования» Бюро переписи населения за 10 лет с 1870 по 1880 год возросло с пяти до более чем двухсот. Подведение итогов переписи 1880 года заняло восемь лет, и почти сразу после окончания работ стартовала перепись 1890 года.

Как выразился один писатель того времени, было удивительно, как «канцелярские работники, заваленные бессчетным количеством бумаг… не ослепли и не сошли с ума».

Само ведомство едва не рухнуло под собственным весом. Нужно было срочно что-то делать.

Вдохновленный существовавшей в то время системой компостирования железнодорожных билетов изобретатель Герман Холлерит решил использовать технологию компостирования карточек из манильской бумаги для хранения информации. Для учета и сортировки карточек им была изобретена первая табулирующая машина, которая позднее была названа его именем. Он получил патент на устройство в 1889 году, а уже в 1890-м машина Холлерита была одобрена правительством для использования при переписи населения. До этого никто не видел ничего подобного.

Восхищенный обозреватель писал: «Этот аппарат работает с божественной точностью, но по скорости превосходит даже высшие силы». Другой обозреватель тем не менее отметил, что область применения машины ограничена и «изобретатель вряд ли разбогатеет на этом устройстве, поскольку никто кроме правительства не станет его использовать». Этому прогнозу, который Холлерит взял на заметку, не было суждено сбыться в точности. Фирма Холлерита объединилась с рядом других компаний в 1911 году и вошла в промышленный конгломерат CTR (Computing-Tabulating-Recording Company). Спустя несколько лет компания была переименована в IBM (International Business Machines).

Техника сортировки продолжала подстегивать развитие компьютерной науки на протяжении следующего столетия. Первым в мире кодом, написанным для ЭВМ с запоминаемой программой, стала программа для эффективной сортировки. В сущности, именно способность компьютера заменить аппараты IBM, заточенные исключительно под сортировку перфокарт, убедила американское правительство в том, что колоссальные инвестиции в создание универсальной машины оправданны.

Согласно проведенному исследованию, к 60-м годам ХХ века более четверти мировых компьютерных ресурсов были задействованы в процессах сортировки. Что неудивительно, ведь сортировка – неотъемлемая часть работы практически с любым видом информации. Будь то определение наибольшей или наименьшей величины, общего или частного, суммирование, индексирование, выявление дублирующей информации или просто поиск того, что вам нужно, – все это, в сущности, начинается с процесса сортировки.

На самом деле применение сортировки выходит далеко за рамки этих процессов, поскольку одна из ее основных целей – продемонстрировать человеку возможную пользу вещей. Из этого мы делаем вывод, что сортировка – это также ключ к человеческому восприятию информации.

Отсортированные списки в наше время применяются повсеместно и так естественно внедрились в нашу среду обитания, что нужно быть внимательными и сосредоточенными, чтобы обнаружить их (как рыбе, которая захотела бы узнать, что такое вода). Но, заметив их однажды, вы будете замечать их всегда.

В нашей входящей корреспонденции обычно отображаются последние пятьдесят из тысяч писем, отсортированных по времени получения. Когда мы ищем нужный ресторан с помощью сервиса Yelp, поиск выдает топ-10 мест из сотен, отсортированных по степени удаленности от нас или рейтингу. В блоге обычно показан список записей, отсортированных по дате. Лента новостей в Facebook, поток твитов в Twitter и домашняя страница Reddit представляют собой списки, составленные по тому или иному определенному критерию. Мы считаем сайты вроде Google или Bing поисковыми системами, на самом деле это не совсем корректно: по сути, это системы сортировки. Вся сила Google как средства доступа к мировой информации заключается не в его способности найти наш текст среди сотен миллионов веб-страниц (это было под силу еще его конкурентам в 90-х), но в умении эффективно сортировать эти веб-страницы, показывая нам только те десять, которые максимально соответствуют нашему запросу.

Срез бесконечного множества – упорядоченный список в определенном смысле представляет собой универсальный пользовательский интерфейс.

Информатика помогает нам понять, что стоит за всеми этими ситуациями, а это знание в свою очередь позволяет проанализировать те моменты, когда мы сами сталкиваемся с необходимостью навести порядок в наших счетах, бумагах, книгах, носках и т. д. А происходит это гораздо чаще, чем мы думаем.

Если подсчитать все недостатки (и преимущества) беспорядка, мы можем увидеть случаи, в которых нам не следовало бы наводить порядок. Более того, если вдуматься, мы используем принципы сортировки не только при работе с информацией, но и в отношениях с людьми. Использование принципов компьютерных технологий оказалось неожиданно полезным, к примеру, на боксерском ринге. Все потому, что даже минимальное знание основ сортировки может объяснить, как люди способны мирно сосуществовать, периодически вступая в драку. Другими словами, техника сортировки может поведать нам удивительные вещи о природе нашего общества – того большого и важного порядка, авторами которого мы являемся.

Муки сортировки

«Чтобы снизить себестоимость одной единицы продукции, люди обычно увеличивают объемы производства», – писал Дж. Хоскен в 1955 году в первой научной статье, посвященной технике сортировки. Эта теория экономии на масштабе знакома любому студенту, изучающему бизнес.

Однако с сортировкой ситуация абсолютно противоположная: при росте количества разновидностей «себестоимость единицы сортировки возрастает». Сортировка предполагает существенный рост внешних издержек при увеличении масштаба, ломая наши стандартные представления о преимуществах работы с большими объемами.

Приготовить ужин для двоих обычно не сложнее, чем для одного, и это однозначно проще, чем готовить ужин на одну персону дважды. Но сортировка, скажем, ста книг на одной книжной полке займет у вас гораздо больше времени, чем сортировка двух полок, на каждой из которых стоит по пятьдесят книг. У вас в два раза больше объектов для сортировки и в два раза больше места, на которое можно поставить тот или иной объект. Чем глобальней ваша задача, тем хуже. Это самое первое и наиболее фундаментальное наблюдение о теории сортировки. Масштаб убивает.

Из этого следует: чтобы уменьшить боль и страдания, нам необходимо сократить количество вещей для сортировки.

Это факт: одна из лучших превентивных мер во избежание трудностей с подсчетами при сортировке носков – просто стирать их почаще. Если заниматься стиркой в три раза чаще, можно сократить затраты на вычисления в девять раз.

Действительно, если бы сосед Хиллиса следовал своей излюбленной процедуре, но сократил бы перерыв между стирками с 14 дней до 13, одно это могло бы сэкономить ему 28 «вытягиваний» носков из корзины. (А если бы он увеличил интервал между стирками на день, ему пришлось бы «вылавливать» пару лишние 30 раз.)

Даже на примере такой несложной работы, регулярно проделываемой раз в две недели, мы видим, что масштабы сортировки понемногу становятся в тягость.

В то же время компьютерам приходится регулярно сортировать миллионы различных единиц информации за раз. Для этого, как сказал герой фильма «Челюсти», нам понадобится лодка побольше – и алгоритм получше. Но, чтобы ответить на вопросы, как мы должны осуществлять сортировку и какие ее методы наиболее эффективны, нам необходимо прежде всего решить, как мы будем производить учет.

«О» большое: эталон для худшего случая

Чешский иллюзионист Зденек Брадак попал в Книгу рекордов Гиннесса, установив рекорд по сортировке колоды карт. 15 мая 2008 года Брадак смог разложить в правильном порядке колоду из 52 карт всего за 36,16 секунды[7]. Как ему это удалось? Какую технику сортировки он применял? И хотя его ответ, очевидно, пролил бы свет на теорию сортировки, сам Брадак воздержался от комментария. Мы, несомненно, уважаем мастерство и ловкость маэстро, но при этом мы на 100 % уверены, что можем побить его рекорд. По сути, мы уверены на 100 %, что можем поставить рекорд, который никто не сможет побить. Все, что нам нужно, – это около 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 попыток в борьбе за звание рекордсмена. Это число, значение которого немного больше 80 унвигинтиллионов (52 факториал, или 52! в математическом обозначении), – число возможных перестановок в колоде карт. Предпринимая такое количество попыток, вы рано или поздно обязательно сложите колоду в правильном порядке, при этом абсолютно случайно. Таким образом, теперь мы можем с гордостью вписать в Книгу рекордов Гиннесса имя Кристиана Гриффитса, выступившего с не таким уж и плохим временем – 0 минут 0 секунд. По правде говоря, таким способом мы бы точно пытались установить новый рекорд до конца света. Тем не менее этот факт явно указывает на огромные фундаментальные различия между рекордсменами и учеными-компьютерщиками. Именитые господа из Книги рекордов Гиннесса беспокоятся только о показателях в наилучшем случае. Конечно, едва ли их можно винить за это, ведь все спортивные рекорды – не что иное, как показатели одного лучшего выступления. Однако информатику практически никогда не волнует наилучший случай. Вместо этого ученые хотели бы знать, сколько в среднем занимает тасование карт у того же Брадака: было бы здорово заставить его тасовать колоду все 80 унвигинтиллионов раз (или что-то в этом роде) и оценивать его по средней скорости на протяжении всех попыток (теперь вы понимаете, почему программистов не допускают до таких вещей).

Более того, специалисту по информатике было бы интересно узнать и наихудшее время при тасовании колоды. Анализ наихудшего случая позволяет нам получить четкие гарантии, что процесс в принципе конечен, что срок исполнения задачи не будет сорван.

Таким образом, до конца этой главы, да и, пожалуй, всей книги мы будем обсуждать действие алгоритмов в наихудших случаях, если не указано иное.

В программировании есть обозначение, придуманное специально для определения сценария алгоритма в наихудшем случае. Это прописная «О», или «О большое». За понятием «О большого» стоит одна небольшая хитрость, которая с первого взгляда не совсем очевидна. Суть в том, что «О большое» не столько выражает действие алгоритма в минутах и секундах, сколько может характеризовать тип взаимосвязи между размером задачи и временем, потраченным на ее решение. Поскольку «О большое» намеренно проливает свет на некоторые важные детали, перед нами появляется схема разделения задач на различные широкие категории.

Представьте, что вы организуете ужин с друзьями, количество которых мы обозначим как n. Время, которое вам необходимо на уборку дома до их прихода, не зависит от n.

Это самая простая категория задач, которая называется «О большое от единицы» (обозначается как «О(1)») и также известна как временнáя константа. Примечательно, что для «О большого» абсолютно не важно, сколько времени у вас на самом деле занимает уборка. Главное – что временной промежуток всегда один и тот же, вне зависимости от списка гостей. От вас требуется выполнить одну и ту же работу, не важно, пригласили вы одного друга, десять, сто или любое другое количество.

Теперь время, которое займет передача жаркого вокруг стола, мы обозначим как «О большое от n» (письменно – «O(n)»). Это понятие также имеет другое название – «линейное время». Если количество гостей увеличивается в два раза, то же происходит и с линейным временем. И снова, для «О большого» безразлично, какое количество блюд вы подаете или, например, сколько раз гости попросят добавки. В каждом случае время линейно зависит от количества приглашенных гостей и график зависимости времени от количества гостей будет представлять собой прямую. Более того, существование любых линейно-временных факторов – в случае «О большого» – будет перекрывать все факторы временных констант.

Другими словами, «передача жаркого вокруг стола» и «передача жаркого вокруг стола после трехмесячной перепланировки вашей столовой» – для программиста, по сути, абсолютно равнозначные величины.

Если вам это кажется безумным, подумайте о том, что компьютеры работают с величинами n, которые могут исчисляться тысячами, миллионами или миллиардами. Иначе говоря, программисты мыслят очень, очень большими объемами данных. Если у вас миллион гостей, то по сравнению с единичной передачей блюда вокруг стола весь процесс перепланировки дома покажется вам ничтожным.

А что если каждый прибывающий гость будет обнимать остальных при приветствии? Ваш первый гость обнимет только вас, второму придется обнять уже двоих, третий гость обнимет уже троих. Сколько объятий случится за вечер?

Эта задача перейдет уже в разряд «О большое от n в квадрате» («О(n2)»), или квадратичного времени. Опять же для нас важны только общие черты связей между переменной n и временем. Не существует формулы O(2n2) для двух объятий на каждого или формулы O(n2 + n) для объятий и передачи блюда. Таким образом, O(n2) охватывает все процессы.

Вот здесь становится трудно, потому что появляется экспоненциальное время, которое рассчитывается по формуле O(2n), когда каждый дополнительный гость удваивает вашу работу. Еще сложней все обстоит с факториальным временем, определяемым по формуле O(n!). Это категория задач столь бесчеловечно трудных, что программисты упоминают их только в шутку (как мы, говоря, например, о сортировке колоды до победного конца) или когда им на самом деле очень-очень хотелось бы пошутить.

Квадраты: «пузырьковая» сортировка и сортировка методом вставок

Когда Обама, находясь еще в статусе сенатора, в 2007 году посетил офис Google, глава компании Эрик Шмидт в шутку начал общение в манере собеседования и задал вопрос, как лучше отсортировать миллион 32-битных целых чисел. Обама саркастически улыбнулся и без промедления ответил: «Думаю, пузырьковая сортировка здесь не подойдет». Толпа инженеров Google разразилась аплодисментами.

«Он меня поразил пузырьковой сортировкой», – вспоминал один из них позднее. Обама был прав, что сразу отверг «этот алгоритм, который стал чем-то вроде боксерской груши для студентов-программистов: он достаточно прост, интуитивно понятен и весьма эффективен».

Представьте, что вы хотите расставить в алфавитном порядке одну из ваших книжных коллекций. Самым естественным подходом в этом случае было бы просмотреть книги на полке, чтобы выявить неупорядоченные пары (Уоллес, который «стоит» перед Пинчоном, к примеру) и поменять их местами. Поставьте Пинчона перед Уоллесом, затем продолжите осмотр полки, каждый раз возвращаясь к ее началу. Когда вы просмотрите всю полку и больше не найдете пар, стоящих в неправильном порядке, ваша задача будет выполнена.

Это и есть пузырьковая сортировка, и она погружает нас в квадратичное время. Есть n неупорядоченных книг, и в результате каждого осмотра полки вы можете переставить только одну книгу на другое место (решаем проблемы по мере поступления). То есть в худшем случае, если все книги на полке стоят в обратном порядке, то по меньшей мере одну книгу придется переставить на другое место n раз. Таким образом, мы получаем максимум n осмотров полки, на которой стоит n книг, то есть O(n2) в худшем случае[8]. Но это не слишком ужасно по одной причине: это в миллион раз лучше, чем наша идея сортировки «до победного конца» по формуле O(n!) из предыдущего кейса. И все же вместе с тем этот квадратный корень может очень скоро вас напугать. Например, квадратный корень означает, что сортировка пяти книжных полок займет не в пять раз больше времени, чем сортировка одной, а в 25 раз больше.

В принципе вы можете взять и другой курс – вытащить все книги из шкафа и поставить их в правильном порядке одну за другой. Вы поставите первую книгу в середине полки, затем возьмете вторую, сравните ее с первой и поставите ее либо справа, либо слева от первой книги. Взяв третью, вы просмотрите книги, которые уже стоят на полке, слева направо и определите для нее нужное место. Повторяя этот процесс, вы постепенно расставите все книги на полке в нужном порядке, и ваша миссия будет выполнена.

Программисты именуют этот способ довольно логично – сортировкой методом вставок.

Хорошая новость в том, что это, возможно, еще более интуитивно понятный метод, чем пузырьковая сортировка, и у него отнюдь не плохая репутация. Плохая новость в том, что этот способ занимает не меньше времени. Вам все равно приходится ставить на полку по одной книге за раз. Каждый раз нужно просматривать в среднем около половины стоящих на полке книг и находить правильное место для следующей книги. Хотя на практике процесс сортировки методом вставок идет немного быстрее, чем пузырьковая сортировка, мы все равно имеем дело с квадратичным временем. Сортировка более одной книжной полки все равно становится нелегкой задачей.

Прохождение через квадрат: дели и побеждай

После рассмотрения двух абсолютно разумных подходов, которые переходят в плоскость нерационального квадратичного времени, напрашивается вопрос: а существуют ли способы ускорить процесс сортировки?

Вопрос, по сути, о продуктивности. Но если обсудить этот вопрос с программистом, то он становится ближе к метафизике – сродни размышлениям о скорости света, путешествиях во времени, сверхпроводниках и термодинамической энтропии.

Каковы фундаментальные законы и границы вселенной? Что возможно? Что позволено? Так программисты пытаются узреть божьи планы наряду с учеными в области физики частиц и космологии.

Каково минимальное усилие, необходимое для установления порядка?

Возможно ли найти параметр сортировки О(1) (как в случае уборки дома перед приездом компании друзей), по которому можно было бы сортировать любой объем единиц за равное количество времени?

В принципе мы даже не можем утверждать, что процесс сортировки n книг на полке постоянен во времени, поскольку он требует проверки n книг, и это количество, по сути, конечно. Поэтому сортировка книг в условиях временной константы даже не обсуждается.

А если рассмотреть параметр линейного времени О(n), который подобен передаче блюд по кругу за столом, когда удвоение количества объектов удваивает и объем работы? Размышляя о вышеописанных примерах, сложно представить, как же они могут работать. Значение n2 в каждом из этих случаев мы получаем в связи с необходимостью переместить n книг, и работа, которую мы должны проделать при каждом перемещении книги, пропорциональна значению n. Так как же нам уйти от n в степени n и вернуться к самой величине n? При пузырьковой сортировке мы получили значение O(n2) применительно ко времени выполнения задачи, исходя из манипуляций с каждой из n книг и перемещения каждой из них с места на место n раз. В сортировке методом вставок время выполнения задачи было возведено в квадрат, поскольку мы перемещали с места на место n книг и сравнивали их с тем же количеством (n) других книг прежде, чем выбрать место для очередной книги. Применение параметра линейного времени означает, что наши манипуляции с каждой книгой происходят в условиях постоянного времени вне зависимости от количества других книг, среди которых мы должны найти место каждой отдельной книге. Это отнюдь не похоже на правду.

Таким образом, мы знаем, что можем выполнять задачу в условиях квадратичного времени, но, вероятно, не линейного. Возможно, наш лимит находится где-то между линейным и квадратичным временем. Существуют ли какие-либо алгоритмы между линейным и квадратичным, между n и n × n?

Существуют и лежат на поверхности.

Как упоминалось ранее, процессы обработки информации были запущены в США во время проведения переписей населения в XIX веке в результате разработки Германом Холлеритом и впоследствии компанией IBM устройств по сортировке перфокарт. В 1936 году IBM приступила к производству линейки раскладочно-подборочных машин, которые могли объединить две отдельно упорядоченные стопки перфокарт в одну. Если каждая из пачек была разложена в верном порядке, то сам процесс их консолидации был невероятно простым и происходил в линейном времени: необходимо было просто сравнить две верхние карты из каждой стопки между собой, карту с наименьшим порядковым номером переместить в начало новой формируемой пачки и продолжать таким образом до выполнения задачи.

В программе, которую Джон фон Ньюманн написал в 1945 году, чтобы продемонстрировать преимущество ЭВМ с запоминаемой программой, была использована идея подборки и упорядочения перфокарт. Отсортировать две карты легко: просто переложите карту с меньшим порядковым номером поверх второй. И если у вас есть пара стопок по две карты каждая, сложенных в верном порядке, вы таким же способом можете легко сложить их в одну упорядоченную стопку из четырех карт. Повторяя этот прием несколько раз, вы будете получать все бóльшие и бóльшие стопки разложенных в нужном порядке карт. Довольно скоро вы соберете идеально упорядоченную стопку путем финального кульминационного объединения всех карт.

Этот подход сегодня известен как сортировка с объединением – один из легендарных алгоритмов компьютерной науки. Как было сказано в одной газете в 1997 году, «появление этого метода так же значимо в истории теории сортировки, как появление самой сортировки в истории развития программирования».

Все преимущество этого метода заключается в том, что в нем применяется и линейное, и квадратичное время, а именно линейно-логарифмическое время, которое обозначается формулой O(nlog n).

Каждое перекладывание карты удваивает количество отсортированных пачек. Таким образом, чтобы полностью отсортировать n карт, вам необходимо переложить карты количество раз, равное цифре 2, умноженной на себя столько раз, чтобы конечный результат был равен n. Другими словами, это логарифм n по основанию 2.

Вы можете одновременно сортировать до четырех карт в два действия, до восьми карт третьим действием и до шестнадцати с помощью четвертого перекладывания. Подход «дели и побеждай», лежащий в основе метода сортировки с объединением, вдохновил на создание ряда других линейно-логарифмических алгоритмов, которые начали динамично развиваться. Сказать, что линейно-логарифмические алгоритмы – это всего лишь усовершенствованная версия квадратичных, – значит недопустимо занизить их значимость. В случае сортировки количества элементов, которое мы имеем при переписи населения, это промежуток между двадцатью девятью действиями по перекладыванию карт и тремя сотнями миллионов таких действий. Неудивительно, что этот метод выбирают для решения крупномасштабных промышленных задач.

Сортировка с объединением применяется также и в решении задач бытового масштаба. Отчасти причина популярности этого метода лежит в том, что такие сортировки легко выполняются параллельно. Если в ваши планы все еще входит наведение порядка на полке, то решение задачи согласно методу сортировки с объединением будет таким: закажите пиццу и пригласите несколько друзей; затем поделите количество книг поровну между вашими друзьями, и пусть каждый отсортирует свою часть; после этого пусть друзья разобьются по парам и отсортируют книги вдвоем. Процесс необходимо продолжать до тех пор, пока у вас не сложится две стопки книг и вам останется только объединить их в одну и поставить на полку. Только постарайтесь избежать жирных пятен от пиццы на книгах.

За гранью сравнения: перехитрить алгоритм

В неприметной промзоне неподалеку от города Престон округа Вашингтон, спрятавшись за общим входом в многочисленные офисы, расположился цех чемпиона Национальной библиотеки 2011 и 2013 года по сортировке. Длинный сегментированный конвейер переносит 167 книг в минуту – 85 000 в день – в сканер штрихкодов, где они автоматически перенаправляются к своего рода створкам бомбового отсека, через которые книги выбрасываются в одну из 96 корзин.

Сортировочный центр Престона – один из крупнейших и наиболее эффективных объектов в мире в области книжной сортировки. Центром управляет Библиотечная система округа Кинг. Она соперничает с аналогично оснащенной Публичной библиотекой Нью-Йорка уже четыре года, на протяжении которых организации попеременно передают пальму первенства друг другу. «Библиотека округа Кинг в этом году обойдет нас? – спросил заместитель директора управления библиотеки Нью-Йорка по работе с книжным фондом Сальваторе Магаддино прежде, чем вступить в новую схватку в 2014 году. – Даже не думайте».

С теоретической точки зрения, организация работы в Престонском сортирочном центре тоже не может не впечатлить. Книги, проходящие через его системы, сортируются в условиях линейного времени O(n).

Важно отметить, что линейно-логарифмическое время O(n log n), которое применяется в методе сортировки с объединением, – действительно лучший показатель, которого мы только можем добиться. Было доказано, что если мы хотим полностью отсортировать n элементов посредством прямого сравнительного исследования, то у нас только один выход – сравнивать их O(n log n) количество раз. Это фундаментальный закон Вселенной, и нет способа его обойти.

Но это не значит, что мы можем закончить нашу книгу на алгоритмах сортировки. Потому что иногда вам и не нужен полностью упорядоченный комплект и порой сортировку можно выполнить и без непосредственного сравнения одного элемента с другим.

Два вышеупомянутых принципа, вместе взятые, предусматривают возможность проведения грубых практических сортировок быстрее линейно-логарифмического времени. Этот факт очень наглядно демонстрирует алгоритм, известный как сортировка группировками, который и применяется в Престонском сортировочном центре. При применении этого метода элементы разбиваются на группы по количеству категорий сортировки без проведения межкатегорийной сортировки (это можно сделать позднее). (В компьютерной науке термин «корзина» обозначает фрагмент неупорядоченных данных, но некоторые довольно-таки буквально воспринимают название метода и применяют его в своей работе, как, например, это делают в Библиотечной системе округа Кинг.)

А вот и изюминка этого метода: если вы хотите сгруппировать n единиц в m корзин, то весь процесс займет у вас время, рассчитываемое по формуле O(n · m), – то есть время, прямо пропорциональное количеству категорий, умноженному на количество корзин.

И поскольку количество корзин относительно невелико по сравнению с количеством сортируемых единиц, то «О большое» округлит показатель времени до O(n), или до линейного времени.

Ключ к преодолению линейно-логарифмического барьера – в знании классификации сортируемых элементов. Неправильно выбранные корзины загонят вас в тот же угол, в котором вы находились в начале процесса сортировки. Если, к примеру, в конце процесса все книги окажутся в одной корзине, то вы не добились никакого результата. Верно подобранные корзины разделят ваши элементы на примерно равные по величине группы, что само по себе – учитывая фундаментальную характеристику сортировки «масштаб убивает» – огромный шаг на пути к полному порядку. В Престонском сортировочном центре, задачей которого в первую очередь является сортировка книг по тематике и потом уже в алфавитном порядке, подбор корзин происходит на основании статистики обращения. Некоторые тематики пользуются гораздо большей популярностью, и для соответствующих книг может быть выделено несколько корзин.

Аналогичное знание материала будет полезным и в жизни. Чтобы увидеть, как работают эксперты в области сортировки, мы организовали научную командировку в библиотеки Доу и Моффитт при Университете Беркли, книжные коллекции которых собраны на полках в общей сложности длиной в 50 миль. И отобраны книги были вручную.

Книги, которые вернули в библиотеку, вначале попадают в техническое помещение вне общего доступа, затем перемещаются на полки под номерами, присвоенными Библиотекой Конгресса. Например, на определенной группе полок стоит беспорядочный набор возвращенных в библиотеку книг с номерами от PS3000 до PS9999. Затем студенты, работающие в библиотеке, перекладывают эти книги в тележки (по 150 книг в правильном порядке), чтобы вернуть их на полки в общем зале библиотеки. Студенты проходят небольшую базовую подготовку по сортировке, но со временем они разрабатывают собственные методы и стратегии. При наличии некоторого опыта они могут отсортировать полную тележку из 150 книг менее чем за 40 минут. И в большинстве своем этот опыт зависит от понимания результата.

Студент Беркли Джордан Хо, изучающий химию в качестве основной дисциплины и весьма преуспевший в сортировке, подробно рассказал нам о своей технологии, пока разбирал книги на полках PS3000–PS9999.

«По своему опыту я знаю, что обычно здесь собирается много книг под номерами до 3500, поэтому в первую очередь я ищу любые книги с номерами именно в этом промежутке. После этого я сортирую эти книги. Далее, я знаю, что раздел номеров 3500 (то есть от 3500 до 3599) сам по себе тоже большой. Поэтому я берусь сразу за весь раздел. Если книг слишком много, я могу сортировать десятками, например: 3510, 3520 и т. д.».

Цель Джордана – положить стопку из примерно 25 книг в тележку прежде, чем собрать их все в окончательном порядке, что он и делает, используя сортировку методом вставок. И его слаженная стратегия – это тот самый верный путь к решению задачи: сортировка группировками при понимании конечного результата (то есть то, сколько книг с разными номерами у него получится) подскажет ему, какие корзины необходимо выбрать.

Сортировка как профилактика поиска

Знание всех этих алгоритмов сортировки, несомненно, пригодится вам в следующий раз, когда вы решите расставить книги на книжной полке в алфавитном порядке. Как и президент Обама, вы будете знать, что для этой цели не стоит прибегать к пузырьковой сортировке. Лучшим решением, которое на данный момент одобрено не только человеком, но и библиотечной автоматикой, будет использование блочной сортировки, по крайней мере до тех пор, пока вы не получите достаточно маленькие стопочки. Теперь наиболее приемлемым станет другой тип сортировки, методом вставки, или же вам придется заказать пиццу и позвать на помощь друзей, как нам предписывает метод сортировки с объединением.

Но если вы обратитесь к программисту с просьбой помочь вам как-то внедрить этот процесс, то первый вопрос, который он задаст, – а нужна ли вам вообще эта сортировка?

Компьютерная наука, по крайней мере как ее преподают студентам, есть наука о компромиссах. И у нас уже была возможность наблюдать это в сложных отношениях в парах «отмерь – отрежь» и «исследуй – эксплуатируй». Одним из самых ключевых компромиссов здесь является компромисс между начальной сортировкой и последующим поиском. Основной вывод: усилия, затраченные на начальную сортировку материалов, ничтожно малы по сравнению с теми усилиями, которые придется затратить, чтобы позже попытаться что-нибудь найти, воспользовавшись этой самой сортировкой. При этом точный баланс усилий должен основываться на конкретной оценке ситуации, потому что попытка представить сортировку как что-то ценное и необходимое для поддержки будущего поиска приводит нас к удивительному умозаключению: ошибка на стороне беспорядка.

Попытка сортировать то, что вы никогда не будете потом искать, – пустая трата времени. Но, с другой стороны, искать что-либо, что вы никогда не сортировали, – просто неэффективно.

Неизбежно возникает вопрос: как же заранее определить, чем вы воспользуетесь в будущем?

Для понимания преимуществ использования сортировки стоит обратить внимание на работу поисковой системы, например Google. Трудно даже представить, что Google может взять фразу, которую вы набрали в поисковой строке и затем в поисках совпадений «прочесать» весь интернет менее чем за полсекунды. Это просто невозможно, это и не нужно. На месте Google вы были бы почти уверены, а) что ваши данные будут искать, б) что эти данные будут искать неоднократно и в) что время, необходимое для сортировки, будет куда менее ценным, чем время, необходимое для поиска. Вот почему сортировка производится машинным способом намного раньше того момента, когда вам потребуется результат поиска, а поиском занимаются пользователи, для которых время – крайне важный критерий. Все эти факторы демонстрируют огромную пользу предварительной сортировки, которую производит Google и другие его «коллеги» – поисковые системы.

И что, станете ли вы теперь расставлять ваши книги в алфавитном порядке? Для вашей домашней библиотеки в большинстве случаев ни одно из условий, которое может оправдать сортировку, не выполняется. Довольно редко мы ищем книгу под конкретным названием. Затраты на поиск среди неотсортированных книг довольно низки: мы можем достаточно быстро и точно протянуть руку к каждой книге, если хотя бы примерно знаем, где она находится на полке. И поэтому разница между двумя секундами, которые требуются, чтобы найти книгу на отсортированной полке, и десятью секундами, чтобы найти книгу на неотсортированной, вряд ли так важна для нас. Редко случается, что нам необходимо настолько срочно найти конкретную книгу, что мы готовы заранее тратить часы на подготовку поиска, чтобы потом сэкономить несколько секунд непосредственно в поиске. Более того, можно сказать, что глаза находят быстро, а руки сортируют медленно.

Вердикт очевиден: приведение в порядок вашей книжной полки потребует больше времени и энергии, нежели просто поиск конкретной книги, если она вам когда-нибудь понадобится.

Но если к вашей книжной полке вы не слишком часто обращаетесь, то про электронную почту такого уже не скажешь. И это еще одна сфера, в которой поиск преобладает над сортировкой. Сортировка по директориям электронных сообщений вручную потребует примерно столько же времени, как и раскладывание бумажных документов по папкам. Однако поиск среди электронных писем может быть гораздо более эффективным по сравнению с поиском среди их бумажных собратьев. Поскольку затраты на поиск снижаются, сортировка становится менее значимой.

Стив Уиттакер – один из мировых экспертов, специализирующихся на особенностях работы с электронной почтой. Ученый-исследователь IBM и профессор Калифорнийского университета в Санта-Круз, Уиттакер почти два десятилетия изучает, как люди управляются со своей персональной информацией. (Статью о перегрузке электронной почты он написал в 1996 году – задолго до того, как многие люди стали таковой пользоваться.) В 2011 году Уиттакер возглавил исследование, касающееся привычек пользователей при поиске и сортировке электронных писем. В результате появилась статья под названием «Стоит ли тратить свое время на организацию электронной почты?». Вывод автора был однозначным: да. «С одной стороны, это эмпирическое заключение, но, с другой стороны, это также результат опытов, – указывает Уиттакер. – Но когда я интервьюирую людей на тему такого рода организационных проблем, то они обычно говорят, что впустую тратят на это часть своей жизни».

Компьютерная наука демонстрирует, что обе опасности – путаница и порядок – как ни странно, поддаются измерению. И более того, для оценки их стоимости может быть использована общая валюта – время. Попытка оставить что-либо в несортированном виде может рассматриваться как факт отложенного платежа – перекладывания ответственности на самого себя в будущем, поскольку, если мы решим не платить за это сейчас, потом придется заплатить с довеском. Но в общем и целом все это трудноуловимо. Иногда выбор в пользу беспорядка не означает просто выбор легкого пути. Зачастую это оптимальный выбор.

Сортировка и спорт

Итак, в поисках компромисса между поиском и сортировкой можно прийти к выводу, что более эффективным будет оставить все в беспорядке. Возможная экономия времени не единственная причина, по которой мы сортируем вещи: иногда наведение порядка является самоцелью. И нигде это не проявляется так наглядно, как на спортивной арене.

В 1883 году преподавателю математики из Оксфорда Чарльзу Лютвиджу Доджсону довелось испытать необычные чувства, которые он описал следующим образом:

Однажды в качестве зрителя я случайно оказался на турнире по теннису, где – из-за переживаний одного из игроков – обратил внимание на процесс вручения призов.

Этот игрок, хоть и проиграл в самом начале турнира (потеряв, таким образом, все шансы на призовое место), тем не менее испытывал горькое чувство обиды, видя, как приз за второе место уходит к теннисисту, который, как он считал, был намного слабей его самого.

Обычные зрители могли бы списать сетования спортсмена на горечь поражения, но слух Доджсона уловил еще и нечто иное. И жалобы теннисиста подтолкнули его к началу глубоких исследований природы спортивных соревнований.

Стоит отметить, что Доджсон был не просто математиком из Оксфорда. По его воспоминаниям, он был чуть ли не единственным математиком. На сегодня этот человек более известен под творческим псевдонимом Льюис Кэрролл, его перу принадлежат «Приключения Алисы в Стране чудес» и многие другие любимые произведения литературы ХIХ века. Объединив математический талант с литературным, Доджсон создал одно из своих менее известных произведений «Соревнования по теннису: верные правила присуждения призов с обоснованием ошибочности ныне действующих правил».

Жалоба Доджсона была направлена организаторам очередного турнира на выбывание, по правилам которого игроки должны были попарно играть друг с другом и выбывать из соревнований после первого же проигрыша. Доджсон решительно утверждал, что в реальности вторым по мастерству игроком может быть любой из игроков, выбывших даже на предварительном этапе, не обязательно тот, кто проиграл чемпиону. Как ни странно, даже на современных Олимпийских играх специально проводится дополнительный матч за бронзовую медаль. И даже такой подход вынуждает нас, по всей видимости, признать, что формат турнира на выбывание не дает нам достаточно информации, чтобы выявить заслуженного претендента на третье место[9]. По сути, такой подход не дает нам достаточно оснований для определения второго или третьего места; в реальности – ничего, кроме определения победителя. Как выразился Доджсон: «Существующий способ распределения призовых мест, за исключением приза за первое место, полностью лишен смысла». Из его слов становится очевидно, что серебряная медаль – это фикция.

«В качестве математического обоснования можно сказать следующее, – продолжил он. – Вероятность того, что второй по мастерству игрок получит приз, который он заслуживает, может оцениваться только как 16 к 31. В то время как вероятность того, что четыре лучших игрока получат соответствующие призы, настолько мала, что может расцениваться как 12 к 1 против того, что это случится!»

Но, несмотря на всю силу своего пера, Доджсон не оказал значительного влияния на мир большого тенниса. Его предложение использовать неудобный принцип тройного выбывания, при котором проигрыш игрока, которого вы победили, мог бы также выбить из турнира и вас, так и не прижилось. Но, если решение Доджсона было громоздким, его критика существующих проблем тем не менее попала в цель. (Хотя, к сожалению, серебряные медали и по сей день все так же выдаются в турнирах на выбывание.)

Но логику Доджсона можно понять и на более глубоком уровне. Мы, люди, сортируем не только наши данные, не только наше окружение. Мы сортируем сами себя.

Чемпионаты мира, Олимпийские игры, турниры Национальной ассоциации студенческого спорта, Национальной футбольной, хоккейной, баскетбольной лиги, Главной лиги бейсбола – все эти соревнования неявно реализуют принципы сортировки. Сезонные соревнования, турниры, игры на выбывание и т. д. есть не что иное, как алгоритмы, способствующие определению места в общей «табели о рангах».

Один из наиболее известных алгоритмов в спорте – циклический алгоритм, при котором каждая из n команд в конечном итоге играет с каждой из остальных (n − 1) команд. Это один из самых распространенных форматов, но и один из самых трудоемких. Ситуация, при которой каждая команда сражается с каждой из остальных, схожа с тем, как если бы у вас на вечеринке все гости решили обменяться объятиями: появляется страшная формула O(n2), или квадратичное время.

Турнир на выбывание, популярный в таких видах спорта, как бадминтон, сквош и ракетбол, расставляет игроков с использованием линейного рейтинга. При этом каждый игрок имеет право бросить прямой вызов игроку, находящемуся непосредственно над ним в этом рейтинге. А в случае победы – поменяться с ним местами. Турнир на выбывание, будучи типичным примером пузырьковой сортировки в спорте, также характеризуется квадратичной зависимостью, требуя O(n2) количества игр для формирования стабильного рейтинга.

Тем не менее, возможно, наиболее распространенным форматом состязаний среди многих других является соревнование с использованием турнирной сетки – как, например, в известном баскетбольном турнире March Madness, проводимом Национальной ассоциацией студенческого спорта. Этот турнир прогрессирует от одной тридцатой финала и одной шестнадцатой финала к одной восьмой, затем – элитная восьмерка, финальная четверка и, наконец, финал. Каждый последующий раунд сокращает список участников наполовину, что выглядит привычно, не так ли? Эти турниры – эффективный пример использования сортировки с объединением, когда дело начинается с несортированных пар команд, которые затем сопоставляются и сравниваются.

А поскольку мы знаем, что сортировка с объединением характеризуется линейно-логарифмической зависимостью от времени – O(n log n), то, с учетом того факта, что соревнуются 64 команды, мы можем ожидать, что для проведения турнира потребуется всего около 6 раундов (192 игры), а не бесконечных 63 раунда (2016 игр), которые понадобились бы, чтобы сформировать турнир.

«Шесть раундов March Madness» – звучит прекрасно. Но погодите секунду: 192 игры? Ведь этот турнир Национальной ассоциации студенческого спорта длится всего 63 игры.

В реальности турнир March Madness не может служить полноценным примером сортировки слиянием, поскольку в его рамках не производится полное упорядочение всех 64 команд. Ведь для того, чтобы по-настоящему ранжировать все команды, организаторы должны были бы вспомнить о линейно-логарифмической зависимости и назначить ряд дополнительных игр, чтобы определить серебряного призера, затем еще – для определения бронзового призера и т. д. Но этого не происходит на турнире. Вместо этого, точно копируя подход теннисного турнира, на который жаловался Доджсон, March Madness использует формат поочередного выбывания, где проигравшая команда, выбывая из соревнований, выбывает и из дальнейшей сортировки. Преимущество такого подхода заключается в том, что он использует линейную зависимость от времени, поскольку каждая игра исключает ровно одну команду. Поэтому, чтобы осталась одна команда, на турнире должно быть сыграно только (n − 1) игр. Минусом является тот факт, что вы никогда не поймете, какое место занимает ваша команда в общей турнирной таблице, если только не займете первое место.

Как ни странно, в формате поочередного выбывания вообще нет необходимости организовывать какую-либо соревновательную структуру, поскольку любые 63 игры всегда смогут выявить единственного и непобедимого чемпиона. Вспомните, например, игру «Царь горы»: одна из команд вызывает на бой одного за другим своих соперников до тех пор, пока их самих кто-нибудь не свергнет. И совершенно не важно, в какой момент произойдет смена царя горы и кто именно будет побежден. Новый царь горы займет место на троне, и игра вновь продолжится до победного конца. Этот вариант имеет недостаток: в любом случае вам понадобится проведение 63 отдельных раундов, поскольку игры не могут идти параллельно. Кроме того, может оказаться так, что одна команда должна будет играть все 63 игры подряд, что достаточно утомительно.

Хотя Майкл Трик и родился позже Доджсона почти на целый век, возможно, никто в XXI веке не продвинулся столь же далеко в своих математических исследованиях в спорте. Мы уже встречались с Майклом в этой книге, но спустя десятилетия с момента незадачливого применения им правила 37 % к своей личной жизни многое изменилось: он стал не только мужем и профессором в области операционных исследований, но и одним из основных организаторов матчей для Главной лиги бейсбола, а также таких конференций Национальной ассоциации студенческого спорта, как Big Ten и АСС. Майкл широко использует в работе принципы информатики.

Как отмечает Трик, спортивные лиги не ставят перед собой задачу как можно быстрее и оперативнее сформировать рейтинги. Как раз наоборот, спортивные календари явно составляются так, чтобы держать зрителей в напряжении на протяжении всего сезона. Но это уже вряд ли имеет отношение к теории сортировки.

Например, Главная лига бейсбола часто устраивает такие турнирные гонки, чтобы определить, кто же победит в дивизионе. И если не заниматься расстановкой команд внутри дивизиона, то некоторые из этих гонок могли бы закончиться намного раньше окончания сезона. Поэтому организаторы соревнований устраивают так, чтобы в течение последних пяти недель до окончания сезона каждая команда играла со своими соседями по турнирной таблице дополнительные матчи. При этом не так важно расположение команд в турнирной таблице. Команды просто вынуждены играть со своими ближайшими оппонентами только ради этих дополнительных шести матчей в течение пяти недель. Это позволяет внести интригу в турнир и поддерживать больший интерес зрителей на протяжении всего сезона, потому что неопределенность притормаживает выявление победителя.

Более того, спортивные соревнования не ставят перед собой цель минимизировать количество игр. И это важно помнить всегда, потому что в противном случае некоторые аспекты планирования спортивных игр могут показаться весьма загадочными для программистов. Как говорил Трик, комментируя возможность проведения 2430 игр в рамках регулярного сезона соревнований по бейсболу, «мы знаем, что (n log n) – правильное количество сравнений для проведения полной сортировки. Это вам любой скажет. Тогда почему же они все-таки ориентируются на n2, ведь такая формула требует провести даже больше сравнений для выявления победителя?». Другими словами, зачем использовать цикличный алгоритм O(n2) полностью, а затем еще организовывать дополнительные игры, если полную сортировку можно выполнить гораздо раньше, выявить менее чем за n игр ни разу не проигравшего чемпиона и увенчать его лавровым венком? Ответ прост: в реальности минимизация количества игр не в интересах лиги. Это в информатике ненужные сравнения всегда плохи, поскольку это пустая трата времени и усилий. А вот в спорте это далеко не так. В конце концов (и со многих точек зрения), именно в самих играх заключены смысл и суть соревнований.

Борьба за права: шум и устойчивость

Другой, возможно даже более важный способ формирования алгоритмического взгляда на спорт, – это попытаться выяснить не то, насколько обоснованно мы вручаем серебряную медаль, а то, насколько мы можем быть уверены, что заслуженно вручаем золотую.

Говоря о некоторых видах спорта, Майкл Трик поясняет, что «в бейсболе, например, вполне естественно, что какая-нибудь команда предполагает проиграть 30 % своих игр, а другая, наоборот, собирается выиграть 30 % игр». Такой подход – тревожный сигнал для формата соревнований на выбывание. Судите сами: если, например, в Национальной ассоциации студенческого спорта сильная баскетбольная команда выиграет 70 % игр и для окончательной победы в турнире должна будет победить еще в шести матчах на выбывание, шансы этой команды на то, чтобы стать лучшей в турнире, можно оценить как 0,70 к 6, что составит менее 12 %! Иными словами, такой турнир будет короновать реально лучшую команду лишь раз в 10 лет.

Вполне возможно, что в некоторых видах спорта даже 70 %-ная уверенность в результате игры могла бы сильно повлиять на финальный счет. Физик Том Мерфи, работающий в Калифорнийском университете в Сан-Диего, применил численные методы моделирования в футболе и пришел к выводу, что маленькие цифры на табло футбольного матча делают результат этой игры настолько близким к случайному, что большинству болельщиков трудно себе это представить. «Так, например, шанс, что команда, выигрывающая со счетом 3: 2, станет победителем матча, можно оценить лишь как 5 к 8… Лично я не считаю, что это очень впечатляет. Даже победа со счетом 6: 1 оставляет 7 %-ный шанс того, что это была статистическая случайность».

Программисты назвали это явление шумом. Все сортировочные алгоритмы, которые мы упоминали до сих пор, рассматривались нами как совершенные, безупречные, «защищенные от дурака», то есть это были такие алгоритмы, обеспечивавшие сравнения, которые невозможно случайно исказить и по ошибке назвать большей меньшую из двух величин. И если вы допускаете существование «устройства сравнения шума», то некоторые из наиболее почитаемых алгоритмов информатики можно смело выбрасывать в окно. И наоборот, те, которые были оклеветаны, нужно будет восстановить в правах.

Дэйв Экли, профессор из Университета Нью-Мексико, работающий на стыке наук о компьютерных технологиях и искусственной жизни, считает, что компьютеры могут использоваться для того, чтобы познать некоторые аспекты биологии. Хотя бы потому, что микроорганизмы живут в мире, где некоторые процессы имеют примерно такой же уровень устойчивости, который может характеризовать работу компьютера. То есть можно сказать, что они выращены с нуля до того уровня, который исследователи характеризуют словом «устойчивость». Поэтому Экли утверждает, что пришло время оценивать алгоритмы также и с точки зрения их устойчивости.

Поэтому, несмотря на то что авторитетная книга «Сортировка и поиск» безапелляционно заявляет, что «пузырьковая» сортировка не имеет характеристик, явно оправдывающих ее применение», исследование Экли и его сотрудников свидетельствует, что в конце концов и для этого вида сортировки может найтись свое место в ряду алгоритмов. Его существенная «неэффективность» проявляется в том, что за один раз можно перемещать элемент только на одну позицию, и это как раз делает его довольно устойчивым по отношению к шуму и гораздо более надежным, чем такие быстрые алгоритмы, как, например, сортировка с объединением, при использовании которой каждое сравнение потенциально перемещает элемент достаточно далеко. Сортировка с объединением делает этот алгоритм хрупким. Ошибка, допущенная на раннем этапе в сортировке с объединением, подобна случайному проигрышу в первом раунде турнира, который может не только перечеркнуть все надежды любимой команды на победу в чемпионате, но еще и постоянно держать ее в нижней части турнирной таблицы[10]. При этом в соревнованиях, использующих пузырьковую сортировку (лэддер), случайный проигрыш подвинул бы игрока всего лишь на одну позицию вниз.

Но по факту это не может быть названо пузырьковой сортировкой, выступающей в роли единственного и самого лучшего алгоритма перед лицом компаратора шума. Это почетное звание – единственного и лучшего – принадлежит алгоритму, который называется «сортировка путем сравнения и подсчета». Каждый элемент сравнивается со всеми остальными, генерируя число, показывающее количество элементов, бóльших, чем исходный. Это число может напрямую использоваться в качестве ранга данного элемента. Поскольку при этом попарно сравниваются все элементы, то сортировка путем сравнения и подсчета является таким же квадратично зависимым от времени алгоритмом, как и пузырьковая сортировка. Вот почему этот тип сортировки непопулярен в программировании, но при этом остается исключительно отказоустойчивым.

Функционирование данного алгоритма должно показаться вам знакомым. Сортировка путем сравнения и подсчета работает точно так же, как и циклический алгоритм. Другими словами, схема работы данного алгоритма сильно напоминает обычный спортивный сезон: каждая команда играет с любой другой командой дивизиона и в зависимости от соотношения побед и поражений формирует показатель, на базе которого потом ранжируются все команды.

Поскольку сортировка путем сравнения и подсчета – единственный наиболее устойчивый алгоритм, то квадратичная или любая другая системы должны предложить болельщикам что-то уж совсем специфическое – и такое, чтобы никто потом не ныл, если его команда не попала в плей-офф. Использование сортировки с объединением в рамках плей-офф – рискованное мероприятие, в то время как использование сортировки путем сравнения и подсчета в рамках регулярного сезона таковым не является. Сам круговой чемпионат нельзя назвать устойчивым, но турнирные таблицы, формирующиеся на основе его показателей, весьма и весьма устойчивы. Иными словами, если даже вашу команду вышибают в самом начале плей-офф, это все равно удача. Но если ваша команда не может даже добраться до плей-офф, это уже жестокая реальность. И если ваш расстроенный приятель-болельщик еще может вам посочувствовать, то от ученого вы этого никогда не дождетесь.

Кровавая сортировка: неофициальная иерархия и доминирование

Во всех примерах, рассмотренных до сих пор, процесс сортировки в каждом случае происходил сверху вниз: библиотекарь расставлял книги на полке, Национальная ассоциация студенческого спорта указывала командам, когда и с кем играть. Но что, если такие сравнения происходили бы только на добровольной основе? Как бы выглядела сортировка, если бы она производилась более органично – снизу вверх?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим игру в онлайн-покер.

В отличие от большинства видов спорта, которые регулируются каким-нибудь управляющим органом, покер остается чем-то беспорядочным, несмотря на его взрывную популярность за последнее десятилетие. И хотя некоторые высокоуровневые турниры все-таки сортируют участников явным образом (и вознаграждают их, соответственно), тем не менее значительная часть игроков до сих пор сражается в то, что известно как кеш-игра, где двое или более игроков спонтанно решают сыграть между собой, ставя на кон реальные деньги.

Исаак Хакстон, один из лучших в мире игроков в покер на деньги, разбирается в этом как никто другой. В большинстве видов спорта очень важно стремиться быть настолько классным, насколько это возможно, и чем меньше игрок стесняется своего умения, тем лучше. Но Хакстон объясняет, что «в некотором смысле самый важный навык профессионального игрока в покер – это умение оценить, насколько хорош твой противник. Если не говорить о тех, кто входит в список лучших игроков в покер в мире, любой игрок может быть уверен в том, что он разорится, если он, конечно, ставит цель играть с профессионалами».

Хакстон возглавляет мировые рейтинги, он всегда готов сразиться один на один, предлагая самые высокие ставки, которые ограничиваются только тем, что есть «на кармане» и чем может ответить соперник. Когда за столом сидят несколько игроков, часто случается так, что один из игроков бывает откровенно слабее, например богатенький любитель поиграть. И тогда сидящие за столом профессионалы не слишком озабочены выяснением, кто из них играет лучше. В мире профи так не делается. «Разногласия между вами и остальными игроками на тему того, кто играет лучше, возможны только в том случае, если кто-то из вас реально намерен проиграть».

Так что же происходит, если установлен некий необъявленный консенсус и никто не желает демонстрировать, что он играет лучше, чем кто-либо другой? Тогда это выглядит так, как будто игроки просто соревнуются в борьбе за место. Большинство сайтов для игры в онлайн-покер имеют лишь конечное число доступных мест. «Так что, если вы хотите играть, оперируя блайндами в 50 и 100 долларов, в вашем распоряжении только десять доступных столов, – комментирует Хакстон, – да и то подразумевается, что за столом сейчас отсутствуют десять лучших рейтинговых игроков, а все остальные сидят и ждут, что кто-то придет и покажет, что просто хочет поиграть». И если вдруг за один из этих столов приходит и садится суперигрок, тогда любой игрок, который не желает участвовать в анте, просто покидает стол.

«Представьте себе двух обезьян, – говорит Кристоф Нойманн, – одна из которых сидит и мирно ест бананы, срывая их с дерева. В это время к дереву подходит другая обезьяна. Тогда первая просто слезает и уходит».

Будучи университетским биологом, изучавшим поведение и принципы доминирования в семье макак, Нойманн на живом примере описал то, что сейчас известно как замещение.

Замещение происходит тогда, когда животное, используя свои знания об иерархии в стае, само принимает решение, что в данный момент не стоит вступать в конфронтацию. Во многих сообществах животных различные ресурсы и возможности – еда, друзья, жизненное пространство и т. д. – являются дефицитом, поэтому кто-то и как-то должен принять решение, кому это может принадлежать. Установление заранее известного и понятного порядка – менее жестокий вариант, чем драки или получение тумаков каждый раз, когда кто-то претендует на поляну сочной травы или возможность спаривания. Вполне возможно, что мы зря переживаем, наблюдая, как животные нацеливают когти и клювы друг на друга. В данном случае биологи склонны считать, что таким образом устанавливается порядок, который вытесняет насилие.

Выглядит знакомо, не правда ли? Именно это называется компромиссной сортировкой.

Создание такой иерархии можно назвать кулачным подходом к решению принципиальной вычислительной задачи. По этой причине, кстати, обрезание кончика клюва у цыплят на ферме, хоть и считается благим намерением, контрпродуктивно, поскольку снижает авторитет отдельных особей, призванных установить порядок, и, следовательно, усложняет птичьему сообществу задачу по организации любой процедуры общей сортировки.

Наблюдение за поведением животных с точки зрения информатики выявляет несколько моментов. С одной стороны, это означает, что число враждебных столкновений для каждой особи будет существенно возрастать – как минимум логарифмически, а возможно, даже и в квадратичной зависимости, поскольку группа становится все больше. И действительно, исследования антагонистического поведения кур обнаружили, что «агрессивные действия кур усиливались по мере возрастания численности группы». Теория сортировки, таким образом, предполагает, что «этичность» поведения животных повышается при ограничении размера стаи или стада. (В природе дикие куры объединяются в группы от десяти до двадцати особей, что гораздо меньше размера стаи на коммерческих фермах.) Исследования также показывают, что агрессия может и вовсе уходить через несколько недель, если в стае не будут появляться новые члены. Это лишний раз подтверждает, что группа сортирует себя.

Ключевым моментом в понимании сути децентрализованной сортировки в естественных условиях, как утверждает Джессика Флэк, один из директоров Центра вычислений Висконсинского университета, является тот факт, что доминирующая иерархия в конечном итоге сводится к иерархии информационной. На такие децентрализованные системы сортировки, как подчеркивает Флэк, ложится очень большая вычислительная нагрузка. Количество драк, скажем в группах макак, сводится к минимуму лишь в той степени, в которой каждая обезьяна имеет подробное – и схожее с другими членами – понимание этой иерархии. В противном случае происходит насилие.

Если еще больше углубиться в вопрос о том, насколько хорошо в стае соблюдается установленный порядок, можно сделать вывод, что меньше конфронтаций происходит там, где животные могут лучше «рассуждать и помнить». Вполне возможно, что и люди аналогичным образом пытаются произвести оптимальную и эффективную сортировку. Как говорит Хакстон о мире покера, «я один из лучших игроков в мире, и я постоянно держу в голове довольно специфический рейтинг двадцатки лучших, на мой взгляд, игроков. Уверен, что каждый из этих игроков в уме формирует примерно такой же рейтинг. Более того, я думаю, что мы в значительной степени единодушны касательно того, как этот список выглядит».

Гонка вместо драки

Мы познакомились с двумя отрицательными аспектами желания любой группы сортировать саму себя. Теперь вы понимаете, что есть как минимум линейно-логарифмический показатель увеличения количества конфронтаций, который приносит больше агрессии в жизнь группы по мере ее роста и обязывает каждого конкурента следить за изменениями статуса другой особи. В противном случае они будут вынуждены вступать в бой, даже если им это и не нужно. Это напрягает не только тело, но и мозг.

Необязательно всегда идти этим путем. Есть и менее затратные способы навести порядок.

Существует, например, одно спортивное соревнование, в котором десятки тысяч конкурентов полностью сортируются в течение ровно того времени, которое требуется для проведения этого мероприятия. (При этом мы должны помнить, что проведение турнира с 10 тысячами участников по цикличному алгоритму требует около 100 миллионов матчей.) Единственный нюанс состоит в том, что длительность такого турнира определяется его самыми медленными участниками. Это спортивное соревнование называется марафон. И здесь возникает критический момент: гонка принципиально отличается от борьбы.

Давайте повнимательнее рассмотрим суть различий между боксерами и лыжниками, между фехтовальщиками и бегунами. Олимпийский боксер, чтобы подняться на подиум, не только сам рискует получить нокаут O(log n) раз (как правило, в 4–6 боях), но и подвергает риску и ставит под угрозу здоровье большого количества других спортсменов. А вот прыгуну с трамплина или фристайлеру нужно сделать лишь ограниченное число рискованных трюков, связанных с преодолением силы тяжести, причем независимо от дистанции. И если фехтовальщик отдает себя на милость противника O(log n) раз, то тот же марафонец должен выдержать только одну гонку с тем, чтобы, присвоив себе простой числовой показатель, характеризующий результат его работы в алгоритме постоянного времени, определить свой статус.

Такой переход от «порядковых» чисел (которые определяют ранг) к «количественным» показателям (которые служат прямой мерой чьих-то возможностей) естественным образом определяет порядок, в котором нет необходимости сравнивать пары. Соответственно, это делает возможным появление доминантных иерархий, которые не требуют проведения прямых матчей. Список крупнейших компаний мира Fortune 500, формирующий своего рода корпоративную иерархию, является как раз одним из таких примеров. Для того чтобы найти самую дорогую компанию Соединенных Штатов, аналитикам не нужно усердно трудиться, поочередно сравнивая Microsoft и General Motors, затем General Motors и Chevron, потом Chevron и Walmart и т. д. Эти сопоставления, казалось бы, совершенно несопоставимого (программное обеспечение и фьючерсы на нефть) становятся возможными с помощью промежуточного звена – доллара. Наличие измерительного эталона любого вида решает вычислительную задачу при расширении масштабов сортировки.

В Кремниевой долине, например, бытует выражение, касающееся деловых встреч: «Деньги не придут к вам сами, это вы должны идти к ним». Поэтому поставщики идут к владельцам компаний, а владельцы компаний идут к венчурным капиталистам, которые, в свою очередь, идут к своим партнерам и т. д. Некоторые высказывают сомнения по поводу такой иерархии, но даже они не оспаривают основы этого принципа. В результате отдельные взаимодействия на уровне пар происходят с минимальной борьбой за статус. По большому счету, любая произвольно отобранная пара людей может не сговариваясь сказать, кто кому из них должен оказывать должный уровень уважения.

Несмотря на то что теория морского права с помощью ряда конвенций определяет правила преимущественного прохода судов, тем не менее на практике один простой принцип объясняет, кто кому в море должен уступить дорогу. Это закон «О водоизмещении». Проще говоря, меньший корабль должен уйти с пути большего. Некоторые животные были бы весьма рады иметь столь четкие доминантные иерархии. Как отмечает Нойманн, «взгляните, например, на рыб – все очень просто: больший экземпляр доминирует». И, поскольку это так просто, у рыб все происходит мирно. В отличие от кур и приматов, рыбы соблюдают порядок без кровопролития.

Когда мы задумываемся о факторах, которые делают возможным существование крупномасштабных человеческих сообществ, нам проще сосредоточиться на технологиях: сельское хозяйство, металлообработка, машиностроение. Но не стоит забывать и о том, что культурологический подход к измерению статуса с помощью количественных показателей также может иметь большое значение. Деньги, конечно, не должны быть критерием. Например, такое правило, как уважение к старшим, точно так же решает вопросы о статусе народа, как и отсылка к его количественной составляющей. Этот же принцип работает в спорах как между народами, так и внутри них. Часто отмечается, что такой критерий, как ВВП страны, лежащий в основе рассылки приглашений на встречи на высшем дипломатическом уровне (например, на встречу правительств G20), непродуман и неполноценен. Но тем не менее существование какого бы то ни было эталона играет важную роль, поскольку трансформирует вопрос одной из сторон о национальном статусе из линейно-логарифмического количества обсуждений и резолюций во что-то, имеющее единую точку отсчета, которой все подчиняются. Поскольку споры между народами часто переходят в военные действия, это экономит не только время, но жизни.

Линейно-логарифмическое количество боев может выглядеть привычным для небольших групп. То же происходит и в реальной жизни. Но в мире, где статус устанавливается посредством попарного сравнения (происходит ли это в рамках риторики или с помощью стрельбы), количество конфронтаций быстро выходит из-под контроля по мере количественного роста общества. Промышленный масштаб, когда тысячам или миллионам людей приходится делить одно пространство, требует другого подхода. Здесь уже требуется скачок от порядкового к количественному.

Как бы нас ни огорчала повседневная жизнь, напоминающая порой крысиные бега, один только факт, что это все-таки гонка, а не бой, коренным образом отличает нас от обезьян, кур и – если уж на то пошло – крыс.

4. Кеширование

Забудьте об этом

С точки зрения практического использования нашего интеллекта забывание – такая же важная функция, как и запоминание.

Уильям Джеймс

У вас проблема. Ваш шкаф переполнен: ботинки, рубашки и нижнее белье – все вываливается на пол. Вы думаете, что пора бы навести порядок. Теперь у вас две проблемы.

А именно, сначала вам необходимо решить, какие вещи оставить, а затем – как их разложить. К счастью, в мире есть несколько профессионалов, которые зарабатывают себе на жизнь, размышляя об этих задачах, и они будут весьма рады дать вам совет.

Что касается задачи «какие вещи оставить», Марта Стюарт рекомендует сначала ответить себе на следующие вопросы: «Как давно у меня эти вещи?», «Их все еще можно носить?», «Возможно, у меня есть другие аналогичные или очень похожие вещи?», «Когда в последний раз я их надевала?» Чтобы эффективно разложить вещи, Марта советует «разделить похожие вещи на группы». И в этом эксперты с ней согласны. Франсин Джей, автор книги «Радость меньшего», предписывает: «Повесьте рубашки отдельно, брюки отдельно, пальто и платья – тоже». Эндрю Меллен, который позиционирует себя как самого организованного человека Америки, также утверждает, что «все элементы одежды должны быть отсортированы по категориям: брюки отдельно, рубашки отдельно, пальто отдельно и т. д. Внутри каждой категории элементы сортируются по цвету и стилю, например по длине рукава, по вырезу и т. д.». Это утверждение можно использовать не только в рамках задач по сортировке. Это универсальный и дельный совет.

Помимо этой группы, существует и другое сообщество экспертов, поглощенных мыслями о хранении вещей, – и у них свое видение проблемы.

Ваш шкаф представляет собой такой же вызов, с которым сталкивается компьютер при управлении своей памятью: пространство ограничено, цель – сэкономить и деньги, и время. Поэтому все время существования компьютеров ученые стремятся решить ту же двойную задачу: что сохранить и как это упорядочить. В результате многолетних усилий удалось выяснить, что совет Марты Стюарт, состоящий из четырех вопросов, дает нам несколько разных и не вполне совместимых рекомендаций, при этом одна из них гораздо более критичная.

Теория управления компьютерной памятью также демонстрирует нам, как нужно организовывать пространство в нашем шкафу (или офисе). На первый взгляд, кажется, что компьютеры используют принцип Марты Стюарт – группировку похожих вещей. Операционные системы призывают нас помещать файлы в папки, подобное к подобному, формируя иерархический порядок таким образом, чтобы содержимое папок было конкретным и отличало одну папку от другой. Но как убранный стол школьника может ввести нас в заблуждение, скрыв беспорядок в его мыслях, так же очевидный порядок в файловой системе компьютера скрывает тот конструктивно сложный хаос, в котором хранятся данные под оболочкой папки.

То, что на самом деле там происходит, называется кешированием.

Кеширование играет критическую роль в архитектуре памяти и лежит в основе всего – от расположения микросхем процессора на миллиметровой шкале до географии сети интернет. Этот процесс предлагает решение для различных систем хранения данных и блоков памяти в жизни человека – не только для нашей техники, но и для шкафов, офисов, библиотек. И для разума.

Иерархия памяти

У одной женщины было обостренное чувство ответственности и почти не было памяти.

Она помнила достаточно, чтобы работать. И работала она упорно.

Лидия Дэвис

Начиная примерно с 2008 года, каждый, кто хочет приобрести новый компьютер, сталкивается с определенной парадоксальной ситуацией при выборе возможностей хранения информации. Необходимо найти компромисс между объемом и скоростью. Сегодня технологии компьютерной индустрии пребывают в фазе перехода от накопителей на жестком диске к твердотельным накопителям (SSD). При одинаковой стоимости жесткий диск может продемонстрировать более высокую мощность, однако твердотельный накопитель гораздо более эффективен, и этот факт либо уже известен потребителям, либо они сами быстро приходят к такому выводу в процессе покупки.

Чего может не знать средний покупатель, так это того, что подобный компромисс достигается внутри любого компьютера на ряде уровней – до такой степени, что его можно признать одной из фундаментальных основ вычислительной деятельности.

В 1946 году Артур Беркс, Герман Голдстайн и Джон фон Нейман, трудясь в Институте специальных исследований в Принстоне, выработали проект предложения, который они назвали «электрический орган памяти». По их словам, в идеальном мире техника, разумеется, обладала бы безграничным количеством молниеносно работающей памяти, но на практике это невозможно (до сих пор). Вместо этого тройка экспертов предложила другой вариант, по их мнению, лучший из реальных: «иерархия слоев памяти, каждый из которых обладал бы большей мощностью, чем предыдущий, но при этом был бы менее доступным». По сути, имея пирамиду из различных форм памяти (маленькой, но быстрой и большой, но медленной), мы могли бы извлечь максимум выгоды из обоих видов. Основная идея иерархии интуитивно будет понятна любому человеку, который хоть раз пользовался библиотекой. Если вы проводите исследование для дипломной работы, вам наверняка понадобятся некоторые книги, на которые вы будете многократно ссылаться. Вместо того чтобы каждый раз идти в читальный зал, вы, разумеется, возьмете нужные книги домой, чтобы они были у вас всегда под рукой.

Идея иерархии памяти оставалась лишь теорией до изобретения суперкомпьютера, или ЭВМ сверхвысокой производительности, который получил название «Атлас» (это произошло в 1962 году в Манчестере). Основная память компьютера состояла из огромного барабана, который вращался при чтении и записи информации в отличие от его предшественника – воскового цилиндра. Однако у «Атласа» была более быстрая оперативная память меньшего объема, работающая на поляризованных магнитах. Данные считывались из цилиндра и передавались на магниты, где быстро обрабатывались, и затем результаты записывались на цилиндр. Вскоре после изобретения «Атласа» кембриджский математик Морис Вилкес пришел к выводу, что быстрая память небольшого объема – не самое подходящее место для хранения данных до их повторного сохранения на цилиндре. Оперативную память также можно было использовать для хранения фрагментов информации, которые могли бы пригодиться позднее. Ожидание аналогичных будущих запросов на эту информацию существенно ускоряло операционные процессы компьютера. Если информация, которую вы ищете, все еще находится в оперативной памяти, то вам не нужно выгружать ее из цилиндра. Как отметил Вилкес, память меньшего объема «автоматически накапливает в себе слова, которые переходят в нее из основной медленной памяти, и сохраняет их для последующего использования без необходимости вновь обращаться к основной памяти». Главное здесь, конечно, возможность использовать эту небольшую, быструю драгоценную память так, чтобы в ней всегда было то, что вам нужно, и вы могли обращаться к ней максимально часто. Если развить аналогию с библиотекой, это тот случай, когда вы можете один раз сходить за всеми нужными книгами и затем всю неделю работать с ними дома. Это так же удобно, как если бы все книги библиотеки уже лежали на вашем рабочем столе. Чем больше походов в библиотеку вы совершаете, тем больше замедляются темпы вашей работы.

Предложение Вилкеса было использовано позже, в конце 1960-х годов, когда в суперкомпьютер IBM 360/85 внедрили память, которая получила название «кеш» (быстродействующая буферная память большой емкости). С тех пор кеш повсеместно использовался в компьютерных технологиях. Идея хранения фрагментов информации, к которой пользователь обращается часто, настолько высокоэффективна, что в наши дни она используется во всех аспектах компьютерной деятельности.

В процессоры встроен кеш. В жесткие диски встроен кеш. Операционные системы используют кеш. Интернет-браузеры работают с помощью кеш-памяти. И даже серверы, которые «поставляют» контент в эти браузеры, тоже используют кеш, что позволяет нам в сотый раз моментально запускать видео, в котором кошка катается на роботе-пылесосе. Однако мы немного опережаем события.

История развития компьютерных технологий за последние пятьдесят с небольшим лет постоянно демонстрирует опережающий рост и отчасти позволяет нам сослаться на известное своей точностью предсказание, озвученное Гордоном Муром из корпорации Intel в 1975 году. Согласно этому предсказанию, количество транзисторов в компьютерном процессоре должно было удваиваться каждые два года. Тем не менее эффективность памяти при этом не прогрессировала, то есть затраты на доступ к памяти также многократно возрастали относительно времени обработки данных. Таким образом, чем быстрее вы пишете вашу дипломную работу, тем больше снижается продуктивность каждого похода в библиотеку. Аналогично эффективность завода, который удваивает скорость производства каждый год (но при этом получает все то же количество деталей из-за рубежа в прежнем неторопливом темпе), едва ли будет выше эффективности завода, работающего в два раза медленнее. Сначала казалось, что закон Мура не принес никакой пользы, кроме того что процессоры стали «простаивать» все больше и чаще. В 90-е годы эта проблема получила название «стена памяти».

Лучшим средством защиты компьютерной науки от удара об эту стену стало изобретение еще более сложной иерархии: кеш для кеша для кеша на всех уровнях памяти. Современные лэптопы, планшеты и смартфоны имеют шестиуровневую иерархию памяти, при этом экономное и разумное использование памяти еще никогда не было так важно для компьютерных технологий, как сейчас. Так давайте рассмотрим первый вопрос, который приходит на ум, когда речь заходит о кеш-памяти (или о шкафах, к примеру). Что же нам делать, когда все переполнено?

Вытеснение и предсказания

И рано или поздно наступает такой момент, когда для того, чтобы запомнить что-то новое, приходится забыть кое-что из того, что вы знали раньше. Поэтому чрезвычайно важно не забивать память ненужными знаниями, которые мешают сохранить необходимые.

Шерлок Холмс

Когда кеш заполнится, вам, очевидно, понадобится освободить место для хранения дополнительной информации. В компьютерной науке процесс освобождения места называется «замещение кеша». Как писал Вилкес, «поскольку кеш – это всего лишь малая часть объема основной памяти, слова не могут сохраняться в ней в течение неопределенного периода времени, поэтому в систему должен быть встроен алгоритм, согласно которому слова будут постепенно перезаписываться». Эти алгоритмы известны как алгоритмы замены или замещения или просто алгоритмы кеширования.

Как мы видим, роль IBM в части внедрения систем кеширования в 60-е годы была одной из основных. Неудивительно, что IBM стала первой проводить фундаментальные исследования алгоритмов кеширования. И, пожалуй, пальму первенства среди них нужно отдать алгоритму Ласло Белади. Белади родился в 1928 году в Венгрии, учился на инженера-механика, а во время Венгерской революции 1956 года бежал в Германию с одним рюкзаком, «в котором лежали только белье и диплом». Из Германии он переехал во Францию, затем в 1961 году эмигрировал в США вместе с женой, «маленьким сыном и тысячей долларов в кармане». Казалось, что он обладал отличным чувством меры и понимал, что нужно хранить, а с чем можно легко распрощаться, еще до начала своей работы над замещением кеша в IBM.

Работа Белади по алгоритмам кеширования, которую он написал в 1966 году, оставалась наиболее цитируемым исследованием в компьютерной науке в течение 15 лет. Согласно ей, цель использования кеша состоит в минимизации обращений к более медленной основной памяти в тех случаях, когда пользователь не может найти нужную информацию в кеше. Такие случаи называют «ошибка отсутствия страницы» или «число непопаданий в кеш». Оптимальная политика замещения кеша, как становится очевидно из определения, писал Белади, заключается в том, чтобы, когда кеш полностью заполнен, вытеснить любой его элемент, который максимально нескоро нам понадобится.

Разумеется, определить, когда нам понадобится та или иная информация, – задача трудновыполнимая.

Гипотетически всезнающий и предвидящий алгоритм, способный выбрать оптимальную политику, сегодня известен как алгоритм Белади. Это пример так называемого ясновидящего алгоритма, который использует информацию из будущего. На самом деле не все так безумно, как кажется, ведь существуют случаи, когда система может знать, чего ждать. Но в целом с ясновидением работать сложно, и специалисты по программному обеспечению часто шутят о «трудностях внедрения», которые возникают при попытках применить алгоритм Белади на практике. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти такой алгоритм, решение которого будет максимально дальновидным и точным в тех случаях, когда мы крепко завязли в настоящем и можем лишь гадать, что ждет нас впереди.

Мы могли бы просто прибегнуть к произвольному замещению, добавляя новые данные в кеш и записывая их поверх старых вне какого-либо определенного порядка. Одним из удивительных результатов ранней теории кеширования стал тот факт, что этот подход, хоть и далекий от идеала, отчасти все же работает. Получается, что просто наличие кеша в системе уже делает ее более эффективной, вне зависимости от того, как вы ее используете. Единицы информации, которые вы часто используете, все равно вернутся в кеш. Другое простое решение – метод «первым вошел, первым вышел», когда вы замещаете или перезаписываете те данные, которые находятся в кеше дольше всего (помните вопрос Марты Стюарт «Как давно у меня эта вещь?»).

В рамках третьего подхода – вытеснения по давности использования – замещается тот фрагмент информации, к которому дольше всего не было обращений (вопрос Марты Стюарт «Когда в последний раз я это надевала или использовала?»).

Получается, что эти две мантры Марты Стюарт предлагают две разные стратегии. Более того, одна из них явно превосходит другую. Белади сравнил произвольное замещение, метод «первым вошел, первым вышел» и различные вариации вытеснения по давности использования на нескольких примерах и пришел к выводу, что метод вытеснения по давности использования неизменно показывал результаты, максимально близкие к ясновидению. Этот метод эффективен из-за так называемой временной локальности: если программа обращалась к некоему фрагменту информации единожды, то вполне вероятно, что это повторится в ближайшем будущем. Временная локальность отчасти обусловлена тем, как компьютер справляется с задачами (например, выполнением цикла быстрых операций, связанных со считыванием данных и их записью), но она также заметно проявляется и в том, как люди решают свои проблемы. Работая на компьютере, вы можете переключаться между электронной почтой, интернет-браузером и текстовым редактором. Тот факт, что вы недавно использовали одну из этих программ, указывает на то, что вы, вполне вероятно, откроете ее снова, и при прочих равных условиях программа, которой вы не пользовались дольше всего, с наибольшей вероятностью не будет открыта в ближайшее время.

По сути, этот принцип косвенным образом лежит в основе интерфейса, который компьютер демонстрирует своим пользователям. Окна на экране вашего компьютера располагаются в Z-образном порядке, который симулирует глубину, показывая, какая программа открыта поверх остальных. Программа, которая использовалась максимально давно, как будто оказывается на дне. Как утверждает Аза Раскин, бывший креативный директор Firefox, «бóльшая часть времени, которую вы проводите за современным компьютером, – это цифровой эквивалент сортировки бумаг». Эта «сортировка» с точностью отражается в интерфейсах переключения задач в Windows и Mac OS: когда вы нажимаете на клавиши Alt + Tab или Command + Tab, вы видите, что ваши приложения отражаются упорядоченным списком, от наиболее используемого к наименее используемому.

В литературе, посвященной политикам замещения, подробно анализируются различные схемы, включая алгоритмы, которые подсчитывают частотность и давность использования, алгоритмы, которые отслеживают время предпоследнего обращения к определенной информации, и т. д. Однако, несмотря на изобилие инновационных схем кеширования (некоторые из них могли бы при благоприятных условиях побить метод вытеснения по давности использования), сам по себе этот метод – и небольшие его вариации – безоговорочный фаворит специалистов по информатике и используется в широком спектре развертываемых приложений на различных уровнях. Этот подход учит нас: следующее, что нам может понадобиться, – это то, что нам было нужно в последний раз. А после, вероятно, нам будет нужно то, что мы использовали до этого. А то, без чего мы обходились дольше всего, вряд ли скоро станет для нас необходимостью.

Если у нас нет разумных причин думать иначе, мы можем решить, что нашим лучшим проводником в будущее является зеркальное отображение прошлого. Чтобы максимально приблизиться к ясновидению, нужно просто признать, что история повторяет себя – в обратном порядке.

Вывернуть библиотеку наизнанку

Глубоко в дебрях библиотеки Гарднер Стакс в Калифорнийском университете в Беркли, за закрытыми дверями с большой табличкой «Вход только для персонала», располагается одна из жемчужин библиотечной системы университета. Кормак Маккарти, Томас Пинчон, Элизабет Бишоп, Дж. Д. Сэлинджер; Анаис Нин, Сьюзан Зонтаг, Хунот Диас и Майкл Шейбон; Энни Пру, Марк Стрэнд и Филип К. Дик; Уильям Карлос Уильямс, Чак Паланик и Тони Моррисон; Дэнис Джонсон, Джулиана Спар, Джори Грэм и Дэвид Седарис; Сильвия Плат, Дэвид Мэмет, Дэвид Фостер Воллас и Нил Гейман… Это не коллекция редких книг библиотеки. Это ее кеш.

Как мы уже говорили, библиотеки – «жизненный» пример иерархии памяти, если сочетать использование их ресурсов с работой за письменным столом дома. По факту внутреннее устройство библиотек с их различными секциями и хранилищами – это также прекрасный пример многоуровневой иерархии памяти. В результате библиотеки сталкиваются со всеми вышеупомянутыми проблемами использования кеша.

Им приходится решать, какие книги выложить в ограниченном витринном пространстве, какие оставить в книгохранилище и какие отправить на хранение за пределами библиотеки. Политика по распределению книг для хранения вне библиотечного склада в каждой библиотеке разная, но почти все применяют различные версии метода вытеснения по давности использования. «Для основного книгохранилища, например, действует такое правило, – рассказывает Бет Дюпьи, руководитель операционных процессов библиотек Калифорнийского университета в Беркли, – если книгу не брали в течение 12 лет, ее передают в хранилище за пределами библиотеки».

Книги, не востребованные в течение 12 лет, находятся в зоне грубой сортировки библиотеки, которую мы посетили в предыдущей главе. Как раз туда возвращенные книги и направляются прежде, чем пройти сортировку и снова попасть на полки книгохранилища. Ирония заключается в том, что усердные ассистенты, возвращая книги на полки, могли бы в некотором смысле немного нарушить их порядок.

И вот почему: при условии действия временной локальности получается, что на полках грубой сортировки скапливаются как раз таки самые важные книги библиотеки. Это книги, которые в последнее время наиболее часто использовались, и поэтому именно их завсегдатаи библиотеки будут искать. Кажется преступлением, что самая интересная и ценная для просмотра полка среди километров книгохранилищ будет скрыта от глаз и одновременно будет непрерывно обесцениваться просто потому, что сотрудники библиотеки честно выполняют свою работу.

Тем временем в зале студенческой Библиотеки Моффит, где находятся наиболее значимые и доступные книжные полки, демонстрационные стенды заполнены недавно поступившими в библиотеку книгами. Этот случай демонстрирует применение метода «первым вошел, первым вышел», когда в привилегированном положении оказываются книги, которые были последними добавлены в библиотеку, а не последними прочтены.

Результаты большинства тестов, с помощью которых ученые пытались оценить основную эффективность алгоритма замещения по давности использования, продиктовали простое решение: вывернуть библиотеку наизнанку. Поставьте последние поступившие в библиотеку издания в самый угол для тех, кто хочет их найти. А затем разместите недавно возвращенные книги в зале библиотеки, где они будут доступны для всеобщего обозрения.

Люди – социальные существа, и, возможно, студенту покажется занятным изучить собственные читательские привычки. Это могло бы помочь обитателям студенческого городка найти интеллектуальные точки соприкосновения друг с другом (к этому стремятся колледжи, определяя список популярных книг). Таким образом, другие студенты тоже могли бы по счастливой случайности открыть для себя те книги, которые уже читают их однокашники (аналог построения иерархии снизу вверх в общей читательской программе).

Однако такая система была бы не только более позитивной в социальном плане. Поскольку крайне вероятно, что именно последние возвращенные в библиотеку книги и станут объектом поиска новых посетителей библиотеки, эта система, скорее всего, показала бы еще и свою эффективность. Действительно, студенты могут быть озадачены тем фактом, что иногда популярные книги они могут найти только в книгохранилище, а иногда – в зале. Однако недавно возвращенные книги, которые еще не успели вернуться на полки, в хранилище тоже отсутствуют. Пока они находятся в этом кратковременном заточении, они недоступны. Если позволить недавно вернувшимся книгам украсить своим присутствием холл библиотеки, это даст возможность студентам полностью замкнуть процесс наполнения полок. Сотрудникам библиотеки больше не придется блуждать по книгохранилищу, чтобы разместить книги, а студентам – чтобы их потом отыскать. Вот как в точности должен работать кеш.

Облако в конце улицы

Мы создали такую карту нашей страны, масштаб которой равняется миле на милю!

– И часто вы ею пользуетесь? – спросил я.

– Ее еще ни разу не расстилали, – сказал Майн Герр. – Крестьяне были недовольны. Они сказали, что если такую карту расстелить на всю страну, она скроет солнечный свет! Так что пока мы используем саму страну как ее карту, и смело могу вас заверить, действует она преотлично.

Льюис Кэрролл

Мы часто рассматриваем интернет как плоскую обособленную сеть, элементы которой слабо связаны между собой. По факту это представление в корне неверно. Четвертью всего интернет-трафика сегодня управляет одна корпорация, которой удается практически полностью избегать известности. Компания Akamai располагается в Массачусетсе и занимается кешированием контента.

Мы также считаем интернет абстрактным, нематериальным, постгеографическим. Нам говорят, что наши данные хранятся в «облаке», под которым подразумевается удаленное рассеянное пространство. И вновь все эти утверждения неверны. В действительности интернет построен с помощью бесчисленных кабельных соединений и металлических блоков. И он гораздо теснее связан с географией, чем вы могли бы себе представить.

Инженеры думают о географии в скромных масштабах, когда занимаются разработкой технического обеспечения компьютера: в частности, более быстрая память обычно устанавливается ближе к процессору, чтобы сократить время путешествия информации по проводам. Цикл современного процессора измеряется в гигагерцах, что означает, что процессоры осуществляют операции за доли наносекунд. Для сравнения, за такое время свет преодолевает расстояние всего в несколько дюймов. Таким образом, подготовка карты внутренней организации компьютера – вопрос затруднительный. Если применить тот же принцип, но в гораздо большем масштабе, мы увидим, что для функционирования сети, в которой протяженность проводов измеряется не дюймами, а тысячами миль, реальная география становится крайне важна.

Если вы можете создать кеш для контента интернет-страницы, которая располагается географически ближе к людям, которые ее посещают, то открываться такая страница будет гораздо быстрее. Бóльшая часть интернет-трафика сейчас регулируется с помощью сетей доставки контента (CDN), которые хранят копии популярных веб-сайтов на компьютерах по всему миру. Это позволяет пользователям, запрашивающим определенные страницы, получить необходимые данные от ближайшего компьютера без необходимости тянуться через континенты к основному серверу. Компания Akamai управляет крупнейшей сетью CDN. Провайдеры контента платят за то, чтобы их веб-сайты были «акамаизированы» и работали максимально быстро. Например, житель Австралии, который просматривает видео с сайта BBC, наверняка получает информацию с местного сервера Akamai в Сиднее; в любом случае запрос никогда не доходит до Лондона. «Ему и не надо, – комментирует главный разработчик архитектуры Akamai Стефан Лудин. – Мы считаем, что расстояние имеет значение, и наша компания создана на базе этого принципа».

Ранее мы отметили, что определенные типы компьютерной памяти работают быстрее, но при этом стоимость каждого такого элемента хранения информации выше, что и приводит к иерархии памяти, цель которой – добиться максимальной эффективности при использовании разных типов памяти.

Но для работы кеша на самом деле необязательно, чтобы память была сделана из разных материалов. Для кеширования более важна доступность и близость, нежели быстродействие. А это дефицитный ресурс.

Это фундаментальное наблюдение – что востребованные файлы должны храниться в непосредственной близости от того места, где они используются, – также можно перенести в чисто физическую реальность. Например, в огромных центрах обработки и исполнения заказов интернет-магазина Amazon обычно избегают применения понятных человеку способов организации работы вроде тех, которые вы можете наблюдать в библиотеке или магазине. Здесь, напротив, сотрудники должны размещать поступающую продукцию в любом свободном месте на складе: батарейки соседствуют с точилками для карандашей, памперсы с переносным грилем и обучающими игре на гитаре DVD-дисками. Для того чтобы отметить и сохранить месторасположение того или иного товара в центральной базе данных, используются штрихкоды. Однако эта на первый взгляд намеренно дезорганизованная система хранения все же имеет одно заметное исключение: все наиболее востребованные товары располагаются в отдельной зоне – более доступной, чем остальные. Эта зона и есть кеш Amazon.

Недавно Amazon получил патент на инновацию, которая развивает этот принцип. В патенте говорится об «опережающей отправке посылок». В прессе это нововведение объяснили так: Amazon сможет отправить вам то, что вы еще не купили. В Amazon, как в технологической компании, конечно, были бы рады иметь дар ясновидения, как у Белади, но в целом все снова сводится к кешированию. Действие их патента распространяется на отправку тех товаров, которые в последнее время приобрели большую популярность у жителей определенного региона. Товары заранее отправляются на склад в этом регионе, который становится своего рода аналогом сети CDN для материальных благ. Затем кто-нибудь делает заказ, и – вуаля – товар уже почти доставлен! Предугадать покупки нескольких клиентов трудно, но, если пытаешься предугадать покупки нескольких сотен человек, начинает работать закон больших чисел. Предположим, что кто-нибудь в Беркли собирается в определенный день заказать, скажем, туалетную бумагу. В тот момент, когда заказ сделан, товар уже находится на полпути к Беркли.

Когда вещи, ставшие популярными в определенном регионе, производятся в этом же регионе, возникает еще более интересная география облака. В 2011 году кинокритик Мика Мертес создал карту Соединенных Штатов на основе «любимых» фильмов по данным компании Netflix. На карте были показаны киноленты, необыкновенно популярные в каждом из штатов. В подавляющем большинстве случаев оказалось, что людям нравятся фильмы, снятые в их родных местах. Жителям штата Вашингтон нравится фильм «Одиночки», снятый в Сиэтле; в Луизиане смотрят «Большой кайф», снятый в Новом Орлеане; жители Лос-Анджелеса, что неудивительно, предпочитают «Лос-Анджелесскую историю»; на Аляске – «Бесстрашную Аляску», а в штате Монтана – «Небо Монтаны»[11]. И поскольку, пожалуй, локальное кеширование не может принести большей пользы, чем в случае с хранением огромных файлов с полнометражными видеофайлами в формате HD, то неудивительно, что Netflix «поселили» «Лос-Анджелесскую историю» в Лос-Анджелесе, то есть там, где живут ее герои и, что еще важнее, ее фанаты.

Кеширование в тылу

И хотя кеширование начинало свой путь как схема организации цифровой информации внутри компьютеров, очевидно, что оно также применимо для организации материальных объектов в человеческом обществе. Джон Хеннесси, президент Стэнфордского университета, пионер в разработке компьютерной архитектуры и один из разработчиков современных систем кеширования, сразу же заметил связь:

Кеширование – это очевидная вещь, поскольку мы занимаемся этим все время. Я имею в виду то количество информации, которое я получаю… За определенными вопросами мне приходится следить постоянно, некоторые я решаю в рабочем порядке, другие я сдал в архив. И, по моим наблюдениям, если какой-то материал был сдан в архив университета, потребуется целый день, чтобы его оттуда заполучить. Ту же технику мы используем ежедневно, пытаясь организовать свою жизнь.

Параллель между этими задачами означает, что существует потенциальная возможность сознательно применять решения из информатики в повседневной жизни.

Во-первых, когда вы принимаете решение, что оставить, а от чего избавиться, учтите, что метод замещения по давности использования – потенциально хорош и даже более эффективен, чем «первым вошел, первым вышел». Вам необязательно выбрасывать футболку из колледжа, если вы иногда ее надеваете. Но клетчатые брюки, которые вы не носили уже целую вечность? Они могли бы стать для кого-то находкой в магазине секонд-хенд.

Во-вторых, используйте географию. Удостоверьтесь, что кеш, в котором хранятся ваши вещи, расположен максимально близко от того места, где эти вещи обычно используются. Это не типовая рекомендация из книг по организации быта. Этот принцип неизменно обнаруживается в схемах, которые реальные люди считают эффективными. «Я храню одежду и обувь для бега и тренировок в нижнем ящике шкафа для верхней одежды, – цитирует слова одного из опрошенных Джули Моргенстерн в книге "Самоорганизация по принципу «изнутри наружу»", – мне нравится, когда эти вещи лежат у входной двери».

Более яркий пример появляется в книге Уильяма Джонса «Не терять из виду найденные вещи»:

Доктор рассказала мне, как она хранит вещи. «Мои дети считают, что я эксцентрична, но я кладу вещи туда, где, мне кажется, они пригодятся мне в следующий раз, даже если это кажется бессмысленным». В качестве примера она поведала, что хранит дополнительные мешки для пылесоса за диваном в гостиной. За диваном в гостиной? Какая в этом логика?.. Оказывается, что пылесос обычно используется для чистки ковра в гостиной… Когда мешок в нем переполняется, это обычно происходит в гостиной. Тут как раз и находятся новые мешки.

Последнее наблюдение, которое нашло применение в руководствах по организации пространства платяного шкафа, – это теория многоуровневой иерархии памяти. Иметь кеш эффективно, но иметь несколько уровней кеша – от самого маленького и быстрого до самого объемного и медленного – в разы эффективнее. Если речь идет о ваших личных вещах, то ваш шкаф – это один уровень кеша, подвал – другой уровень, а арендованная ячейка на складе – третий. (Уровни расположены в порядке уменьшения скорости доступа к вещам. Таким образом, вам следует использовать принцип замещения по давности использования для определения тех вещей, которые должны переместиться с одного уровня на другой.) Но вы также можете ускорить процесс, добавив еще один уровень кеширования – еще меньшего объема и большей скорости доступа, расположенный ближе, чем шкаф.

Жена Тома, крайне терпимая в других вопросах, протестует против горы одежды рядом с кроватью, несмотря на утверждение мужа, что по сути это высокоэффективная схема кеширования. К счастью, в результате наших разговоров с программистами появилось решение и для этой проблемы. Рик Билью из Калифорнийского университета в Сан-Диего, изучающий поисковые системы с когнитивной точки зрения, рекомендует использовать вешалку для костюмов и брюк. Хотя в последнее время они не слишком популярны, в сущности, такая вешалка – это шкаф для одного комплекта одежды. Единая вешалка для пиджака, галстука и брюк – идеальное техническое обеспечение для кеширования в домашних условиях. Как видите, программисты могут не только сэкономить ваше время, но и спасти ваш брак.

Систематизация и беспорядочное накопление

Итак, вы определились с тем, какие вещи оставите и где будете их хранить. Перед вами стоит финальная задача: понять, как организовать пространство для их хранения. Как разложить все внутри шкафа?

Одна из констант, которая встречается во всех советах об организации быта, – это идея группировать похожие элементы, но, пожалуй, никто не бросает вызов этому принципу так, как это делает Юкио Ногучи. «Я должен подчеркнуть, – заявляет Ногучи, – что в основе моего метода лежит вовсе не принцип группировки файлов по их содержанию». Ногучи занимает должность экономиста в Токийском университете. Он написал несколько книг, в которых делится своими «суперприемами» наведения порядка в офисе и жизни. Если переводить в лоб, названия его книг звучат как «Суперспособ убеждения», «Суперспособ работы», «Суперспособ обучения» и, что полезно для нас, «Суперметод организации».

На заре своей карьеры экономиста Ногучи часто чувствовал себя перегруженным различной информацией – переписка, цифровые данные, рукописные документы – и был вынужден ежедневно тратить уйму времени, чтобы организовать все эти информационные потоки. Он стал искать другое решение проблемы. Ногучи начал просто складывать каждый документ в папку, на которой указывал его название и дату создания. Затем он все папки убирал в одну большую коробку. Таким образом он экономил время, ведь ему больше не приходилось придумывать место для каждого документа. Однако в результате никакой организации документов не получилось. Позже, в начале 90-х годов, Ногучи ждал прорыв: он начал класть папки в коробку исключительно с левой стороны. Тогда и родилась суперсистема подшивки и хранения документов.

Правило добавления документов с левой стороны, как поясняет Ногучи, должно применяться в отношении как старых, так и новых папок: каждый раз, когда вы вытаскиваете папку, чтобы воспользоваться ее содержимым, вы должны вернуть ее в коробку с левой стороны. Когда вы ищете папку, вы также должны начинать поиски с левой стороны коробки. Таким образом, папки, к которым вы недавно обращались, проще всего найти.

Эта практика начала работать, поскольку положить папку с левой стороны гораздо проще, чем снова искать то место, откуда вы ее вытащили. И только со временем Ногучи осознал, что этот процесс не только прост, но и на удивление эффективен.

Система сортировки и хранения документов по Ногучи очевидно экономит ваше время, когда вы ставите на место то, чем закончили пользоваться. Тем не менее остается вопрос, хорош ли этот метод для поиска того, что вам необходимо в первую очередь. Но все же способ Ногучи противоречит всем рекомендациям других гуру в области повышения эффективности, которые советуют нам хранить похожие вещи вместе. В самом деле, сама этимология слова «организованный» наводит на мысль о теле, состоящем из органов, которые, по сути, представляют собой лишь клетки, сгруппированные по принципу сходства форм и функций.

Но при этом компьютерная наука дает нам то, что большинство гуру эффективности дать не могут, – гарантии.

Хотя Ногучи и не осознавал этого, его система подшивки и хранения документов представляет собой не что иное, как продолжение принципа замещения по давности использования. Как мы помним, этот принцип подсказывает нам, что, добавляя в кеш что-то новое, мы должны отказаться от наиболее долго хранящегося в нем элемента. Но при этом нам не говорят, куда конкретно мы должны поместить новый элемент.

Ответ на этот вопрос кроется в результатах исследования, которое провели программисты в 70-е и 80-е годы. Их версия задачи называется «самоорганизующиеся списки», и ее формулировка практически полностью копирует дилемму Ногучи о хранении папок. Представьте, что у вас есть набор последовательных элементов и вы должны периодически просматривать их, чтобы найти определенные элементы. Поиск не может быть линейным, поскольку вы должны «отсматривать» один элемент за другим с самого начала. Но, найдя искомый предмет, вы можете вернуть его на любое место в этой последовательности. Вопрос: на какое место вы должны вернуть элемент, чтобы поиск был максимально эффективным?

Исследование самоорганизующихся списков, опубликованное Дэниэлом Слитором и Робертом Таржаном в 1985 году, оказалось исчерпывающим. В работе были рассмотрены наихудшие результаты, которые возможно было получить при различных способах организации списка. Поскольку поиск начинается сверху, вам интуитивно хотелось бы организовать последовательность так, чтобы элементы, которые вам, скорее всего, понадобятся снова, отобразились сверху. Но что за элементы должны там оказаться? Здесь нам снова хотелось бы воспользоваться даром ясновидения. «Если вам заранее известна последовательность, – пишет Таржан, которому приходится делить свое время между Кремниевой долиной и Принстоном, – вы можете адаптировать структуру данных таким образом, чтобы минимизировать время, затраченное на всю последовательность элементов. Это идеальный автономный алгоритм, Богом данный, если угодно. Конечно, никто не может предсказать будущее, но вопрос в том, что если вы не знаете будущего, то как близко вы сможете подойти к этому идеальному алгоритму?» Результаты исследования Слитора и Таржана выявили, что в некоторых «очень простых адаптивных схемах, что удивительно, всегда присутствует один неизменный фактор» ясновидения. А именно: если следовать принципу замещения по давности использования, согласно которому вы всегда возвращаете искомый элемент в самое начало списка, то время, которое вы потратите на поиски, будет максимум вдвое больше того, которое вам понадобилось бы, знай вы будущее. Другие алгоритмы не дадут вам таких гарантий.

Тот факт, что за системой хранения документов по Ногучи стоит именно принцип замещения по давности использования, говорит о том, что этот принцип не просто эффективен. Он оптимален.

Результаты исследования Слитора и Таржана демонстрируют нам следующий виток, и он становится очевиден, если взглянуть на систему хранения Ногучи под другим углом. Проще говоря, коробка с папками превращается в кипу. И естественно, когда вы ищете что-то в кипе бумаг или папок, вы кладете найденный документ сверху, но не в то место, откуда вы его взяли[12].

Математическая основа самоорганизующихся списков подсказывает нам другое – радикальное – видение этой ситуации: огромная кипа бумаг на вашем столе – это не столько провоцирующий чувство вины очаг хаоса, сколько одна из наиболее логично и эффективно организованных структур в мире. То, что может со стороны показаться неорганизованным беспорядком, по сути, является самоорганизующимся беспорядком. Бросить документы назад на самый верх стопки – лучшее, что вы можете сделать, не осмеливаясь предугадывать будущее. В предыдущей главе мы рассмотрели случаи, когда отказаться от сортировки было в разы эффективнее, чем тратить на нее время. Здесь, однако, совсем другая причина, по которой нам не нужно создавать порядок.

Ведь мы его уже создали.

Кривая забывания

Конечно, ни одно рассуждение о памяти не будет исчерпывающим без упоминания «органа памяти», самого близкого к началу начал, – человеческого мозга. За последние несколько десятилетий влияние компьютерной науки совершило своего рода революцию в представлениях психологов о памяти.

Считается, что наука о человеческой памяти берет свое начало в 1879 году. Возникновение науки связывают с именем молодого психолога, научного сотрудника Берлинского университета Германа Эббингауза. Ученый хотел добраться до самой сути работы памяти человека и доказать, что ее можно изучить со всей математической строгостью, присущей естественным наукам. Тогда он начал проводить эксперименты над собой.

Каждый день Эббингауз садился за стол и старался запомнить ничего не значащие слоги по списку. Затем он проверял, насколько хорошо помнит списки, заученные в предыдущие дни. В итоге в течение года он сделал множество ключевых выводов относительно человеческой памяти. В частности, Эббингауз подтвердил тот факт, что многократное повторение материала заставляет его дольше оставаться в памяти и количество запоминаемых элементов, которые человек может воспроизвести в точности, со временем уменьшается.

По результатам его исследований был составлен график, демонстрирующий, как информация со временем исчезает из памяти. Современные психологи называют его «кривая забывания». Исследования Эббингауза укрепили уверенность в том, что человеческая память имеет количественное измерение, но при этом некоторые вопросы так и остались без ответа. Почему именно эта кривая? Говорит ли она о том, что у человека хорошая или плохая память? Что стоит за этими результатами? Эти вопросы и вдохновляли психологов на дальнейшие наблюдения и исследования в течение более 100 лет.

В 1987 году психолог и программист Университета Карнеги – Меллон Джон Андерсон наткнулся на материал, посвященный работе информационно-поисковых систем, применяющихся в университетских библиотеках. Первоначальной целью Андерсона было написание работы о том, как результаты исследования человеческой памяти могли бы быть полезны для разработки таких систем. Но произошло обратное: он понял, что как раз принципы работы информационных систем могут стать ключом к изучению разума.

«В течение долгого времени, – отмечал Андерсон, – мне казалось, что в существующих теориях о памяти человека, в том числе и в моей собственной теории, чего-то не хватает. По сути, все эти теории характеризуют память как произвольную и неоптимальную структуру… Мне же давно казалось, что ключевые процессы памяти довольно адаптивны и, вероятно, даже оптимальны; однако у меня не было возможности использовать какую-либо схему, чтобы удостовериться в этом. В научной статье об информационном поиске я наконец обнаружил эту схему».

Мы привыкли думать, что причина забывания каких-либо вещей – нехватка места в памяти человека. Но ключевая идея, которая стоит за наблюдениями Андерсона, подсказывает нам, что проблема кроется не в хранении информации, а в ее организации.

Согласно этой теории, объем памяти мозга неограничен, но ограничено время, которое мы тратим на поиск воспоминаний. Андерсон провел аналогию с библиотекой, в которой есть только одна бесконечно длинная полка – система подшивки и хранения документов в масштабе Библиотеки Конгресса США. Вы можете уместить на ней столько документов, сколько пожелаете, при этом, чем ближе искомый элемент к началу полки, тем быстрее его можно найти.

Таким образом, ключом к хорошей памяти становится тот же ключ к эффективному компьютерному кешу, а именно – предугадывание, какие элементы с наибольшей вероятностью понадобятся нам в будущем.

Если не брать в расчет ясновидение, то для того, чтобы делать прогнозы в мире людей, требуется понимание устройства этого мира в целом. Вместе со своим коллегой Лайлом Шулером Андерсон начал примерять исследования, похожие на упражнения Эббингауза, но не в отношении мозга, а в отношении устройства человеческого общества. Вопрос был простой: какова схема забывания у всего мира? Каким образом события постепенно угасают в памяти общества? Андерсон и Шулер проанализировали три примера окружающей среды современного человека на примере заголовков из The New York Times, записей разговоров родителей со своими детьми и содержимого электронного почтового ящика самого Андерсона. Во всех трех случаях они обнаружили, что одно слово с большой вероятностью будет повторено вновь сразу после того, как было произнесено, однако вероятность, что оно будет употреблено снова, со временем уменьшается.

Другими словами, реальность обладает определенной статистической структурой, которая воспроизводит кривую Эббингауза.

Мы можем сделать удивительный вывод. Если схема, по которой информация исчезает из нашей памяти, совпадает со схемой, по которой вещи вокруг нас выходят из обихода, то мы получаем хорошее объяснение кривой Эббингауза, а именно: наш разум идеально подстроен под устройство мира и это позволяет нам иметь под рукой те вещи, которые нам наверняка понадобятся.

Делая основной акцент на время, процесс кеширования показывает нам, что для работы нашей памяти неизбежно требуются компромиссы и поддержание определенного баланса. Вы объективно не можете держать каждую книгу из библиотеки на вашем рабочем столе, весь товар на самом виду магазинной витрины, каждый заголовок на первой полосе, каждый документ на самом верху папки. Аналогично вы не в состоянии хранить каждый факт, лицо или имя на самом верху памяти.

«Многие люди считают, что человеческая память совсем не оптимальна, – писали Андерсон и Шулер. – Они ссылаются на многочисленные крайне досадные сбои памяти. Тем не менее такая критика не может в полной мере оценить стоящую перед нашей памятью задачу, которая заключается в попытке организовать все эти огромные горы воспоминаний. В работе любой системы, предназначенной для управления обширной базой данных, есть место для ошибок поиска. Поддерживать постоянный доступ к неограниченному набору элементов – очень дорогое удовольствие».

Такое понимание в свою очередь привело ко второму открытию в исследовании человеческой памяти. Если такие компромиссы поистине неизбежны и мозг на самом деле оптимально подстроен под окружающий мир, тогда то, что мы называем снижением когнитивных способностей, которое неизбежно приходит с возрастом, может иметь совсем другую природу.

Тирания опыта

Большая книга – это огромное неудобство.

Каллимах (305–410 до н. э.), библиотекарь в Александрийской библиотеке

Если черный ящик в самолете сделан из материала, не подверженного разрушению, почему из него не делают весь самолет?

Стивен Райт

Необходимость устройства компьютерной памяти в виде иерархического порядка, своего рода серии водопадов кеша, – по большей части следствие того, что мы не можем позволить себе сделать всю память из самых дорогих комплектующих. Самый дорогой кеш в современном компьютере, к примеру, построен с применением статического оперативного запоминающего устройства (SRAM), один байт которого стоит приблизительно в тысячу раз больше, чем байт флеш-памяти в твердотельном накопителе. Но истинная мотивация в применении технологий кеширования лежит гораздо глубже. По сути, даже если бы мы могли получить по специальному заказу компьютер, который использовал бы только самую быструю форму памяти, нам все равно был бы нужен кеш.

Как объясняет Джон Хеннеси, самого по себе объема достаточно для того, чтобы улучшить скорость:

Когда вы занимаетесь каким-то глобальным делом, это само по себе всегда происходит медленнее, верно? Если вы делаете город больше, то больше требуется времени, чтобы добраться из пункта А в пункт Б. Если вы расширяете библиотеку, то вам понадобится больше времени, чтобы отыскать в ней книгу. Если за кипой бумаг уже стола не видно, то поиски нужного документа займут у вас больше времени, так? Кеш – это решение такой проблемы… Например, если вы прямо сейчас пойдете покупать процессор, то вы получите кеш первого уровня и кеш второго уровня на одной микросхеме процессора. Причина, по которой их два и они расположены на одном чипе, заключается в том, что для поддержания цикла работы процессора кеш первого уровня ограничен в размере.

Неизбежно следующее: чем больше память, тем больше времени понадобится на поиск и извлечение необходимого фрагмента информации.

Брайану и Тому за тридцать, и они уже столкнулись с тем, что все чаще в разговоре они начинают как будто буксовать, пытаясь произнести чье-то имя, которое вертится на языке. Опять же, у десятилетнего Брайана было двадцать с лишним одноклассников; 20 лет спустя у него несколько сотен контактов в телефоне и тысячи друзей в Facebook; он жил в четырех разных городах, и в каждом у него были друзья, знакомые и коллеги. К этому времени Том сделал академическую карьеру, работал с сотнями других сотрудников и преподавал тысячам студентов. (Фактически даже подготовка этой книги заставила нас встретиться с сотней людей и процитировать тысячу.) Эти факты не ограничиваются исключительно социальной активностью человека, разумеется. Обычный двухлетний ребенок уже знает 200 слов, обычный взрослый – 30 000. И когда речь заходит об эпизодической памяти, можно сказать, что каждый год добавляет треть миллиона минут бодрствования в прожитый опыт человека.

При таком раскладе просто чудо, что наша психика может с этим всем справляться. Удивителен не процесс замедления памяти, а тот факт, что мозг все еще может стабильно работать и откликаться на различные запросы, в то время как в нем накапливается такой невероятный объем данных.

Если основным вызовом для памяти является вопрос организации, а не хранения данных, тогда, вероятно, должно измениться наше восприятие влияния старения на умственные способности. Исследование, проведенное недавно группой психологов и лингвистов под руководством Майкла Рамскара в Тюбингенском университете, дало повод предположить: то, что мы называем снижением когнитивных способностей, то есть запаздывание памяти или невозможность вспомнить что-либо, может быть следствием вовсе не старения и не замедления поискового процесса, но (хотя бы отчасти) неизбежным следствием того, что нам приходится управлять все бóльшим и бóльшим количеством информации. Вне зависимости от тех задач, которые ставит перед нами старение, мозг пожилого человека, которому приходится ориентироваться в большем объеме воспоминаний, буквально вынужден решать с каждым днем все более сложные вычислительные задачи. Потому старшее поколение может дразнить слишком резвых молодых, приговаривая: «Это потому, что вы еще ничего не знаете!»

Группа Рамскара продемонстрировала влияние дополнительной информации на память человека на примере использования языка. С помощью ряда симуляций исследователи показали, что с увеличением количества знаний становится труднее вспоминать слова, имена и даже буквы. Вне зависимости от того, насколько хорошо организована схема вашей памяти, необходимость вести поиск среди большого объема данных неизбежно требует больше времени. Нет, мы не забываем. Мы просто пытаемся вспомнить. Мы становимся архивом.

Понимание неизбежной необходимости вычислительных операций в памяти, пишет Рамскар, должно помочь людям смириться с влиянием возраста на когнитивные способности. «Я считаю, что для пожилых людей самое главное – осознать, что их разум – созданное самой природой устройство для обработки информации, – пишет он. – Некоторые вещи, которые могут огорчать нас по мере того, как мы становимся старше (например, память на имена!), зависят от количества данных, которые нам приходится отфильтровывать… и вовсе не являются следствием угасания мозговой активности». Как отмечает Рамскар, «бóльшая часть того, что мы считаем снижением активности, попросту оказывается получением новых знаний». Язык кеширования дает нам возможность понять, что же происходит. Мы говорим, что у нас провалы в памяти, когда на самом деле должны сказать, что произошло «непопадание в кеш». Периодическое запаздывание в поиске информации напоминает нам о том, что все остальное время мы задействуем нашу память эффективно, держа под рукой все, что нам необходимо.

Так что не стоит унывать из-за того, что наша память начинает иногда запаздывать по мере того, как мы становимся старше: длина такой задержки отчасти служит мерой вашего опыта и знаний. Попытка вспомнить – это доказательство того, как много вы знаете. А если такие запаздывания происходят редко, это свидетельствует о том, что вы преуспели в организации информации и держите все необходимое максимально близко.

5. Планирование

Первое в первую очередь

Как мы проводим каждый день, так мы проводим свою жизнь.

Энни Диллард

«Почему бы нам не написать книгу о теории планирования? – спросил я. – Это же не должно занять много времени!» Написание книги, как ведение войны, зачастую влечет за собой грубые просчеты во времени. Пятнадцать лет спустя книга о планировании все еще не закончена.

Юджин Лоулер

Сейчас утро понедельника, и ваш график до сих пор не сформирован, зато у вас есть огромный список задач. К каким-то задачам вы можете приступить только после выполнения других (вы не можете загрузить грязную посуду в посудомоечную машину, не достав из нее чистую), а некоторые вы можете сделать только спустя определенное время (соседи будут возмущены, если вы вынесете мусорный мешок и оставите его на обочине до вечера вторника, когда его заберет мусоровоз). У некоторых задач есть четкие сроки исполнения, другие могут быть решены в любое время, а срочность большинства задач представляет собой нечто среднее. Некоторые имеют высокую срочность, но при этом не важны. Другие крайне важны, но могут подождать. Как говорил Аристотель, «мы есть то, что мы делаем изо дня в день», будь то мытье пола, совместный досуг с семьей, вовремя уплаченные налоги или изучение французского языка.

Так что же делать, и когда, и в каком порядке? Ваша жизнь ждет действий.

И хотя нам всегда удается придумать какой-то порядок для наших действий, как правило, нам кажется, что мы не слишком в этом преуспели, поэтому книги по тайм-менеджменту неизменно становятся бестселлерами. К сожалению, советы из этих книг зачастую противоречивы. Книга «Как привести дела в порядок»[13] рекомендует немедленно выполнять любую задачу (на которую вам должно потребоваться не более двух минут), как только мысль о ней приходит вам в голову. Конкурирующий бестселлер «Выйди из зоны комфорта»[14] советует начинать с самой сложной задачи и постепенно переходить к более простым. В книге «Легкий способ перестать откладывать дела на потом»[15] нам предлагают прежде всего распланировать социальные аспекты жизни и досуг и затем заполнить оставшееся время решением рабочих вопросов – а не наоборот, как мы обычно поступаем. Уильям Джеймс, «отец американской психологии», утверждает, что «нет ничего более мучительного, чем постоянное присутствие нерешенной задачи в жизни человека», но Фрэнк Партной в книге «Подожди!»[16] выступает за то, чтобы сознательно не начинать делать дела сию минуту.

У каждого гуру есть своя система, и сложно определиться, кого слушать.

Наука о времяпрепровождении

Хотя проблема тайм-менеджмента и стара, как само время, наука о планировании родилась в механических цехах индустриальной революции. В 1874 году Фредерик Тейлор, сын зажиточного юриста, отказался от учебы в Гарварде, чтобы стать помощником инженера на заводе гидрооборудования в Филадельфии. Четыре года спустя он закончил обучение и начал работать на Мидвэльском сталелитейном заводе – сначала токарем, затем бригадиром механического цеха и в конце концов стал главным инженером. За это время он пришел к выводу, что время работы техники (и людей) использовалось не очень-то эффективно. Этот вывод и лег в основу разработанной им дисциплины, которую он назвал «научный менеджмент».

Тейлор создал производственно-диспетчерский отдел, ключевым элементом которого стал информационный стенд, на который вывешивалось расписание работы в цехе. В расписании было указано, какую задачу в данный момент выполняет каждая из машин и какие задачи стоят на очереди. Такая практика также ляжет в основу работ коллеги Тейлора Генри Ганта. Во втором десятилетии ХХ века он создаст свою знаменитую диаграмму, которая впоследствии поможет реализовать несколько наиболее амбициозных проектов столетия в сфере строительства – от дамбы Гувера до системы межштатных магистралей США. Век спустя диаграммы Ганта все еще украшают стены кабинетов и экраны ноутбуков руководителей проектов в таких компаниях, как Amazon, Ikea и SpaceX.

Тейлор и Гант сделали планирование объектом своих исследований и дали ему визуальную и концептуальную форму. Однако они не разрешили фундаментальный вопрос: какая же система планирования лучше? Первый намек на то, что на этот вопрос в принципе можно ответить, появился только спустя несколько десятилетий – в 1954 году в научной работе, опубликованной математиком-исследователем Селмером Джонсоном из корпорации RAND.

Джонсон исследовал сценарий переплетного дела: сначала книгу нужно напечатать на одном станке, а потом переплести, используя другой. Но наиболее распространенным примером спаренной работы двух устройств из нашей жизни служит прачечная. Когда вы стираете вещи, в первую очередь они проходят через стиральную машину, а потом отправляются в сушилку. Количество времени, которое займет каждый процесс, напрямую зависит от того, что вы загружаете. Если одежда сильно запачкана, то времени на стирку потребуется больше, при этом время на сушку не будет отличаться от обычного. Большее количество вещей будет дольше сушиться, но стирка займет то же время, что и в случае меньшей загрузки. И здесь Джонсон задал вопрос: «Если за один подход вам необходимо постирать и посушить несколько условных комплектов вещей, как это лучше организовать?»

Его ответ был таков: вам необходимо определить, какой процесс займет у вас меньше всего времени, то есть выбрать тот комплект, стирка или сушка которого займет минимальное время. Если комплект быстро постирается, начните именно с него. Если же минимальное количество времени требуется для сушки, займитесь этим комплектом в последнюю очередь. Повторите те же действия в отношении остальных комплектов вещей, двигаясь от начала и конца расписания к середине.

Интуитивно понятно: алгоритм Джонсона работает потому, что вне зависимости от выбранной последовательности загрузки белья в самом начале будет работать только стиральная машина, при этом сушилка будет простаивать (а в самом конце, когда останется только посушить выстиранные вещи, – наоборот). Если в самом начале стирать вещи на коротких программах, а в конце сушить наименьшее количество вещей, то мы увеличим период, когда и стиральная машина, и сушильная работают одновременно. Таким образом, у нас получится свести к минимуму время, проведенное в прачечной. Анализ Джонсона лег в основу первого оптимального алгоритма планирования: начните с недолгой стирки и закончите полупустой сушилкой.

Помимо непосредственных сфер применения алгоритма работа Джонсона выявила два более глубоких факта: во-первых, планирование можно выразить с помощью алгоритма, во-вторых, решения для оптимального планирования существуют. Это позволило убрать из рассмотрения ставшие популярными книги, которые описывали стратегии для целых паноптикумов гипотетических заводов со всевозможными видами и количествами станков.

Далее мы рассмотрим только один крошечный класс такой литературы, где в отличие от переплетного дела или прачечной необходимо планировать работу одного устройства. Существенная для нас проблема планирования действительно касается только одного устройства – нас самих.

Справляемся с дедлайнами

Планируя работу одного устройства, вы сразу же сталкиваетесь с проблемой. Исследования Джонсона на примере переплетного дела основывались на максимальном сокращении временных затрат, необходимых для выполнения работы двумя машинами. В случае управления одним устройством, если мы будем выполнять все поставленные задачи, любое расписание потребует одинаковое количество времени и определение порядка задач будет лишено смысла.

Это фундаментальный и парадоксальный факт, и он стоит того, чтобы еще раз повторить его и закрепить в нашем сознании. Если у вас только одно устройство и вы планируете выполнить все поставленные задачи, то любой порядок выполнения задач займет у вас одинаковый отрезок времени.

Таким образом, мы получаем первый урок в планировании работы одного устройства еще до того, как мы приступили к обсуждению, а именно: точно определите ваши цели. Мы не сможем объявить победителя среди способов планирования, пока не поймем, как вести счет. Этот вопрос также относится к компьютерной науке: прежде чем у вас появится план, вы должны определить набор критериев. Оказывается, от выбора критериев напрямую зависит, какой же подход в планировании станет лучшим.

Первые научные работы о планировании задач для одного устройства последовали сразу же за исследованием Джонсона и предложили ряд веских критериев. Под каждый критерий была разработана простая оптимальная стратегия.

Мы привыкли к тому, что, например, для каждой задачи существует срок исполнения и допустимая величина просрочки. Таким образом, мы можем ввести термин «максимальное опоздание выполнения набора задач» – наибольший среди этих задач срыв установленного срока исполнения (именно это будет учтено вашим работодателем при оценке вашей деятельности). Для розничных покупателей или заказчиков услуг, например, максимальная задержка выполнения задачи соответствует самому долгому времени ожидания для клиента.

Если вам хотелось бы минимизировать время такой максимальной задержки, следует начать с выполнения задачи, срок исполнения которой наступит в первую очередь, и двигаться по направлению к задаче, которую можно выполнить максимально нескоро. Стратегия, известная как «скорая дата исполнения», на самом деле во многом интуитивна. (Например, в сфере оказания услуг, когда срок исполнения задачи для каждого клиента начинается с момента, когда тот вошел в дверь, такая стратегия предполагает обслуживание клиентов в порядке их появления.) Но некоторые выводы удивительны. Например, абсолютно не важно, сколько потребуется времени на выполнение каждой конкретной задачи: на план это никак не влияет, поэтому, по сути, вам это и не нужно знать. Все, что важно, – это знать, когда задание должно быть исполнено.

Возможно, вы уже используете стратегию скорой даты исполнения, чтобы справляться с рабочей нагрузкой, тогда вам не нужно прислушиваться к советам программистов при выборе стратегии. Но, скорее всего, вы не в курсе, что это оптимальная стратегия. Более точным будет сказать, что для вас важен только один конкретный показатель – сокращение времени вашего максимального опоздания. Если вы не преследуете такую цель, то вам может больше подойти другая стратегия.

Например, возьмем холодильник. Если вы подписаны на приобретение сельскохозяйственной продукции, то каждую неделю или две к порогу вашего дома доставляют много свежих продуктов. У каждого продукта разный срок хранения, поэтому употребление их по принципу очередности истечения срока хранения кажется самой разумной идеей. Однако это еще не конец истории. Алгоритм скорой даты исполнения, или в нашем случае даты порчи продукта, оптимален для сокращения времени максимального опоздания, что означает минимизацию степени испорченности одного наиболее испорченного продукта, который вам предстоит съесть. Наверное, это не самый аппетитный критерий.

Возможно, вместо этого мы хотели бы минимизировать количество продуктов, которые испортятся. И тогда нам лучше прибегнуть к помощи алгоритма Мура. В соответствии с ним мы начинаем процесс отбора продуктов по принципу самого раннего истечения срока хранения, планируя употребление в первую очередь самого скоропортящегося продукта, по одному продукту за раз. Но как только мы понимаем, что не сможем съесть следующий продукт вовремя, мы берем паузу, возвращаемся ко всем тем продуктам, которые уже распланировали, и выбрасываем самую крупную единицу (ту, на употребление которой нам понадобится больше всего дней).

Например, возможно, нам придется отказаться от дыни, которую можно съесть только за несколько подходов. Таким образом, мы каждый раз следуем этой схеме, выкладывая продукты по сроку их хранения и отправляя в мусорное ведро самый объемный продукт из распланированных, который мы не успеваем съесть. В тот момент, когда мы можем употребить в пищу все оставшиеся продукты и не допустить порчи какого-либо из них, мы достигаем цели.

Алгоритм Мура по максимуму сокращает количество продуктов, которые вам пришлось бы выбросить. Разумеется, вы можете пустить еду на компост или просто отдать соседу. Но если речь идет о производственных или бумажных делах, когда вы не можете просто отказаться от проекта, при этом именно количество не исполненных в срок проектов (а не степень задержки их исполнения) имеет для вас большое значение, то алгоритм Мура не подскажет вам, как поступить с просроченными задачами. Все, что вы выкинули из основной части плана, можно сделать в самом конце в любом порядке, поскольку эти вопросы уже не были решены в срок.

Как разобраться с делами

Делай сложные дела, пока они простые, делай большие дела, пока они маленькие.

Лао-цзы

Иногда соблюдение сроков – не самая большая наша забота. Мы просто хотим переделать все дела: чем больше дел, тем быстрее нам хочется с ними разобраться. Оказывается, что перевести это на первый взгляд элементарное желание в плоскость критериев планирования очень непросто.

Первый подход – подумать отвлеченно. Мы ранее отметили, что при планировании работы одного устройства мы не можем повлиять на общее время выполнения всех задач, но, если, например, каждая отдельная задача – это ожидающий клиент, есть способ максимально уменьшить время коллективного ожидания всех клиентов.

Представьте, что по состоянию на утро понедельника вы должны посвятить четыре рабочих дня одному проекту и один день другому. Если вы закончили работу над крупным проектом в четверг днем (прошло четыре дня) и затем завершили небольшой проект в пятницу днем (прошло пять дней), то общее время ожидания клиентов составило девять дней. Если вы будете выполнять задачи в обратном порядке, то закончите небольшой проект в понедельник и крупный в пятницу, при этом время ожидания составит только шесть дней. Вы в любом случае будете заняты полную рабочую неделю, но сможете сэкономить вашим клиентам три дня их совместного времени. Теоретики в области планирования называют этот критерий суммой времен выполнения.

Максимальное уменьшение суммы времен выполнения ведет нас к очень простому оптимальному алгоритму – алгоритму наименьшего времени обслуживания: сначала делай то, что можешь сделать быстрее всего.

Даже если ваша работа не связана с нетерпеливыми клиентами, ожидающими решения их вопроса, алгоритм наименьшего времени обслуживания поможет вам справиться с вашими делами. (Наверняка вас не удивляет эта параллель с рекомендациями из книги «Как привести дела в порядок» – немедленно приступать к любому заданию, на выполнение которого вам потребуется не более двух минут.) Невозможно изменить время, которое потребуется вам на выполнение всего объема работы, но алгоритм наименьшего времени обслуживания облегчит вам жизнь, сократив количество нерешенных задач в максимально краткий срок. Критерий суммы времен выполнения можно объяснить и иначе: представьте, что вы сосредоточены только на сокращении вашего списка дел. Если каждое незаконченное дело раздражает вас, то быстрое решение простых вопросов может немного облегчить ваши страдания.

Разумеется, не все незавершенные дела одинаковы по своей природе. Потушить пожар на кухне, конечно, следовало бы в первую очередь, отложив тушение «пожара» на работе: отправка срочного письма клиенту в этом случае подождет, даже если ликвидация пожара на кухне отнимет у вас больше времени. В планировании разная значимость задач выражена переменной веса. Когда вы выполняете дела из вашего списка, этот вес может быть фигуральным и выражаться только в тяжести той горы, которая упадет с ваших плеч с выполнением той или иной задачи.

Время выполнения задачи показывает, как долго вы несете на себе это бремя, и максимальное сокращение суммы времен весового выполнения (это время выполнения любой задачи, умноженное на ее вес) максимально уменьшит тяжесть на ваших плечах, пока вы справляетесь с другими делами по списку.

Для этой цели оптимальной стратегией будет слегка усовершенствованная версия алгоритма наименьшего времени обслуживания. Разделим вес каждой задачи на время, необходимое для ее выполнения, приступим к решению вопроса с наибольшим показателем соотношения важности к единице времени (чтобы развить нашу метафору, можем назвать этот показатель удельным весом) и далее будем двигаться от вопроса к вопросу по мере убывания значения показателя. Поскольку определить степень важности каждого из ваших повседневных дел порой затруднительно, эта стратегия предлагает использовать грубый эмпирический метод: в качестве приоритетной выберите ту задачу, которая не только займет у вас вдвое больше времени, чем остальные, но и будет в два раза важнее остальных.

В деловом мире вес можно оценить в денежном эквиваленте: сколько денег вам принесет выполнение той или иной задачи. Разделив вознаграждение на время выполнения, мы получим почасовую ставку для каждого задания. (Если вы фрилансер, для вас это может быть особенно эффективно: просто разделите стоимость каждого вашего проекта на его объем и работайте над проектами в порядке уменьшения почасовой ставки.) Что любопытно, весовая стратегия также появляется и в исследованиях, посвященных добыванию пищи у животных: там доллары и центы превращаются в орехи и ягоды. Животные, стремясь получить максимум энергии от пищи, ищут пропитание, исходя из соотношения калорийности и временных затрат на поиски и съедение.

В случае долговых обязательств этот принцип поможет вам не оказаться погребенным под долговой лавиной. Согласно этой стратегии, вам необходимо полностью игнорировать количество и размер ваших долговых обязательств и сконцентрироваться на погашении задолженности с максимальной процентной ставкой. Такой подход четко соответствует принципу решения задач по степени их важности в соотношении к временным затратам. И он же поможет вам избавиться от долгового бремени максимально быстро.

Если, с одной стороны, вы озадачены уменьшением количества долгов больше, чем уменьшением самой суммы долговых обязательств (например, избавиться от постоянной головной боли из-за многочисленных счетов и звонков коллекторов для вас важнее, чем разбираться с процентными ставками), тогда вы снова возвращаетесь к невесовому варианту алгоритма наименьшего времени обслуживания, оплачивая в первую очередь самые маленькие долги, чтобы разделаться с ними. Эксперты в области снижения задолженности называют этот подход долговым снежком. Хотя люди вроде бы должны быть заинтересованы в том, чтобы в первую очередь снизить сумму задолженности или уменьшить количество долгов, как мы видим из массовой прессы и экономических исследований, в мире по-прежнему все ровно наоборот.

Отбираем задачи

Вернемся к тому, с чего мы начали наши рассуждения о планировании работы одного устройства. Как говорится, «человек с одними часами знает, сколько времени; человек с двумя часами никогда не уверен, который час». Информатика может предложить нам оптимальные алгоритмы под любые критерии, которые существуют для работы одного устройства, но выбрать критерий можем только мы. Во многих случаях мы сами принимаем решение, какую задачу хотим решать сейчас.

Это позволяет нам радикально переосмыслить проблему прокрастинации – классической патологии тайм-менеджмента. Мы привыкли думать, что это ошибочный алгоритм. А что, если все совсем наоборот? Что если это и есть оптимальное решение неправильной задачи?

В одном из эпизодов «Секретных материалов» главный герой Малдер, прикованный к постели (в буквальном смысле), вот-вот должен был пасть жертвой вампира-невротика. Чтобы спастись, он опрокинул на пол пакет с семечками. Вампир, бессильный перед своей психической болезнью, стал нагибаться, чтобы подобрать их, семечко за семечком. Тем временем наступил рассвет – раньше, чем Малдер стал добычей монстра. Программисты назвали бы такой метод атакой пингования или сетевой атакой типа «отказ в обслуживании»: если заставить систему выполнять бесконечное количество банальных задач, самые важные вещи будут утеряны в хаосе.

Обычно мы ассоциируем прокрастинацию с ленью и так называемым поведением избегания, но симптомы прокрастинации могут так же легко появиться и у людей (или компьютеров, или даже вампиров), которые искренне и с энтузиазмом стремятся сделать все дела как можно быстрее.

В ходе исследования, проведенного в 2014 году Дэвидом Розенбаумом из Пенсильванского университета, участников попросили отнести одно или два тяжелых ведра на противоположный конец коридора. Одно из ведер находилось рядом с участником исследования, второе – дальше по коридору. К удивлению экспериментаторов, люди сразу же хватали ведро, стоящее рядом с ними, и тащили его по коридору, при этом проходя мимо второго ведра, которое могли бы тащить всего часть дистанции. Как было отмечено исследователями, «этот на первый взгляд иррациональный выбор отражает предрасположенность к прокрастинации. Этот термин мы вводим, чтобы дать определение явлению, когда мы спешим выполнить какую-либо промежуточную задачу даже ценой дополнительных физических усилий». Откладывание решения большой задачи в пользу решения множества простых вопросов может быть аналогичным образом расценено как приближение осуществления промежуточной цели, что, другими словами, означает, что прокрастинаторы действуют (оптимально!) так, чтобы максимально быстро сократить количество нерешенных задач в их мыслях. Это не значит, что их стратегия неэффективна для выполнения задач. У них отличная стратегия, но для неверного критерия.

Работа с компьютером представляет определенную опасность, когда нам нужно осознанно и четко выбрать критерий планирования: пользовательский интерфейс может ненавязчиво (или навязчиво) заставить нас использовать его критерии. Современный пользователь смартфона, в частности, привыкает видеть на иконках приложений значки, сигнализирующие о том количестве задач, которое мы должны выполнить в каждом из них. Если почтовый ящик извещает нас об определенном количестве непрочитанных писем, то получается, что все сообщения по умолчанию имеют одинаковую значимость. В таком случае можно ли порицать нас за то, что мы выбираем невесовую модель алгоритма наименьшего времени обслуживания в решении этой задачи (в первую очередь разбирайся с самыми простыми письмами и оттягивай работу с самыми сложными до последнего), чтобы быстро уменьшить количество непрочтенных писем?

Жить по критерию, умереть по критерию. Если все задачи на самом деле имеют одинаковую значимость, именно так нам и придется поступить. Но, если мы не хотим стать заложниками мелочей, нужно принять меры, чтобы продвинуться к концу списка дел. И здесь все начинается с осознания, что задача об одном устройстве, которую мы решаем, – та самая, которую мы хотим в данный момент решать. (В случае со значками приложений, если мы не можем заставить их отражать наши реальные приоритеты или не в силах побороть порыв оптимально сократить это количество нерешенных задач, брошенное нам как вызов, то, возможно, лучше всего будет попросту их отключить.)

Концентрация на том, чтобы не просто решать вопросы, но решать весовые вопросы, выполняя самую важную работу в каждый момент времени, выглядит как панацея от прокрастинации. Но, как показывает практика, даже этого недостаточно. И группа экспертов в области компьютерного планирования убедится в этом при крайне драматичных обстоятельствах: на поверхности Марса, на глазах у всего мира.

Смена приоритетов и управление очередностью

Стояло лето 1997 года, и у человечества было много поводов для радости. Например, впервые вездеход исследовал поверхность Марса. «Марсопроходец» стоимостью $150 млн развил скорость до 16 000 миль в час, пересек 309 млн миль пустого пространства и приземлился с помощью воздушных амортизаторов на красную скалистую поверхность Марса.

И тут он забуксовал.

Инженеры лаборатории реактивного движения были обеспокоены и поставлены в тупик. «Марсопроходец» удивительным образом начал игнорировать выполнение своей ключевой задачи с самым высоким приоритетом (обмен данными через информационную шину) и стал решать вопросы средней важности. Что же происходило? Неужели робот не понимал, что делает?

Внезапно «Марсопроходец» зафиксировал, что информационная шина не использовалась неприемлемо долго, и, не имея возможности обратиться за помощью, самостоятельно инициировал полную перезагрузку, что стоило миссии почти всего рабочего дня. Спустя день или больше все повторилось снова.

Лихорадочно работая, команда лаборатории в конце концов смогла воспроизвести и затем диагностировать такое поведение. Корнем зла оказалась классическая опасность планирования под названием «смена приоритетов». Происходит следующее: задача с низким приоритетом захватывает для работы системный ресурс (скажем, доступ к базе данных), но затем таймер прерывает работу задачи на середине, ставя ее на паузу, и активирует диспетчер системы. Диспетчер готов запустить задачу с высоким приоритетом, но не может, поскольку база данных занята. Таким образом, диспетчер опускается ниже по списку очередности задач, запуская различные незаблокированные задачи средней важности вместо того, чтобы запустить задачу с наивысшим приоритетом (которая заблокирована) или задачу с низким приоритетом, которая и блокирует работу (и которая оказалась в самом конце списка очередности после задач среднего приоритета). В таком кошмарном сценарии система может игнорировать задачу высшего приоритета очень долго[17].

Как только инженеры лаборатории выяснили, что проблема заключается в смене приоритетов, они написали код для решения проблемы и отправили его через миллионы миль «Марсопроходцу». Решением стало наследование приоритетов. Это означает, что если низкоприоритетная задача блокирует ресурс высокоприоритетной задачи, то низкоприоритетная задача должна немедленно «унаследовать» высокий приоритет той задачи, которую она блокирует.

Комик Митч Хедберг рассказывает такую историю: «Я был в казино, отдыхал, вдруг ко мне подошел парень и сказал: "Вы должны пересесть. Вы заблокировали пожарный выход". Можно подумать, что я не собирался бежать, если бы начался пожар». Аргумент сотрудника казино: это смена приоритетов. Контраргумент Хедберга: наследование приоритетов. Хедберг, развалившийся на стуле перед пытающейся спастись бегством толпой, мешкая, ставит свою низкоприоритетную задачу над высокоприоритетной задачей людей, намеренных спасти свою жизнь. Но все изменится, если он унаследует их приоритет (перед наступающей в панике толпой ее приоритет наследуется довольно быстро). Как говорит Хедберг, «если вы состоите из горючих материалов и у вас есть ноги, вы никогда не блокируете пожарный выход».

Мораль этой истории в том, что даже любви к решению задач иногда бывает недостаточно, чтобы избежать роковых ошибок в планировании. И даже любви к решению важных задач – тоже. Готовность крайне скрупулезно решать самый важный вопрос с привычной нам близорукостью может привести к тому, что весь мир называет прокрастинацией. Как в случае с застрявшим автомобилем: чем сильнее вы хотите выбраться, тем больше буксуете. По утверждению Гёте, «то, что значит больше, никогда не должно быть во власти того, что значит меньше». И хотя в этом есть определенная мудрость, иногда такое утверждение не совсем справедливо. Зачастую то, что значит для нас больше всего, не может быть сделано, пока не закончено самое незначительное дело. Поэтому единственный выход – это относиться к неважным вещам с той же важностью, как и к тем, выполнение которых они тормозят.

Когда к какому-то заданию невозможно приступить, не завершив перед этим другое, теоретики в области планирования называют это управлением очередностью. Для проведения операционного исследования эксперт Лора Альберт Маклей, полагаясь на этот принцип, существенно изменила некоторые аспекты ведения домашнего хозяйства в своей семье. Если вы понимаете, как работают такие вещи, это может быть очень полезно. Конечно, жизнь с тремя детьми – это ежедневное планирование… Мы не выходим из дома, пока дети не позавтракают, а дети не смогут начать завтрак, если я забуду дать им ложки. Иногда мы можем забывать элементарные вещи, которые потом тормозят все. С точки зрения алгоритмов планирования осознание этого факта и попытка держать его в памяти – уже большое подспорье. Так я и справляюсь с делами день за днем.

В 1978 году исследователь Ян Карель Ленстра смог использовать тот же принцип, помогая другу Джину с переездом в новый дом в Беркли. «Джин постоянно откладывал какое-нибудь дело, не закончив которое мы не могли приступить к срочным вопросам». Как вспоминает Ленстра, они должны были вернуть грузовик, но он был им нужен, чтобы вернуть некоторое оборудование, а оборудование было нужно, чтобы починить кое-что в квартире. Этот ремонт мог подождать (поэтому все и откладывалось), но вернуть грузовик нужно было срочно. По словам Ленстра, он объяснил другу, что задача, предшествующая самой срочной, является еще более срочной. Поскольку Ленстра известен как ключевая фигура в теории планирования и был более чем вправе дать такой совет, он не удержался от деликатной иронии. Эта ситуация стала кейсом, демонстрирующим смену приоритетов из-за управления очередностью. А пожалуй, самым выдающимся экспертом в области управления очередностью, считается как раз друг рассказчика – тот самый Джин, или Юджин Лоулер.

Ограничитель скорости

Лоулер потратил много лет своей жизни, размышляя над тем, как эффективно выполнять последовательность задач, а вот его карьерный путь любопытным образом петлял. Он изучал математику в Университете Флориды, затем приступил к написанию дипломной работы в Гарварде в 1954 году, хотя и покинул его до получения степени. После учебы в юридической школе, прохождения военной службы и работы на заводе он в 1958 году вернулся в Гарвард, защитил диплом и получил работу в Мичиганском университете. Приехав в Беркли в 1969 году во время своего академического отпуска[18], он был арестован во время акции протеста против войны во Вьетнаме. Лоулер стал преподавателем одного из факультетов Университета Беркли на следующий год и завоевал репутацию «общественного сознания» отделения компьютерной науки. После его смерти в 1994 году Ассоциация вычислительной техники США учредила премию имени Лоулера для тех, кто в своих работах демонстрирует гуманитарный потенциал компьютерной науки.

В своем первом исследовании в области управления очередностью Лоулер предположил, что с этим явлением можно легко справиться. Например, возьмем алгоритм скорейшей даты исполнения, который минимизирует максимальную задержку при выполнении набора задач. Если ваши задачи связаны между собой отношениями предшествования, то все усложняется: вы не можете просто пробираться через список дел, исходя только из их дедлайнов, если к некоторым делам нельзя приступить до выполнения других. Однако в 1968 году Лоулер доказал, что это не такая уж и беда, если вы можете построить список дел «задом наперед»: просто выберите те задачи, от выполнения которых не зависят другие дела, и поместите одну из них с наиболее «отдаленным» дедлайном в самый конец списка. Затем просто повторяйте этот процесс, каждый раз учитывая только те задачи, которые не являются необходимым условием для выполнения других (пока еще не запланированных) задач.

Но проницательный взгляд Лоулера позволил выявить кое-что любопытное. Алгоритм наименьшего времени обслуживания, как мы видели, представляет собой оптимальное решение, если наша цель – вычеркнуть как можно больше задач из списка дел как можно быстрее. Но если некоторые из ваших задач связаны между собой отношениями предшествования, не существует простого или очевидного способа адаптировать алгоритм наименьшего времени обслуживания для этой ситуации. Несмотря на то что задача кажется элементарной, ни Лоулеру, ни другим исследователям оказалось не под силу найти для нее эффективное решение.

Более того, сам Лоулер скоро обнаружил, что эта ситуация принадлежит к той категории задач, которые, по мнению большинства программистов, не имеют эффективного решения. Специалисты называют их труднорешаемыми[19].

Как мы имели возможность наблюдать в рамках сценария «утроить выигрыш или потерять все», на который не распространяется мудрость оптимальной остановки, не каждая четко сформулированная задача имеет решение. В планировании очевидно, что каждый набор задач и ограничений предполагает наличие какого-либо наилучшего порядка выполнения, поэтому задачи планирования, в сущности, имеют решение, но возможны случаи, для которых просто не существует однозначного алгоритма, могущего подобрать оптимальное расписание выполнения работ в разумные сроки.

Это обстоятельство привело исследователей вроде Лоулера и Ленстра к неизбежному вопросу. Так все же какова доля труднорешаемых задач планирования? Через 20 лет после того, как Селмер Джонсон с помощью своей работы о переплетном деле дал толчок развитию теории планирования, поиск отдельных решений стал самой грандиозной и амбициозной задачей – своеобразным квестом по нанесению на карту всего рельефа теории планирования.

Исследователи пришли к выводу, что даже самое малозаметное изменение условий задачи планирования зачастую способно перенести ее в категорию труднорешаемых. Например, алгоритм Мура минимизирует количество не сделанных вовремя дел (или испорченных продуктов) в случае, когда все дела имеют одинаковую важность, но, если одно из дел более значимо, задача переходит в разряд труднорешаемых и ни один алгоритм не в силах предложить оптимальное расписание. Аналогично, если вам приходится ждать наступления определенного момента, чтобы приступить к делам, то почти все задачи по планированию, которые мы можем легко и эффективно решить без такого условия, становятся труднорешаемыми. Запрет на вынос мусорного ведра на улицу до того момента, когда приедет мусоровоз, мог бы стать разумной мерой организации порядка в городе, но при этом вы полностью потеряете контроль над вашим графиком.

Обозначение границ теории планирования продолжается по сей день. Недавнее исследование показало, что около 7 % всех задач все еще неизвестны. Это неизведанная сторона планирования. Из 93 % известных нам задач только 9 % имеют эффективное решение, а остальные 84 % считаются труднорешаемыми[20]. Другими словами, для большинства задач по планированию типовые решения не подходят.

Если эффективная организация вашего графика кажется вам непосильным делом, возможно, это так и есть. Тем не менее алгоритмы, которые мы обсудили, могут стать отправной точкой для решения таких непростых задач: если решение и не будет идеальным, по крайней мере, оно будет грамотным.

Бросьте все: приоритетное прерывание и неопределенность

Лучшее время, чтобы посадить дерево, было 20 лет назад. Следующее лучшее время – сегодня.

Пословица

До этого момента мы обсуждали факторы, которые усложняли планирование. Но есть и способ облегчить этот процесс, а именно возможность прекратить выполнение одной задачи и переключиться на другую. Это действие – «приоритетное прерывание» – способно кардинально изменить ход игры.

И метод минимизации максимального времени опоздания (для обслуживания посетителей в кофейне), и метод суммы времен выполнения (для быстрого сокращения вашего списка дел) могут легко перевести любую задачу в разряд труднорешаемых, если одно из дел в списке не может быть начато до наступления определенного момента.

Но если мы можем применить метод приоритетного прерывания, то задачи снова обретают эффективное решение.

В обоих случаях классические стратегии скорой даты исполнения и наименьшего времени обслуживания соответственно остаются наиболее подходящими, если мы внесем в них простые и ясные коррективы. Поэтому, когда наступает время решения вопроса, сравните его с тем, который вы уже начали решать. Если вы работаете над задачей с самым близким дедлайном, а новая задача должна быть исполнена еще раньше, то просто переключитесь или же доведите начатое дело до конца. Аналогичным образом, если вы работаете по схеме наименьшего времени обслуживания и новое задание можно закончить быстрее, чем то, которое вы уже выполняете, займитесь им или же продолжайте начатое.

Сейчас при хорошем раскладе работники механического цеха могут четко знать все, что им предстоит делать в ближайшие несколько дней, но большинство из нас привыкли работать «вслепую», по крайней мере отчасти. Мы даже можем не догадываться, например, когда мы сможем приступить к определенному проекту (когда мы получим ту или иную информацию от того или иного человека). И в любой момент телефонный звонок или электронное письмо могут добавить новую задачу в наш график. Оказывается, что, даже если вы не знаете, когда сможете начать решать вопросы, схемы скорой даты исполнения и наименьшего времени обслуживания по-прежнему остаются оптимальными стратегиями, которые могут гарантировать вам (в среднем) лучший возможный результат в условиях неопределенности. Если новые задания появляются на вашем столе абсолютно непредсказуемо, то оптимальной стратегией для минимизации максимального времени опоздания как раз является схема скорой даты исполнения с возможностью приоритетной остановки – когда вы можете переключиться с текущего вопроса на новый, с более горящими сроками, или же игнорировать его. Похожим образом схема наименьшего времени обслуживания с возможностью приоритетного прерывания – когда требуется сравнить время, которое необходимо вам для завершения текущего дела и для выполнения нового, – остается оптимальной для минимизации суммы времен выполнения.

В действительности весовая версия схемы наименьшего времени обслуживания зарекомендовала себя как достойный кандидат на звание лучшей универсальной стратегии планирования в условиях неизвестности. Ее рецепт эффективного тайм-менеджмента прост: каждый раз, когда вы получаете новое задание, разделите его важность на количество времени, которое вы потратите на его выполнение. Если результат превышает аналогичный показатель по заданию, которое вы уже выполняете, то вам лучше переключиться на новое задание. Если нет – продолжайте начатое дело. Этот алгоритм в теории планирования больше всего напоминает мастер-ключ или швейцарский нож, поскольку оптимально подходит для решения множества аспектов задач.

При определенных условиях он минимизирует не только сумму весовых времен выполнения, как ожидалось, но и сумму весов каждого просроченного поручения, а также сумму весовых задержек при выполнении этих заданий.

Любопытно, что оптимизация всех этих других критериев труднодостижима, если мы знаем время, когда мы приступим к решению задачи, и продолжительность ее выполнения. Таким образом, если говорить о влиянии неизвестности в вопросах планирования, перед нами возникает парадоксальное явление: в некоторых случаях ясновидение становится обременительным. Даже имея возможность четко прогнозировать будущее, создать идеальный график выполнения дел было бы практически невозможно. Напротив, импровизация и немедленное реагирование на появляющиеся задачи не подарили бы вам столь же совершенного распорядка, как если бы вы заглянули в будущее. Но то лучшее, что вы можете сделать, вычислить гораздо проще.

Это немного утешает. Как говорит обозреватель и программист Джейсон Фрайд, «вам кажется, что вы не можете продолжать, пока у вас не появится железобетонный план? Замените слово "план" на "предположение" и успокойтесь». Теория планирования подтверждает это утверждение.

Когда будущее туманно, вам нужен не календарь, а просто список дел.

Последствия приоритетного прерывания: контекстное переключение

Чем больше я тороплюсь, тем больше не поспеваю.

Вышивка, увиденная в городе Бунвиль, штат Калифорния

Программисты не разговаривают потому, что их нельзя перебивать… Синхронизация с другими людьми (или их присутствием в телефонах, сигналах пейджера или звонках в дверь) означает только, что ход мысли прерван. За прерываниями следуют ошибки. Вы не должны останавливаться.

Эллен Ульман

И все же опыт теории планирования может вдохновлять. В ее составе есть простые оптимальные алгоритмы для решения многих задач по планированию, максимально похожих на те, с которыми мы ежедневно сталкиваемся в быту. Но как только дело доходит до планирования работы одного устройства в реальном мире, все становится гораздо сложнее.

Прежде всего и людей, и операционные системы компьютеров ждет одно крайне любопытное испытание. Устройство, которое осуществляет планирование, и устройство, работа которого распланирована, – равнозначны. Таким образом, наведение порядка в списке ваших дел становится одним из пунктов этого списка, который сам нуждается в установлении очередности и координировании.

Во-вторых, прерывание не проходит бесследно. Каждый раз, переключаясь с задачи на задачу, вы платите за это определенную цену, известную в мире программирования как контекстное переключение. Когда внимание компьютерного процессора переключается с заданной программы, затраты вычислительных ресурсов возрастают. Процессор должен отметить место, в котором он остановился, и отложить всю информацию, относящуюся к этой программе. Затем он определяет, какую программу надо запустить в следующую очередь. Наконец, процессору необходимо извлечь всю соответствующую информацию для новой программы, найти ее место в коде и включиться в работу.

Эти переключения с задачи на задачу не относятся к «настоящей» работе, поскольку не меняют статус выполнения какой-либо из задач, между которыми компьютер переключается. Это метаработа. Каждое контекстное переключение – трата времени. У людей контекстное переключение тоже приводит к определенным дополнительным затратам. Мы ощущаем это, когда перекладываем бумаги на столе; когда открываем и закрываем файлы на компьютере; когда заходим в комнату и не можем вспомнить, зачем мы туда пришли, или когда спрашиваем «так о чем я говорил?». Психологи доказали, что у людей переключения между задачами приводят к ошибкам и задержкам памяти, которые измеряются минутами, а не микросекундами. Объективно оценивая эти цифры, можно сказать, что, перебивая человека несколько раз в час, вы напрочь лишаете его возможности работать.

На собственном примере мы поняли, что и программирование, и писательская деятельность требуют поддержания в голове целостной картины всей системы, что влечет за собой огромные издержки на контекстные переключения. Наш друг-разработчик утверждает, что стандартная рабочая неделя не очень подходит его привычному рабочему процессу, поскольку для него 16-часовой рабочий день в несколько раз продуктивнее, чем 8-часовой.

Брайан, например, сравнивает написание текстов с кузнечным делом, когда вначале надо немного раскалить металл, пока он не станет податливым.

Он считает, что абсолютно бесполезно уделять подготовке материалов для книги меньше 90 минут, потому что первые полчаса уходят только на то, чтобы вспомнить, «на чем же я остановился». Эксперт в области планирования Кирк Прус из Питтсбургского университета поделился аналогичным личным опытом. «Если у меня есть только полчаса свободного времени, я лучше займусь простыми делами, поскольку первые 35 минут мне требуются, только чтобы осознать, что именно я хочу сделать, а потом у меня уже может и не остаться времени на это».

Знаменитое стихотворение Редьярда Киплинга «Если» заканчивается энергичным призывом к тайм-менеджменту: «Наполни смыслом каждое мгновенье, // Часов и дней неумолимый бег…»[21]

Если бы можно было это сделать. Правда такова: издержки есть всегда – время, потраченное на выполнение метаработы, на обеспечение вспомогательных действий и управление процессами. Это один из самых значительных компромиссов планирования: чем больше вы на себя берете, тем больше издержки. И в своей кошмарной крайности он превращается в феномен пробуксовки.

Пробуксовка

Гейдж: Господин Цукерберг, я занимаю все ваше внимание?

Цукерберг: Нет, я уделяю вам лишь толику своего внимания.

Социальная сеть

Компьютер работает в режиме многозадачности посредством организации поточной обработки, которая подобна жонглированию мячами. Жонглер за раз подбрасывает вверх только один мяч, но при этом три других остаются в воздухе. Так и центральный процессор: в каждый момент времени он работает только над одной программой, но, переключаясь между программами с невероятной скоростью (за одну сотую секунды), он, кажется, успевает и проигрывать фильм, и искать информацию в интернете, и сообщать вам о поступившем письме – и все одновременно.

В 1960-е годы программисты задумались, как можно было бы автоматизировать процесс совместного использования ресурсов компьютера разными программами и пользователями. В воспоминаниях Питера Деннинга, ныне одного из ведущих экспертов в области компьютерной многозадачности (который тогда работал над своей докторской диссертацией в Массачусетском технологическом институте), это было удивительное время. Удивительное и полное неопределенности: «Как разделить основную память между множеством разных задач, когда одна из задач хочет расширить объем своей деятельности, другая, наоборот, – уменьшить, и они планируют взаимодействовать между собой, пытаясь украсть память, и тому подобное?.. Как управлять всем этим рядом взаимодействий? Никто понятия не имел».

Неудивительно, что, поскольку исследователи и сами не вполне понимали, что делают, они столкнулись с препятствиями. И одно из них особенно привлекло внимание ученых. Как объяснял Деннинг, при определенных условиях неожиданная проблема «появляется, если вы добавите еще больше задач в эту многозадачную смесь. В некотором роде вы проходите через критический порог. Невозможно предсказать его появление, но вы сразу это поймете, когда внезапно система начнет умирать».

Снова представим жонглера. Пока один мяч находится в воздухе, у жонглера есть достаточно времени, чтобы подбросить вверх остальные. Но если жонглер берет еще один лишний мяч, с которым он уже не успевает справиться? Он уронит не этот мяч, он уронит все. Вся система в буквальном смысле слова рушится. Как комментировал такую ситуацию Деннинг, «присутствие одной лишней программы привело к полному краху работы системы… Очевидная разница между этими двумя случаями вначале заставляет игнорировать интуитивное ощущение, что по мере добавления новых программ в перегруженную основную память начинается постепенная деградация деятельности компьютера». А вместо этого происходит катастрофа.

И если в случае с жонглером мы понимаем, что он просто не рассчитал силы и не справился, что может стать причиной такого финала для машины?

Здесь теория планирования пересекается с теорией кеширования. Вся суть кеша заключается в том, чтобы держать рабочий набор необходимых элементов в свободном доступе. Один из способов – хранить информацию, которую в данный момент использует компьютер, в быстрой памяти, а не на медленном винчестере. Но, если задаче требуется держать в поле зрения так много нюансов, что эта информация уже не помещается в объеме быстрой памяти, компьютеру приходится постоянно подкачивать данные в память и отправлять обратно на винчестер, вместо того чтобы выполнять реальную работу. Более того, когда вы переключаетесь между задачами, новое активное задание может пытаться освободить место для своего рабочего набора, вытесняя сегменты других рабочих наборов из памяти. Следующее задание, активированное вновь, будет снова возвращать части своего рабочего набора с жесткого диска и заталкивать их обратно в память, занимая места других наборов. Такая ситуация – когда задачи крадут место друг у друга – может и дальше усугубляться в системах, где существует иерархия кеша между процессором и памятью. По словам Питера Зилистра, одного из разработчиков диспетчера операционной системы Linux, «кеши уже достаточно разогреты для текущей загрузки, и, когда вы переключаетесь с задачи на задачу, вы в значительной мере лишаете сил все кеши. И это больно». В крайнем случае программа может работать ровно столько, сколько нужно, чтобы закачать необходимые элементы в память, прежде чем уступить место другой программе, которая будет активна до тех пор, пока не перепишет все эти элементы.

Это и есть пробуксовка: система работает на полную катушку, но ни одна задача не решается. Деннинг впервые обнаружил этот феномен в контексте управления памятью, но сегодня программисты используют термин «пробуксовка» для обозначения практически любой ситуации, когда система отказывает, будучи окончательно перегруженной метаработой. Работа буксующего компьютера не приостанавливается постепенно. Она просто врезается в стену на полном ходу. «Реальная» работа в какой-то момент становится равной нулю, что также означает, что выбраться будет практически невозможно.

Пробуксовка – типичное состояние и для человека. Вы когда-нибудь испытывали желание немедленно прекратить делать все, чтобы просто получить возможность записать все, что вам необходимо сделать, но у вас не было на это времени? В этот момент вы начинали буксовать. Причина здесь та же, что и у компьютеров: каждая задача – это привлечение наших ограниченных когнитивных ресурсов. Когда необходимость помнить обо всем, что необходимо сделать, занимает все наше внимание или выстраивание очередности всех заданий занимает все время, которое мы должны потратить на их решение, или же ход наших мыслей постоянно прерывается, не позволяя нам обратить их в действия, наступает что-то вроде паники или паралича от гиперактивности. Это пробуксовка, и компьютеры о ней наслышаны.

Если вам доводилось бороться с буксующей системой (или если вы сами бывали в таком состоянии), то, возможно, вам будет интересно, какой выход из подобной ситуации предлагает компьютерная наука. В 1960 году в своей знаковой работе по теме Деннинг отметил, что болезнь легче предупредить, чем лечить. Самый простой способ профилактики – увеличение памяти: например, достаточное количество ОЗУ поможет уместить в памяти сразу все рабочие наборы запущенных программ и сократить время, необходимое на переключение контекстов. Но такие превентивные меры не помогут вам, если вы уже начали буксовать. Более того, когда речь заходит о человеческом внимании, мы явно можем использовать только то, что у нас есть, и не более.

Другой способ предотвратить пробуксовку до ее наступления – научиться говорить «нет». В частности, Деннинг агитировал за то, что система должна попросту отказывать в добавлении новой задачи, если ей не хватает памяти, чтобы разместить очередной рабочий набор. Эти меры способны предотвратить пробуксовку машин, и это разумный совет для всех угощаемых, чья тарелка уже полна. Но вместе с тем такой подход может показаться непозволительной роскошью для тех из нас, кто чувствует себя уже перегруженным – или неспособным сдерживать все, что на него валится.

В таких случаях, очевидно, нет возможности работать усердней, но вы всегда можете работать… хуже. Помимо памяти, одним из самых больших источников метаработы при контекстном переключении служит само действие выбора дальнейших действий. Временами эти действия тоже утягивают компьютер в трясину метаработы.

Если наш почтовый ящик заполнен n входящими сообщениями, то, как мы помним из теории сортировки, многократный просмотр писем с целью обнаружить самое важное из них, требующее немедленного ответа, потребует от нас выполнения O(n2) операций – n просмотров n писем. Это значит, что, обнаружив утром в почтовом ящике в три раза больше писем, чем обычно, вы потратите в девять раз больше времени на работу с ним. Более того, просматривая почту, вы поневоле подкачиваете каждое сообщение в свой мозг, одно за другим, прежде чем ответите хоть на одно из них: стопроцентный способ заставить ваш разум буксовать.

В таком состоянии вы не можете двигаться дальше, поэтому даже выполнять задачи в неверном порядке лучше, чем не делать ничего. Вместо того чтобы отвечать на самые важные сообщения в первую очередь (что требует оценки масштаба ситуации, которая займет у вас больше времени, чем сам ответ), возможно, вам стоит сделать шаг в сторону, минуя зыбь квадратичного времени, и отвечать на письма в произвольном порядке или в том, в котором они появляются на вашем экране. Размышляя в том же ключе, рабочая группа Linux несколько лет назад заменила свой диспетчер новым, который хоть и не был так силен в вычислении очередности процессов, но сполна компенсировал это скоростью вычисления. Если для вас все еще важно сохранить приоритеты, есть и другие, гораздо более интересные сделки, на которые вы можете пойти, чтобы вернуть себе продуктивность.

Объединение прерываний

Планирование в условиях реального времени – сложный и любопытный процесс отчасти благодаря взаимодействию двух не вполне совместимых показателей. Это способность к реагированию (как быстро вы можете откликаться на запросы) и производительность (как много вы можете сделать в общей сложности). Любой работавший в офисной среде способен быстро оценить напряженность между этими двумя критериями. Отчасти по этой причине существуют сотрудники, чья работа заключается в том, чтобы отвечать на звонки: они быстро реагируют, чтобы у других была возможность проявить свою производительность. Но все усложняется, когда вам, как компьютеру, приходится постоянно разрываться между быстрым реагированием и высокой производительностью. И лучший способ разобраться с делами, как бы парадоксально это ни звучало, – притормозить.

Диспетчеры операционных систем обычно определяют период, в течение которого каждая программа гарантированно работает, хотя бы немного. При этом система отдает сегмент такого периода каждой из программ. Чем больше программ запущено, тем меньше становятся сегменты и тем чаще в течение каждого периода происходят контекстные переключения. Таким образом, способность быстро реагировать поддерживается за счет продуктивности. Если оставить без присмотра этот порядок, гарантирующий каждому процессу хоть немного внимания в каждом периоде, случится катастрофа. При избыточном количестве запущенных программ сегмент для задачи сократится до такого размера, что системе придется его полностью потратить на контекстное переключение прежде, чем опять немедленно переключиться на новое задание.

Препятствие заключается в том, что гарантировать быстрое реагирование сложно. Современные операционные системы устанавливают минимальный размер для своих сегментов, который не подлежит дальнейшему делению. (В Linux, например, такой минимальный рабочий сегмент составляет около трех четвертых миллисекунды, но у людей он, скорее всего, будет составлять не менее нескольких минут.) Если после этого процессы продолжают добавляться, то период просто будет продлен. Это значит, что процессам придется ждать своей очереди дольше, чем настанет их очередь, но зато, когда она подойдет, у них будет достаточно времени, чтобы сделать что-то полезное. Установка минимального времени, которое можно потратить на одно любое задание, помогает полностью предотвратить стремление к быстрому реагированию за счет продуктивности: если минимальный сегмент больше времени, которое требуется на контекстное переключение, система никогда не сможет впасть в состояние, когда переключение будет ее единственной работой. Этот принцип также можно с легкостью перевести и в плоскость умственной деятельности человека. Метод тайм-боксинга или техника помидора, где вы устанавливаете кухонный таймер и выполняете только одно задание, пока не прозвучит сигнал, – прямое воплощение этой идеи.

Но какой величины должен быть ваш кусочек? Ответ на вопрос, сколько времени можно выделить на интервал между выполнением повторяющегося задания (например, между проверками почты), с точки зрения продуктивности крайне прост: столько, сколько возможно. Но это еще не конец; бóльшая производительность также означает более медленное реагирование.

Для вашего компьютера такая раздражающая помеха, на которую ему приходится постоянно отвлекаться, – вовсе не проверка почты. Это вы. Вы можете не шевелить мышкой несколько минут или часов, но, дотронувшись до нее, вы ожидаете немедленно увидеть движение курсора на экране, и это означает, что машина тратит огромные усилия на то, чтобы следить за вами. Чем чаще она проверяет мышку и клавиатуру, тем быстрее сможет отреагировать на запрос, но тем больше контекстных переключений ей придется совершить. Поэтому правило, которому следуют операционные системы, чтобы определить время, которое они могут выделить на решение какой-либо задачи, элементарно: столько, сколько возможно без паники или отставания от пользователя.

Когда люди ненадолго выбегают из дома по срочному делу, они обычно говорят что-то вроде «ты даже не успеешь заметить, что меня нет». Когда наши машины переключаются на вычислительные операции, им тоже приходится торопиться, чтобы мы этого не заметили. Чтобы найти этот баланс, программисты операционных систем обратились к психологии. Они штудировали работы по психофизике, чтобы найти точное количество миллисекунд простоя, нужное человеческому мозгу, чтобы зафиксировать вспышку на экране или отставание курсора. Обращать внимание на пользователя чаще нет смысла.

Благодаря этому, когда операционная система работает верно, вы даже не замечаете, как ваш компьютер напрягается. Вы по-прежнему можете легко перемещать курсор по экрану, даже если при этом ваш процессор работает на полную катушку. Эта легкость все же стоит вам некоторой степени производительности, но это преднамеренный компромисс, придуманный инженерами системы: ваша система не взаимодействует с вами столько, сколько это возможно, а затем возвращается, чтобы отобразить движение мышки ровно в тот момент, когда вы к ней прикоснулись. И снова этот принцип можно переложить на жизнь человека.

Мораль такова: вы должны постараться сосредоточиться на одной задаче столько, сколько представляется возможным, не снижая уровень вашей продуктивности ниже определенной минимальной отметки. Решите, как быстро вы должны реагировать, и затем, если вы хотите закончить дело, не повышайте скорость реагирования.

Если вы делаете много контекстных переключений, поскольку решаете ряд разнородных коротких задач, вы с тем же успехом можете применить и другую мудрость из компьютерной науки – «объединение прерываний». Если у вас пять счетов по кредитным картам, к примеру, не бегите оплачивать их по одному. Дождитесь получения пятого счета и оплатите все. Поскольку платеж не требуется внести раньше тридцать первого дня с момента получения счета, то вы можете назначить, к примеру, первый день месяца днем оплаты кредитов и именно тогда засесть за работу со счетами. При этом не важно, когда они пришли – три недели или три часа назад. Аналогично, если от вас не требуется отвечать на письма чаще, чем раз в 24 часа, вы можете проверять почтовый ящик один раз в день. Сами же компьютеры поступают примерно так: они ждут начала установленного интервала и проверяют все вместо того, чтобы переключаться для решения отдельных, неорганизованных помех от их многочисленных подкомпонентов.

В отдельных случаях программисты отмечают отсутствие объединения прерываний в их собственной жизни. Директор по исследованиям Google Питер Норвиг говорит: «Мне пришлось трижды за сегодняшний день ехать в город по делам, и я сказал себе: "Это же ошибка в твоем алгоритме. Ты должен был подождать или отправить эти дела в очередь, нежели выполнять их последовательно по мере поступления"».

Отличный пример объединения прерываний – организация работы почтовой службы. Поскольку почту доставляют лишь раз в день, то посылка или письмо, отправленное минутой позже крайнего срока, будет ожидать дополнительные 24 часа, чтобы попасть к вам. Учитывая издержки на контекстное переключение, положительная сторона этого явления тоже должна быть для вас очевидной: счета или письма могут отвлечь вас только раз в день. Более того, 24-часовой почтовый ритм требует от вас минимального реагирования: ведь не важно, пишете вы ваш ответ отправителю в течение пяти минут или пяти часов после получения письма.

В учебных заведениях заседание кафедры – это способ объединения прерываний от студентов. В коммерческих структурах объединение прерываний несколько оправдывает проведение самых критикуемых офисных ритуалов – еженедельных собраний. При всех их недостатках регулярно проводимые собрания – одно из лучших средств защиты от спонтанного прерывания и незапланированного контекстного переключения.

Покровителем образа жизни, основанного на минимизации количества контекстных переключений, можно назвать легендарного программиста Дональда Кнута. «Я делаю только одно дело за раз, – говорит он. – Это то, что компьютерные ученые называют пакетной обработкой данных – альтернативой перекидывания информации». И Кнут не шутит.

1 января 2014 года он приступил к настройке языка TeX, в рамках которой он устранил все ошибки, которые зафиксировали его программы для набора текста за шесть лет. Его отчет заканчивается бодрым «Не пропустите настройку ТеХ в 2021 году!». Кроме того, до сих пор (с 1990 года) у Кнута нет электронной почты. «Электронный ящик незаменим для тех, чья задача в жизни – быть на гребне волны. Но не для меня. Моя задача – быть на глубине. То, чем я занимаюсь, требует долгих часов изучения и непрерывной концентрации». Он просматривает свою почту каждые три месяца, а факсы – каждые шесть.

Но у нас нет необходимости впадать в такие крайности, мечтая, чтобы в основе жизненного уклада лежал принцип объединения прерываний. По счастливой случайности, почтовые отделения разделяют пользу этого принципа. В остальных аспектах жизни нам нужно самим выстроить его или требовать его применения. У наших постоянно трезвонящих устройств есть режим «не беспокоить», который мы можем вручную включать и выключать в течение дня, но это примитивно и неудобно. Вместо этого мы можем обратиться к настройкам, которые создадут нам необходимые условия для объединения прерываний. Обращайся ко мне каждые 10 минут, например. И рассказывай мне сразу все, что произошло за этот период.

6. Правило Байеса

Предсказываем будущее

Все человеческое знание нечетко, неточно и неполно.

Бертран Рассел

Завтра взойдет солнце. Ты можешь поставить последний доллар, оно взойдет.

Энни

В 1969 году, прежде чем приступить к написанию докторской диссертации по астрофизике в Принстоне, Джон Ричард Готт III отправился в путешествие по Европе. Там он увидел Берлинскую стену, возведенную восемью годами ранее. Стоя под тенью стены, застывшего символа холодной войны, он задумался, как долго она еще будет отделять Восток от Запада.

На первый взгляд, пытаться предсказать такие вещи немного абсурдно. Даже если отбросить невозможность прогнозировать события геополитики, вопрос и с математической точки зрения забавен: пытаться предугадать будущее, имея только единственную точку данных.

Но, как бы нелепо это ни казалось, мы делаем такие прогнозы постоянно по необходимости. Вы приходите на автобусную остановку в незнакомом городе и узнаёте, что другой турист на остановке ожидает автобуса уже семь минут. Когда же может подъехать следующий автобус? Стоит ли подождать, и если да, как долго?

Или, предположим, ваш друг начал встречаться с девушкой месяц назад и просит у вас совета: стоит ли ему пригласить вторую половинку на грядущий семейный праздник или слишком рано? Отношения развиваются очень хорошо, но стоит ли забегать вперед с такими планами?

Известная презентация, представленная Питером Норвигом, директором по исследованиям Google, называлась «Необоснованная эффективность данных» и выражала восторг от того факта, что «миллиарды банальных точек данных могут привести к пониманию».

В СМИ нам постоянно напоминают, что мы живем в век больших данных, когда компьютеры могут фильтровать эти миллиарды точек данных и обнаруживать схемы, которые не видны невооруженным глазом. Но зачастую проблемы, имеющие непосредственное отношение к нашей повседневной жизни, находятся в противоположной крайности. Наши дни заполнены маленькими данными. По сути, подобно Готту, стоящему перед Берлинской стеной, нам часто приходится делать суждения на основании минимального количества информации, которым мы обладаем, – простого наблюдения.

Так как мы это делаем? И как должны бы?

Эта история начинается в Англии в XVIII веке. Рассказ пойдет о той области исследований, против которой были бессильны умы величайших математиков того времени, даже из числа духовенства, – об азартных играх.

Рассуждения наоборот с преподобным Байесом

Если мы будем использовать значения, которые применяли, чтобы оценить прошлое, для оценки будущего, то надо иметь в виду: они всего лишь вероятны, не более того.

Дэвид Юм

Более 250 лет назад вопрос прогнозирования будущих событий, исходя только из маленьких данных, крайне занимал преподобного Томаса Байеса, пресвитерианского священника, жившего в чудесном городе-курорте с минеральными водами Танбридж-Уэллс в Англии.

Если бы мы купили десять билетов для игры в новую неизвестную лотерею, размышлял Байес, и пять из них выиграли бы приз, оценить шанс на победу в такой лотерее было бы довольно просто: пять из десяти, или 50 %. Но если мы купим лишь один билет и он выиграет приз? Можем ли мы на основании этого предположить, что вероятность выигрыша один к одному, или 100 %? Это слишком оптимистично, не так ли? Если так, то насколько слишком оптимистично? Что же мы должны на самом деле угадать?

Для человека, оказавшего такое влияние на историю логических размышлений в условиях неизвестности, история самого Байеса остается не слишком известной. Ирония судьбы. Он родился в 1701 или 1702 году в английском графстве Хертфордшир, а возможно, и в самом Лондоне. И в 1746 (или же 1747, 1748 или 1749) году он написал одну из самых значимых работ в математике, не стал ее публиковать и занялся другими вещами. Между двумя этими вехами есть место и некоторой ясности. Будучи сыном священника, Байес посещал Эдинбургский университет, где изучал теологию, и был посвящен в духовный сан, подобно своему отцу. Он интересовался математикой и теологией и в 1736 году написал очень эмоциональный ответ в защиту «новомодной» по тем временам теории вычислений Ньютона, подвергшейся нападкам епископа Джорджа Беркли. Это привело к тому, что в 1742 году Байес был избран в качестве члена научного Королевского общества, в которое он был рекомендован как «джентльмен, владеющий знаниями в геометрии и во всех разделах математической и философской наук».

После смерти Байеса в 1761 году, его друга Ричарда Прайса попросили оценить труд Байеса в области математики, чтобы понять, представляет ли он ценность и стоит ли его публиковать.

Прайс натолкнулся на одно эссе своего друга, которое восхитило его. По его словам, работа «имеет огромную ценность и должна быть сохранена». Эссе было посвящено как раз размышлениям о лотерее:

…представим, что лотерейный билет лежит перед человеком, который ничего не знает ни о правилах розыгрыша, ни о соотношении количества пустых лотерейных билетов к количеству призов. Далее предположим, что он должен определить это соотношение из количества выигравших билетов в сравнении с количеством призов, и от этого зависит, какие выводы он сможет сделать.

Критический подход Байеса, в рамках которого он пытался использовать выигрышные и проигрышные билеты, чтобы проанализировать всю совокупность билетов, представляет собой обратный логический анализ.

Чтобы сделать это, по его мнению, сначала мы должны проигрывать все возможные варианты. Другими словами, в первую очередь нам необходимо определить вероятность, по которой мы вытянули бы те билеты, которые вытянули, если различные сценарии были бы верны. Эта вероятность, известная в современной науке о статистике как правдоподобная вероятность, дает нам необходимые данные для решения задачи. Например, представьте, что вы купили три билета и все они выиграли. Тогда, если бы правила лотереи были бы настолько щедрыми, что выигрывал бы каждый билет, наша ситуация «три из трех» случалась бы постоянно; это стопроцентный шанс в этом сценарии. Если же, напротив, выигрывала бы только половина лотерейных билетов, то ситуация «три из трех» случалась бы

количество раз, то есть

часть от всех случаев.

А если бы на тысячу билетов полагался только один приз, то возможность троекратного выигрыша была бы крайне мала:

или один шанс из миллиарда.

Байес рассуждал, что мы, соответственно, должны считать более вероятным предположение, что все билеты являются выигрышными, нежели гипотезу, что только половина из них может принести выигрыш. В свою очередь, более вероятен тот факт, что половина билетов «счастливая», нежели тот, что выиграет лишь один из тысячи. Возможно, мы уже интуитивно это поняли, но логика Байеса предлагает нам возможность количественно выразить это интуитивное предположение. При всеобщем равенстве вещей мы должны представить, что тот факт, что все билеты выигрышные, в восемь раз более вероятен, чем тот, что только половина из них принесет выигрыш, потому что билеты, которые мы вытянули, в восемь раз более вероятно имеют шансы на победу

в этом сценарии. Следовательно, тот факт, что половина билетов принесет выигрыш, ровно в 125 раз вероятней того, что приз получит только один билет из тысячи (что мы получаем при сопоставлении

Это самая сложная часть размышлений Байеса. Предположения на основе гипотетического прошлого дают нам основание мыслить в обратном порядке – от самого невероятного к самому вероятному.

Подход был изобретательный и инновационный, но и с помощью него невозможно было окончательно решить задачу про лотерею. Представляя результаты Байеса перед членами Королевского общества, Прайс смог установить тот факт, что если вы приобретете один лотерейный билет и он выиграет, то вероятность того, что по меньшей мере половина билетов выиграет, равна 75 %. Однако размышления о вероятностях вероятностей могут свести с ума. И если бы кто-то спросил нас: «Ну хорошо, но какова же все-таки вероятность выигрыша в лотерее?» – нам все равно было бы нечего сказать. Ответ на этот вопрос – как же преобразовать все эти различные возможные гипотезы в единое четкое предположение – будет получен только несколькими годами позднее французским математиком Пьером-Симоном Лапласом.

Закон Лапласа

Лаплас родился в Нормандии в 1749 году. Отец отправил его учиться в католическую школу с тем расчетом, что он изберет священническую стезю. Лаплас продолжал изучать богословие в Канском университете, но в отличие от Байеса, который всю жизнь балансировал на грани духовных и научных изысканий, он в результате отказался от духовного сана в пользу математики.

В 1774 году, не будучи знакомым с работой Байеса, Лаплас публикует многообещающий документ под названием «Трактат о вероятности причин по событиям». В нем Лаплас наконец решает вопрос, как делать выводы в обратном направлении – от наблюдаемых последствий до их вероятных причин.

Байес, как мы увидели, нашел способ сравнить вероятность одной гипотезы относительно другой. Но в случае с лотереей обнаруживается в буквальном смысле бесконечное число гипотез – по одной для каждой возможной доли выигрышных билетов. С помощью вычислений и «противоречивой» математики, ярым защитником которой был Байес, Лапласу удалось доказать, что весь этот огромный спектр вероятностей может быть сведен к единственному возможному значению, да еще и удивительно лаконичному. По его теории, если мы действительно ничего не знаем о розыгрыше наперед, то после вытаскивания счастливого билета с первой же попытки мы будем ожидать, что доля выигрышных билетов во всем выпуске составляет

Если мы покупаем три билета и все они оказываются выигрышными, то ожидаемая нами доля выигрышных билетов становится уже

На самом деле для вытаскивания w выигрышных билетов за n попыток ожидание равняется количеству выигрышей плюс один, разделенных на количество попыток плюс два:

Эта невероятно простая схема для оценки вероятностей также известна как закон Лапласа, и ее легко применить в любой ситуации, когда вам предстоит оценить шансы грядущего события, основываясь на его истории. Если вы предпринимаете десять попыток чего-либо и пять из них оказываются успешными, закон Лапласа оценивает ваши общие шансы как

или 50 %, что отвечает нашим ожиданиям. Если вы предпринимаете только одну попытку и она срабатывает, то оценка шансов в

(по закону Лапласа) будет более разумной, чем предположение, что теперь вы каждый раз будете выигрывать, и более практичной, чем метод Прайса (согласно которому выходит 75 %-ная метавероятность 50 %, или бóльшие шансы на успех).

Лаплас продолжал применять свой статистический подход к широкому кругу проблем своего времени, в том числе и к оценке того, действительно ли вероятность рождения мальчиков и девочек среди младенцев одинакова. (Он установил с практической достоверностью, что мальчики рождаются немного чаще, чем девочки.) Он также написал «Философское эссе о вероятностях», очевидно, первую книгу по теории вероятности для широкой аудитории (и по-прежнему – одну из лучших), изложив в ней свою теорию и ее применение в судебной практике, в науке и в повседневной жизни.

Закон Лапласа предлагает нам первое простое правило для сопоставления малых данных в реальном мире. Даже если мы произвели всего лишь несколько исследований (или всего одно), он дает нам практические рекомендации. Хотите высчитать вероятность опоздания вашего автобуса? Узнать шансы на победу вашей любимой команды? Подсчитайте, сколько раз это уже случалось в прошлом, и прибавьте к этому числу один, а затем разделите на количество возможностей плюс два. Красота закона Лапласа в том, что он работает одинаково хорошо как в том случае, когда у нас есть всего одно значение величины, так и в том, когда их миллионы. Вера малютки Энни в то, что завтра взойдет солнце, вполне оправданна, ведь закон говорит нам: если Земля наблюдала восход солнца в течение примерно 1,6 трлн дней кряду, то шансы на восход солнца в следующей «попытке» неотличимы от 100 %.

Правило Байеса

Все эти предположения постижимы и последовательны. Почему мы должны отдавать предпочтение одному из них, который не является более постижимым и последовательным, нежели остальные?

Дэвид Юм

Лаплас также внес важное дополнение к правилу Байеса: что делать с гипотезами, вероятность которых выше, чем у других. Например, даже с учетом того, что в лотерею могут выиграть 99 % людей, купивших лотерейные билеты, все же более вероятно, как мы можем предположить, что приз достанется только 1 %. Это предположение должно быть отражено в наших оценочных данных.

Приведем пример. Допустим, ваш друг демонстрирует вам две монеты. Одна – обычная, «правильная» монета, у которой есть орел и решка, а у другой – два орла на обеих сторонах. Он бросает монеты в мешок и наугад достает одну из них. Подбрасывает – и выпадает орел. Как вы думаете, какую из монет достал ваш друг?

Схема Байеса о работе в обратном направлении даст легкий ответ на этот вопрос. Орел выпадет в 50 % случаев, если монета обычная, и в 100 %, если она двухсторонняя. Таким образом, мы можем с уверенностью утверждать, что ответ будет

или что вероятность того, что друг достал двухстороннюю монету, вдвое выше.

А теперь рассмотрим следующий вариант. На этот раз у друга девять обычных монет и одна монета с двумя орлами. Он бросает все десять монет в мешок, вытаскивает одну наугад и подбрасывает: орел! Что вы подумаете теперь? Была это обычная монета или с двумя орлами?

Закон Лапласа предусматривает и такой вариант, и ответ вновь впечатляюще прост. Как и в предыдущем случае, у обычной монеты шанс, что выпадет орел, в два раза ниже, чем у двухсторонней. Но теперь вероятность вытащить из мешка первой обычную монету в девять раз выше. Получается, мы можем просто взять эти два различных расчета и перемножить их между собой: вероятность, что ваш друг держит обычную монету, а не двухстороннюю, ровно в 4,5 раза выше.

Математическая формула, которая отражает это соотношение, связывая воедино наши прежние представления и доказательства, стала известна как правило Байеса – хотя, по иронии судьбы, именно Лаплас внес больший вклад в ее разработку. И она дает нам удивительно простое и четкое решение проблемы, как объединить ранее существовавшие убеждения с наблюдаемыми ныне доказательствами: просто перемножить их вероятности между собой.

Стоит отметить, что существование ранних предположений имеет решающее значение в работе этой формулы. Если ваш друг просто подойдет к вам со словами: «Я подбросил монетку, взятую из этого мешка, и выпал орел. Как думаешь, какова вероятность, что это обычная монета?» – вы не сможете ответить на этот вопрос, не имея никакой, хоть мало-мальской информации о том, какие монеты вообще были в этом мешке. (Вы не можете перемножить две вероятности, не имея значения одной из них.) Это предположение, что было в мешке до подбрасывания монетки (то есть шансы каждой гипотезы оказаться верной еще до получения каких-либо точных данных), получило название априорной вероятности. И согласно правилу Байеса вам всегда требуется некоторая априорная вероятность, даже если это просто догадки. Сколько всего существует двухсторонних монет? Насколько легко их достать? И в какой степени ваш друг – аферист, в конце концов?

Из-за того что правило Байеса всегда зависит от использования априорных вероятностей, на разных этапах истории оно считалось спорным, предвзятым и даже антинаучным. Но в действительности мы довольно редко попадаем в настолько незнакомую ситуацию, что наш разум становится подобен чистому листу (пункт, к которому мы сейчас вернемся).

Между тем, когда у вас есть некие значения априорных вероятностей, правило Байеса применимо к широкому кругу проблем прогнозирования, будь то большие объемы данных или более общий вид малых данных. Вычисление вероятности выигрыша в лотерею или выбрасывания орла – это только начало. Методы, разработанные Байесом и Лапласом, придут на помощь в любой ситуации, где есть некая неопределенность и какое-то количество данных для работы. И это как раз то, с чем мы имеем дело, пытаясь предсказать будущее.

Принцип Коперника

Предсказывать очень трудно, особенно будущее.

Датская пословица

Оказавшись у Берлинской стены, Ричард Готт задал себе простой вопрос: «Где я нахожусь?» – что означало: «В какой точке всего периода существования данного артефакта я оказался?» В некотором роде он задал временной вариант пространственного вопроса, который преследовал астронома Николая Коперника за 400 лет до этого: где же мы? Где во Вселенной находится Земля? Коперник совершил радикальный переворот в сознании людей, предположив, что Земля на самом деле вовсе не находится в центре Вселенной, а по сути, вообще нигде не находится. Готт решил предпринять аналогичный шаг, но в отношении времени.

Он предположил, что момент, в который он увидел Берлинскую стену, не был особенным: это был абсолютно обычный момент всего существования стены. И если каждый момент обладает абсолютно равной вероятностью, то в среднем момент появления Готта пришелся четко на экватор (поскольку с вероятностью 50 % стена могла рухнуть до этого момента и с такой же вероятностью рухнет позже). Грубо говоря, если у нас нет других вводных, мы можем считать, что появились точно на экваторе существования любого феномена[22]. В таком случае лучшее предположение, которое мы можем высказать относительного того, сколько это явление еще просуществует, очевидно: ровно столько же, сколько оно уже существовало. Готт наблюдал Берлинскую стену спустя восемь лет после ее возведения, поэтому, по его предположению, она должна была простоять еще восемь. (Стена продержалась 20 лет.)

Это простое рассуждение, которое Готт назвал принципом Коперника, легло в основу не менее простого алгоритма, который можно использовать для различного рода предсказаний любых событий. Не имея никаких ожиданий, мы могли бы применять его, чтобы спрогнозировать не только падение Берлинской стены, но и окончание любого количества других кратких или продолжительных явлений. Например, принцип Коперника предсказывает, что как нация США просуществует примерно до 2255 года, Google – приблизительно до 2032-го, а отношения, которые начал ваш друг месяц назад, вероятно, продлятся еще месяц (возможно, не стоит пока принимать приглашение на его свадьбу).

Подобным образом этот принцип советует нам иногда проявить скептицизм. Например, на недавней обложке The New Yorker появилось изображение человека, который держит шестидюймовый смартфон со знакомой сеткой иконок на экране, с подписью «2525». Сомнительно. Смартфону, как мы знаем, «исполнилось» всего 10 лет, и, согласно принципу Коперника, вряд ли он «протянет» до 2025 года, не говоря уж о еще пяти столетиях. В 2525 году будет несколько удивительно, если сам Нью-Йорк еще будет стоять.

Фактически, если вы подумывали устроиться на работу на строительный объект, объявление на котором сообщает, что «прошло семь дней после производственной аварии», вы наверняка откажетесь от своего намерения, если, конечно, не ищете работу на очень короткий срок. Если местная транспортная система не может позволить себе установить крайне удобные, но дорогие табло, информирующие, когда подойдет следующий автобус, принцип Коперника подскажет нам куда более простую и дешевую альтернативу. Зная, когда на этой остановке останавливался предыдущий автобус, мы можем предугадать, когда ждать следующий.

Но верен ли принцип Коперника? После того как Готт опубликовал свою гипотезу в Nature, журнал получил шквал писем с критикой. И становится понятно почему, когда мы пытаемся проверить это правило на более знакомых примерах. Согласно принципу Коперника, 90-летний человек может дожить до 180 лет, а каждый мальчик шести лет должен умереть в 12. Чтобы понять, почему иногда принцип Коперника работает, а иногда нет, нам нужно вернуться к Байесу: несмотря на свою очевидную простоту, принцип Коперника на самом деле – лишь частный пример правила Байеса.

Байес против Коперника

Предсказывая будущее, в частности продолжительность существования Берлинской стены, нам необходимо оценить все возможные периоды существования явления: простоит ли стена один день, месяц, год, 10 лет? Чтобы применить правило Байеса, как мы видели, в первую очередь мы должны определить априорную вероятность всех этих периодов. И оказывается, что принцип Коперника – это как раз результат применения правила Байеса с использованием неинформативного априорного распределения.

Сперва может показаться, что в условии есть противоречие. Если правило Байеса всегда требует от нас указания априорных ожиданий и убеждений, как мы можем их указать при отсутствии таковых? В случае с лотереей оправдаться незнанием можно было бы, допустив одинаковую априорную вероятность, которая подразумевает, что любое соотношение выигрышных билетов одинаково вероятно[23]. В случае с Берлинской стеной неинформативное априорное распределение означает, что мы ничего не знаем о временнóм интервале, который пытаемся предугадать: то есть стена может с равной вероятностью окончить свое существование в ближайшие пять минут или остаться еще на пять веков.

Помимо этого неинформативного априорного распределения, единственная информация, которую мы используем для правила Байеса, – тот факт, что на момент нашей первой «встречи» с Берлинской стеной она стояла уже восемь лет. То есть любая гипотеза, предсказывающая стене менее восьми лет существования в общей сложности, может быть исключена сразу же. (Аналогичным образом наличие двух орлов на одной монете исключается при появлении решки.) Любой период длиннее восьми лет вполне возможен, но, если бы стена в итоге простояла миллион лет, было бы удивительным стечением обстоятельств, что мы наткнулись на нее почти в самом начале ее существования. Таким образом, хоть мы и не можем исключить слишком длинные временные интервалы, вероятность их все же не очень высока. Когда правило Байеса комбинирует все эти вероятности (наиболее вероятный короткий отрезок уменьшает средний прогнозируемый показатель, а наименее вероятный, но все же возможный интервал увеличивает показатель), начинает действовать принцип Коперника: если мы хотим предсказать, как долго просуществует какое-то явление, и другой информации о явлении у нас нет, то лучшим предположением с нашей стороны будет следующее: явление будет существовать еще столько же, сколько существует на данный момент.

По сути, Готт не был первым, предложившим правило вроде принципа Коперника. В середине ХХ века последователь Байеса математик Гарольд Джеффрис пытался определить количество трамваев в городе, имея в качестве вводной информации серийный номер только одного трамвая, и ответ его был таким же: надо просто умножить серийный номер на два. Еще одна похожая задача появилась раньше, во время Второй мировой войны, когда страны Антанты хотели подсчитать количество танков, производимых Германией. Чисто математические подсчеты на основании серийных номеров захваченных танков показали, что немцы производили 246 танков в месяц, в то время как, по оценкам обширной (и крайне опасной) воздушной разведки, количество ежемесячно производимых за этот период танков составляло примерно 1400 единиц. После окончания войны немецкие архивы раскрыли истинную цифру: 245 танков в месяц.

Понимание того факта, что принцип Коперника – всего лишь правило Байеса с неинформативным априорным распределением, дает ответ на многие вопросы о его пригодности. Принцип Коперника кажется разумным как раз в тех ситуациях, когда нам не известно абсолютно ничего (разглядывая Берлинскую стену в 1969 году, мы даже не были уверены в том, какая временнáя шкала подойдет). А в тех случаях, когда мы знаем что-то об объекте, этот принцип в корне неверен. Предсказывать 90-летнему человеку жизнь до 180 кажется неразумным именно потому, что нам многое известно о продолжительности жизни человека, поэтому здесь нам виднее. Чем больше априорной информации мы берем для правила Байеса, тем более полезными могут оказаться предсказания, сделанные на его основе.

Априорные предположения реального мира…

В широком смысле в мире есть две категории явлений: те, которые стремятся к (или группируются вокруг) некоему естественному значению, и те, которые к ней не стремятся.

Продолжительность жизни человека, очевидно, находится в первой категории. Она попадает под нормальное распределение, также известное как гауссово распределение, названное так в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса, а в быту иногда называемое колоколообразной кривой благодаря характерной форме графика. График действительно адекватно характеризует отрезок жизни человека. В США средняя продолжительность жизни мужчин, например, составляет примерно 76 лет, и вероятности не слишком отклоняются от этого показателя. Нормальное распределение обычно имеет одну применимую шкалу: продолжительность жизни, выраженная одной цифрой, считается трагично короткой, а тремя – удивительно длинной. Многие другие вещи в природе тоже попадают под нормальное распределение – от роста, веса и давления человека до дневной температуры воздуха в городе и диаметра фруктов в саду. Однако есть в мире и ряд значений, которые не выглядят нормально распределенными. Средняя численность населения в небольшом городе в США, например, составляет 8226 человек. Но, если вы подготовите таблицу с указанием городов и численности их жителей и построите по ней график, вы даже близко не увидите никакого колокола. Вы обнаружите, что городов с численностью меньше 8226 человек гораздо больше, чем тех, где численность выше этой отметки. В то же время в более крупных городах численность населения будет гораздо выше средней. Такая модель определяется так называемым экспоненциальным распределением. Оно также известно как безмасштабное распределение, поскольку характеризует количественные показатели, которые, вполне возможно, могут иметь различные масштабы: например, население города может насчитывать десять, сто, тысяча, десятки тысяч, сотни тысяч или миллионы жителей, и таким образом мы не можем отметить единственный критерий для определения размера «нормального» города.

Экспоненциальное распределение характеризует множество явлений в нашей повседневной жизни, у которых есть такое же базовое качество, как и у городов с их населением: огромное количество элементов имеет показатели ниже среднего, и лишь несколько – выше среднего. Суммы кассовых сборов от продаж билетов, которые могут выражаться десятизначными числами, – это другой пример. Большинство фильмов не собирают много денег, но какой-нибудь редкий «Титаник» может принести поистине гигантские суммы.

По сути, деньги – область, где почти повсеместно действует экспоненциальное распределение. Оно характеризует и уровень материального благосостояния людей, и их доходы. Средний уровень дохода в США, например, составляет 55 688 долларов, но, поскольку доход можно распределить очень приблизительно, мы снова обнаружим, что большее количество человек будет иметь доход ниже среднего, зато у тех, кто окажется выше средней отметки, сумма дохода будет просто фантастической. Ситуация такова: две трети населения США имеют доход ниже среднего, но 1 % на самом верху зарабатывает в 10 раз больше среднего показателя. А самая высшая категория, составляющая 1 % от этого 1 %, получает еще в 10 раз больше. Мы часто сокрушаемся, что богатые становятся еще богаче, и в самом деле процесс предпочтительного присоединения – один из самых надежных способов создать экспоненциальное распределение. Крайне вероятно, что на самые популярные интернет-сайты будут заходить новые люди; у самых популярных онлайн-знаменитостей, с высокой степенью вероятности, будут появляться новые поклонники; наиболее престижные фирмы, скорее всего, будут привлекать новых клиентов; в крупнейшие города, крайне вероятно, будут прибывать новые жители. В каждом случае экспоненциальное распределение будет работать.

Правило Байеса подсказывает, что, когда нам приходится оценивать вероятность исходя из ограниченного количества фактов, только один фактор так же важен, как правильные априорные предположения. Это характер распределения, из которого мы получили эти факты. Хорошие предсказания начинаются с правильного понимания, с чем мы имеем дело – с нормальным распределением или экспоненциальным. Как оказалось, правило Байеса предлагает нам абсолютное иное, очень простое проверенное средство для обоих случаев.

…и правила определения их вероятности

Вы имели в виду, что «это может продолжаться вечно» в хорошем смысле?

Бен Лернер

Изучая действие принципа Коперника, мы обнаружили: если мы используем правило Байеса, применяя неинформативное априорное предположение, то правило всегда предсказывает, что общая продолжительность существования объекта будет ровно в два раза больше его текущего возраста. По сути, неинформативное априорное предположение, со всеми его невероятно изменчивыми возможными масштабами, – как Берлинская стена, которая могла бы простоять еще несколько месяцев или несколько веков. Это и есть экспоненциальное распределение. И для каждого экспоненциального распределения правило Байеса утверждает, что самой подходящей стратегией для определения вероятности станет правило умножения вероятностей: просто умножим количество, имеющееся по состоянию на сегодняшний день, на некоторый постоянный фактор. В случае с неинформативным априорным предположением таким постоянным фактором является число 2, отсюда и предсказание по Копернику; в других случаях экспоненциального распределения множитель будет зависеть от конкретного распределения, с которым вы работаете. В случае кассовых сборов, например, множитель равен примерно 1,4. Таким образом, если вы услышите, что на данный момент фильм собрал $6 млн, то можно предположить, что в общей сложности он соберет около $8,4 млн. Если фильм уже собрал $90 млн, то наверняка наивысшей точкой станут $126 млн. Правило умножения является прямым следствием того факта, что экспоненциальные распределения не отражают естественных масштабов того явления, которое они описывают. Таким образом, единственное, что дает нам ощущение масштаба для нашего предсказания, – та самая единственная точка данных, которая у нас есть (например, тот факт, что Берлинская стена существовала уже восемь лет до нашего появления). Чем больше значение этой единственной точки данных, тем больше масштаб явления, с которым мы имеем дело, и наоборот. Возможно, фильм, собравший $6 млн за первый час после выхода, на самом деле блокбастер, но гораздо более вероятно, что он так и не соберет более $9 млн.

Когда мы применяем правило Байеса с условием нормального распределения в качестве априорного предположения, у нас появляется совсем другая схема. Вместо правила умножения вероятностей мы получаем правило расчета средней вероятности: используйте естественный средний показатель распределения в качестве единственной определенной шкалы. Например, если некто моложе возраста средней продолжительности жизни, то просто предположите средний показатель; по мере того как человек достигает возраста, близкого к показателю, и затем превышает его, сделайте предположение, что человек проживет еще несколько лет. Следуя этому правилу, вы можете сделать разумные предположения для 90-летнего человека и для 6-летнего ребенка, получив при этом 94 года и 77 лет соответственно (6-летний ребенок получает небольшое преимущество при средней продолжительности жизни 76 лет, поскольку он пережил грудной возраст и мы знаем, что он не в самом конце распределения).

Продолжительность фильма, как продолжительность человеческой жизни, тоже попадает под нормальное распределение: большинство фильмов длятся примерно 100 минут, немногочисленные исключения располагаются по ту или иную сторону от среднего показателя. Но не все виды человеческой деятельности так просты и послушны. Поэт Дин Янг однажды заметил, что всегда, когда он слушает стихотворение или поэму, состоящую из нескольких пронумерованных частей, у него сердце екает, когда чтец объявляет начало четвертой части: если в поэме более трех частей, то дальнейшее непредсказуемо. Янг, в сущности, беспокоится «по Байесу». Анализ стихотворений показывает, что, в отличие от продолжительности фильмов, длина стихотворения ближе к экспоненциальному распределению, нежели к нормальному: большинство стихотворений коротки, но случаются и целые эпические поэмы. Когда дело доходит до поэзии, удостоверьтесь, что вам удобно сидеть. Подпадающее под нормальное распределение стихотворение, которое уже немного затянулось, вскоре подойдет к концу; но более объемная вещь из экспоненциального распределения продлится дольше, чем вы можете ожидать. Между этими крайностями на самом деле существует третья категория вещей: которые непременно закончатся, поскольку они начались и продолжаются некоторое время. Иногда вещи просто… неизменны.

Датский математик Агнер Краруп Эрланг, изучавший такое явление, зафиксировал разброс интервалов между зависимыми событиями, разработав функцию, которая получила его имя – распределение Эрланга. Форма этой кривой отличается и от нормального, и от экспоненциального распределения: ее контур похож на крыло; ее линия плавно поднимается к максимальной точке, а конец опускается более резко, чем у экспонентной кривой, и более медленно по сравнению с кривой нормального распределения. Сам Эрланг, работая в начале ХХ века в Копенгагенской телефонной компании, использовал эту схему, чтобы определить количество времени между звонками в телефонной сети. С тех пор распределение Эрланга также применялось градостроителями и архитекторами для создания модели автомобильного и пешеходного движения и инженерами компьютерных сетей при разработке интернет-инфраструктуры. В обычном мире тоже существует ряд областей, в которых события абсолютно не зависят друг от друга, и интервалы между ними можно выразить с помощью кривой Эрланга. Это, в частности, радиоактивный распад. Модель Эрланга с точностью подскажет, когда в следующий раз мы услышим тиканье счетчика Гейгера. Распределения Эрланга отлично работают и для амбициозных проектов человека. Например, они годятся, чтобы подсчитать, как долго политики задержатся в нижней палате Конгресса.

Распределение Эрланга дарит нам третье правило определения вероятности – правило сложения: всегда предполагайте, что явления будут продолжаться на постоянное количество времени больше. Знакомое нам всем «Еще только пять минут!» и (пять минут спустя) «Еще пять минут!», которое так часто сопровождает наши утверждения о готовности выйти с работы или из дома или о времени, необходимом нам для завершения дела, может свидетельствовать о хронической невозможности реалистично оценивать положение дел.

Но в случаях, когда мы сталкиваемся лицом к лицу с распределением Эрланга, такое поведение будет верным. Если горячий поклонник карточных игр в казино скажет своей нетерпеливой супруге, что, например, он не будет играть целый день, если ему выпадет еще один блек-джек (вероятность которого составляет примерно 20 к 1), то он может предположить: «Я закончу примерно через двадцать раздач!» Если спустя 20 неудачных раздач жена вернется с вопросом, сколько ей надо ждать на сей раз, его ответ не изменится: «Я закончу примерно через двадцать раздач!» Звучит так, как будто неутомимого картежника постигла краткосрочная потеря памяти, но, в сущности, его предположение абсолютно верно. На самом деле такие распределения, в результате которых появляются те же самые предположения, вне зависимости от их истории или текущего состояния, специалисты по статистике называют распределениями без запоминания или без последействия.

Все эти три очень разные схемы оптимального определения вероятности – правила умножения, сложения и расчета средней вероятности – являются следствием применения правила Байеса к экспоненциальному распределению, нормальному распределению и распределению Эрланга соответственно. И каждое из полученных в результате предположений показывает степень нашего удивления от того или иного события.

При экспоненциальном распределении чем дольше что-то происходит, тем дольше, по нашим ожиданиям, это будет происходить. Таким образом, экспоненциальное событие тем больше удивит нас, чем дольше мы его ждали, и максимально изумит как раз перед своим наступлением.

Нация, корпорация или организация с каждым прошедшим годом становится все более глобальной, поэтому всегда поразительно, когда она прекращает свое существование.

При нормальном распределении события удивляют нас тогда, когда происходят рано (поскольку мы предполагаем, что они достигнут средней отметки своей продолжительности), но не в том случае, когда они происходят поздно. На самом деле нам кажется, что они опаздывают, и чем дольше мы ждем, тем сильнее мы рассчитываем, что они произойдут.

При распределении Эрланга события по определению никогда не удивят нас сильнее или слабее в зависимости от того, когда они произойдут. Любое явление всегда имеет равную вероятность завершиться вне зависимости от того, как долго оно существовало. Неудивительно, что политики всегда думают о своем следующем переизбрании.

Азартные игры характеризуются аналогичной сравнительно устойчивой вероятностью. Если бы ваше ожидание победы при игре на рулетке характеризовалось нормальным распределением, то сработало бы правило расчета средней вероятности: после неудачи правило подсказало бы вам, что ваше число выпадет в любую секунду и, возможно, за этим последует несколько еще более проигрышных вращений рулетки. (В этом случае было бы логично дождаться следующего выигрыша и закончить игру.) Если же ожидание победы происходит по экспоненциальному распределению, то правило умножения вероятностей сообщит вам, что выигрышные вращения рулетки последуют один за другим, но при этом, чем дольше продолжается «засуха», тем дольше она, вероятно, продлится. (В этом сценарии было бы верно продолжать игру некоторое время после выигрыша, но сразу же закончить ее после первого проигрыша.)

Перед лицом распределения без последействия, как бы то ни было, вы оказываетесь в тупике. Правило сложения подскажет вам, что ваш шанс на победу тот же, что и час назад, и тот же, что ожидает вас час спустя. Ничего не меняется. Вас не наградят за то, что вы выстояли и закончили на хорошей ноте; нет здесь и переломного момента, когда вам следует остановиться, чтобы обойтись малой кровью.

В своей песне «Игрок» Кенни Роджерс дал знаменитый совет, что вам необходимо «знать, когда уйти, знать, когда бежать», но для распределения без последействия не существует правильного времени, чтобы остановиться. Отчасти этим можно объяснить зависимость от азартных игр.

Понимание того, какое распределение имеет место в вашем случае, влияет на все.

Когда гарвардский биолог и активный популяризатор науки Стивен Джей Гулд узнал, что у него рак, его первым порывом было ознакомиться с соответствующей медицинской литературой. Затем он выяснил, почему врачи не советовали ему этого делать: половина всех пациентов с такой же разновидностью рака умерли в течение восьми месяцев после того, как узнали свой диагноз. Однако такая статистика не сказала ему ничего о распределении выживших пациентов. При нормальном распределении правило расчета средней вероятности могло бы сделать достаточно точный прогноз относительно того, как долго Гулд мог бы прожить: около восьми месяцев. Однако при экспоненциальном распределении ситуация была бы иная: правило умножения подсказало бы нам, что чем дольше он продолжал жить, тем больше доказательств того, что он проживет еще дольше. Читая дальше, Гулд узнал, что «кривая распределения была на самом деле очень асимметрична с правой стороны и ее длинный (хотя и тоненький) „хвост“ тянулся на несколько лет дальше медианы восемь месяцев». «Я подумал, – писал он, – что нет причин, по которым я не должен попасть в этот маленький хвостик, и вздохнул с огромным облегчением». Гулд прожил еще 20 лет после того, как впервые узнал о своем заболевании.

Малые данные и разум

Эти три правила – правило умножения вероятностей, правило расчета средней вероятности и правило сложения вероятностей – применимы к широкому спектру повседневных бытовых ситуаций. И из этих ситуаций можно выйти удивительно удачно, просто выбрав нужное правило. В аспирантуре Том вместе с Джошем Тененбаумом из Массачусетского технологического института провел эксперимент, прося разных людей делать прогнозы относительно различных повседневных вещей (таких как продолжительность жизни, сборы фильма в прокате или время, которое американский политик занимает свою должность), опираясь в каждом случае на один-единственный показатель: возраст на данный момент, заработанные к настоящему времени деньги, стаж работы на сегодняшний день. Затем они сравнили прогнозы, сделанные людьми, с прогнозами, полученными в результате применения правила Байеса к фактическим реальным данным по каждой из этих областей.

Как выяснилось, прогнозы участников эксперимента были весьма близки к прогнозам согласно правилу Байеса. Интуитивно люди делали различные варианты прогнозов для значений, следующих разным режимам распределения: экспоненциальному, нормальному или распределению Эрланга. Иными словами, если вы не знаете или не можете вспомнить, под какое из правил вероятности подпадает ваша ситуация, то ваши ежедневные прогнозы, как правило, отражают различные случаи возникновения этих распределений в жизни и разные пути их функционирования.

В свете того, что мы знаем о правиле Байеса, эта удивительная человеческая способность подталкивает нас к важным выводам, которые помогают понять, как же люди делают прогнозы. Малые данные – это, по сути, скрытые большие данные. Причина, по которой нам часто удается делать точные прогнозы на основе лишь нескольких наблюдений (или вовсе единственного), кроется в том, что наши априорные вероятности весьма высоки. Осознаем мы это или нет, но в наших головах скрываются удивительно точные априорные прогнозы о кассовых сборах фильмов и продолжительности показов, о длине стихотворений и сроке политических полномочий, не говоря уж о продолжительности жизни. Нам не приходится собирать эти данные в явном виде, мы впитываем их из окружающего мира.

Тот факт, что наши прогнозы в целом соответствуют прогнозам по правилу Байеса, также дает нам возможность декомпилировать все виды априорных распределений, включая те, о которых сложно получить надежные данные. Например, висение на проводе в попытке дозвониться в службу клиентской поддержки – это прискорбно общий аспект человеческого опыта, но при этом в открытом доступе не существует никаких данных о статистике времени ожидания, каковые есть, например, о кассовых сборах голливудских блокбастеров. Но если прогнозы людей основаны на их опыте, то мы можем воспользоваться правилом Байеса, чтобы провести скрытую рекогносцировку мира, анализируя ожидания. Когда Том и Джош просили людей предсказать время ожидания ответа оператора с одной точки измерения, результаты показали, что все субъекты использовали в основном правило умножения вероятностей: общее время удержания звонка согласно их ожиданиям в

раз дольше чем им приходилось ждать до сих пор. Это согласуется и с применением экспоненциального распределения в априорной вероятности, когда возможен широкий диапазон значений. Надеюсь, вам не придется ждать целую вечность! За последнее десятилетие подобные подходы позволили ученым-когнитивистам выявить априорные распределения людей в целом по широкому спектру областей от зрительного восприятия до языка.

Однако тут нужно сделать одно важное замечание. В тех случаях, когда у нас нет хорошей априорной вероятности, мы не можем делать хорошие прогнозы. В исследовании Тома и Джоша, к примеру, была одна тема, по которой прогнозы людей систематически расходились с правилом Байеса: прогнозы о продолжительности правления египетских фараонов. (Как это часто бывает, правление фараонов подчиняется распределению Эрланга.) Людям просто не хватало косвенной информации, чтобы интуитивно чувствовать диапазон этих значений, поэтому их прогнозы, разумеется, не оправдались. Хорошие прогнозы требуют хорошей информационной базы.

Это влечет за собой ряд важных последствий. Наши суждения не оправдывают наших ожиданий, а наши ожидания не оправдывают наш опыт. То, как мы видим наше будущее, во многом говорит и о мире, в котором мы живем, и о нашем собственном прошлом.

Что наши прогнозы говорят о нас самих

Когда Уолтер Мишел проводил свой знаменитый зефирный эксперимент в начале 1970-х, он пытался понять, как способность откладывать удовольствие зависит от возраста. В детском саду кампуса Стэнфордского университета трех-, четырех– и пятилетние дети прошли тест на силу воли. Каждому ребенку показали маршмеллоу (разновидность зефира, очень любимую американскими детьми) и сказали, что сейчас взрослый, который наблюдает за ходом эксперимента, выйдет из комнаты на какое-то время. Если ребенок хочет, он может съесть лакомство сразу же. Но если он дождется возвращения куратора, то получит две зефирки.

Некоторые дети были не в силах сопротивляться искушению и съели свои зефирины сразу же. Некоторые мужественно вытерпели 15 минут, дождались взрослого и получили две зефирки, как и было обещано. Но в самую, пожалуй, интересную группу вошли те дети, кто смог подождать какое-то время, но потом сдался и съел лакомство.

Эти случаи, когда дети мужественно боролись и самоотверженно страдали, чтобы в итоге все равно сдаться и потерять дополнительный бонус, были описаны как своего рода иррациональность. Если вы собираетесь сдаться, почему бы не сдаться сразу и не пропустить пытку? Но все зависит от того, в каком ключе дети воспринимают ситуацию, в которой оказались. Ученые из Пенсильванского университета Джо Макгуайр и Джо Кэйбл выяснили: если количество времени, которое требуется взрослому, чтобы вернуться, обусловлено экспонентным распределением (с длительным отсутствием, предполагающим, что далее предстоит еще более долгое ожидание), то своевременное прекращение этого невыгодного процесса может быть самым разумным решением.

Другими словами, способность противостоять искушению хотя бы некоторое время – вопрос скорее ожиданий, нежели силы воли. Если предположить, что взрослые, как правило, всегда возвращаются после коротких отлучек (что-то в духе нормального распределения), то вы должны быть в состоянии удержаться от искушения. Правило расчета средней вероятности предполагает, что единственное, что нужно сделать после периода болезненного ожидания, – это продолжать терпеть: ведь куратор теперь может вернуться в любую минуту. Но, если вы не имеете ни малейшего представления о временных рамках отсутствия (в соответствии с экспоненциальным распределением), тогда это тяжелая борьба. Правило умножения вероятностей предполагает, что затяжное ожидание – лишь малая часть того, что предстоит впереди.

Спустя десятки лет после первоначального зефирного эксперимента Уолтер Мишел с коллегами решили посмотреть, как поживают его участники. Поразительно, но они обнаружили, что те дети, кто терпеливо ждал двойного угощения, теперь гораздо более успешны по сравнению с остальными, даже если оценивать успех по количественным показателям вроде результатов теста SAT. С точки зрения силы воли зефирный эксперимент наглядно демонстрирует, какое влияние обучение самоконтролю может оказать на жизнь человека. Но если этот эксперимент больше об ожиданиях, чем о силе воли, то это уже другая, более душещипательная история.

Команда исследователей из Рочестерского университета недавно провела исследование того, как априорные ожидания могут повлиять на поведение во время зефирного эксперимента. До того как зефир был упомянут, дети-участники эксперимента приступили к реализации арт-проекта. Куратор эксперимента раздал им весьма посредственные материалы для творчества и обещал вскоре вернуться с чем-то получше. Но втайне от них самих дети были поделены на две группы. В одной группе куратор был человеком слова и на самом деле вернулся с лучшими материалами для творчества, как и обещал. В другой группе он был «ненадежным» и вернулся к детям с пустыми руками и извинениями.

По завершении творческого проекта дети приняли участие в стандартном зефирном эксперименте. И те, кто счел куратора ненадежным человеком, чаще склонялись к тому, чтобы съесть зефир до его возвращения, упуская тем самым возможность получить второе лакомство.

Провал зефирного эксперимента – и меньший успех в дальнейшей жизни – может говорить вовсе не о недостатке силы воли. Все это вполне может быть результатом осознания того, что взрослые ненадежны: они не держат слово и исчезают неизвестно на сколько. Самоконтроль, конечно, весьма важен, но не менее важно вырасти в окружении заслуживающих доверия взрослых, которые постоянно рядом.

Априорные предположения в век механической репродукции

Будто кому-то пришлось бы покупать несколько экземпляров утренней газеты, чтобы убедиться, что написанное в ней – правда.

Людвиг Витгенштейн

Он внимателен к тому, что он читает, потому что это то, что он потом напишет. Он внимателен к тому, что он узнаёт, потому что это то, что он потом будет знать.

Энни Диллард

Лучший способ делать правильные предположения, по опыту правила Байеса, – получить как можно больше информации о тех вещах, исход которых вы пытаетесь предсказать. Именно поэтому мы можем довольно успешно рассуждать о продолжительности человеческой жизни, но при этом показать очень плохие результаты при попытке оценить продолжительность правления фараонов.

Быть последователем Байеса означает видеть мир в правильных пропорциях, имея правильные, надлежащим образом выверенные априорные представления. В общем и целом у людей и животных это происходит естественно. Как правило, когда что-то удивляет нас, это действительно должно нас удивить, а если нет, значит, так тому и быть. Даже когда мы устанавливаем объективно неверные связи, они все равно обычно служат нам неплохую службу, отражая определенную часть мира, в которой мы живем. Например, тот, кто живет в пустыне, может переоценивать общее количество песка в мире. А тот, кто живет на Северном полюсе, может переоценивать количество снега. Оба человека хорошо настроены на жизнь в своей экологической нише.

Как бы то ни было, все начинает разрушаться, когда у особи появляется язык.

Мы говорим не о том, с чем мы сталкиваемся, мы говорим в основном о том, что нам интересно. А интересы у нас разные. В той или иной степени события всегда испытываются нами на собственном опыте, но не всегда правдиво передаются потом в речи. Любой, переживший укус змеи или удар молнии, до конца своих дней будет снова и снова рассказывать об этом, и его история будет настолько впечатляющей, что ее станут передавать из уст в уста.

Существует любопытная напряженная связь между общением с другими и сохранением своих априорных предположений о мире. Когда люди рассказывают о том, что им интересно (полагая, что это будет интересно и их собеседнику), они искажают статистику нашего опыта. Нам становится тяжело поддерживать надлежащие априорные распределения. И эта задача усложнилась с появлением печатной прессы, вечерних теленовостей и социальных сетей – тех инноваций, которые позволяют нашему виду распространять язык механически.

Представьте, сколько раз вы видели разбившийся самолет или разбитую машину. Возможно, что того и другого было поровну. Только машины вы в основном лицезрели воочию, в непосредственной близости, а самолеты наверняка находились на другом континенте и были показаны вам с помощью интернета или телевидения.

Например, в США все погибшие в авиакатастрофах на гражданских самолетах начиная с 2000 года не смогут заполнить Карнеги-холл даже наполовину. А количество погибших в автокатастрофах за то же время превышает население штата Вайоминг.

Проще говоря, представление событий в СМИ не отражает их частотность. Как отметил социолог Барри Гласснер, смертность в результате убийств в США снизилась на 20 % на протяжении 90-х, при этом за этот же период количество преступлений с применением огнестрельного оружия возросло на 600 %.

Если вы хотите быть хорошим последователем Байеса, если вы хотите легко делать правильные предположения, не задумываясь о том, какое правило стоит применить в том или ином случае, вам нужно защищать ваши априорные предположения. Как ни странно, это может означать, что вам следует выключить новости.

7. Переподгонка

В каком случае стоит думать меньше

Когда Чарльз Дарвин размышлял, стоит ли ему сделать предложение своей кузине Эмме Веджвуд, он достал карандаш и бумагу и взвесил все возможные последствия своего решения. В пользу брака он привел возможность обзавестись детьми, построить теплые отношения и наслаждаться «очарованием музыки и женскими беседами». Против брака играли «чудовищная потеря времени», отсутствие свободы времяпрепровождения, тяжкая необходимость навещать родственников, расходы и тревоги, связанные с детьми, обеспокоенность, что «жене может не понравиться Лондон», и меньше свободных денег на покупку книг. Сравнив обе колонки, он обнаружил незначительный перевес в пользу брака и ниже приписал «жениться-жениться-жениться ч. т. д.». Что и требовалось доказать – математическое заключение, которое Дарвин затем переформулировал по-английски: «Доказано, что необходимо жениться».

Метод составления списка «за» и «против», предложенный Бенджамином Франклином веком ранее, успел пройти проверку временем еще до Дарвина.

Чтобы преодолеть «неопределенность, которая ставит нас в тупик, – писал Франклин, – я делю лист бумаги на две колонки, озаглавив их „за“ и „против“. Затем, обдумывая вопрос в течение трех-четырех дней, я коротко записываю в соответствующие графы доводы „за“ и „против“, которые приходят мне в голову. Собрав все аргументы, я пытаюсь оценить весомость каждого из них; обнаружив, что два аргумента из разных колонок имеют приблизительно равный вес, я вычеркиваю оба; если я понимаю, что один аргумент „за“ имеет такой же вес, как два аргумента „против“, я вычеркиваю все три. Если, по моему мнению, два аргумента „против“ можно приравнять к трем аргументам „за“, я вычеркиваю пять. Продолжая в том же духе, я нахожу баланс. После нескольких дней размышлений, если новые важные доводы не приходят мне в голову, я принимаю решение».

Франклин даже считал такой метод отчасти вычислительным, отмечая, что «нашел огромное преимущество такого уравнивания аргументов в своего рода моральной или разумной алгебре».

Когда мы думаем о размышлениях, легко предположить, что в данном случае чем их больше, тем лучше: ведь мы сможем принять верное решение, если у нас будет больше аргументов «за» и «против», сможем дать более точный прогноз курса ценных бумаг, если выявим больше соответствующих факторов, сможем написать более полный отчет, если потратим на его подготовку больше времени. За системой Франклина однозначно стоит это исходное условие. В этом смысле «алгебраический» подход Дарвина к браку, несмотря на свою очевидную эксцентричность, примечателен и может даже оказаться рациональным.

Однако, если бы Франклин или Дарвин жили в эпоху проведения научных исследований в области машинного обучения – науки об обучении компьютеров выносить правильные суждения на основе своего опыта, они бы увидели, как моральная алгебра сотрясается до основания. Вопрос о том, насколько усердно думать и как много факторов учитывать, лежит в самом сердце этой запутанной задачи, которую специалисты в области статистики и машинного обучения называют «переобучение». Решая эту задачу, понимаешь, что есть определенная мудрость в том, чтобы думать меньше. Знание о переобучении способно изменить то, как мы ходим на рынок, садимся за обеденный стол, идем в тренажерный зал… и к алтарю.

Аргумент против сложности

Что бы ты ни делала, я могу лучше; я что угодно могу сделать лучше, чем ты.

Фильм «Энни, возьми ружье»

Каждое решение – своего рода прогноз: понравится ли вам то, что вы раньше еще не пробовали; каково направление того или иного тренда; как наименее исхоженная (или наоборот) тропа может оказаться золотоносной. А любой прогноз, что особенно важно, подразумевает размышления о двух определенных моментах: что вы знаете и чего не знаете. То есть это попытка сформулировать теорию, которая сможет объяснить накопленный вами опыт и подскажет возможный исход той или иной ситуации. Хорошая теория, разумеется, справится с обеими задачами. Но тот факт, что любой прогноз, по сути, должен выполнять два предназначения, неизбежно создает определенное напряжение.

В качестве наглядной иллюстрации такого напряжения давайте рассмотрим информацию, которая могла бы быть полезной для Дарвина, – данные об уровне удовлетворенности людей браком в течение первых 10 лет из недавнего исследования, проведенного в Германии. Каждая точка в графике взята из самого исследования. Наша задача – вывести формулу для линии, которая соединит эти пункты между собой, и продлить ее в будущее, что позволит нам спрогнозировать события после десятилетней отметки.

Первая потенциальная формула для предсказания уровня удовлетворенности жизнью будет опираться на один фактор – время, прошедшее с момента свадьбы. Таким образом, мы получим прямолинейный график. В другом варианте можно использовать два фактора – время и квадратное время; в результате у нас будет парабола, которая отразит потенциально более сложные отношения между временем и счастьем. А если мы включим в формулу еще больше факторов (кубическое время и т. д.), появится еще больше точек перегиба кривой, линия станет еще более изгибистой. Имея формулу, учитывающую девять факторов, мы сможем отразить поистине сложные взаимоотношения.

Говоря языком математики, наша модель на основе двух факторов объединяет всю информацию, которая идет в однофакторную модель, имея при этом еще одно условие, которое она также может использовать. Аналогичным образом, модель на основе девяти факторов использует всю информацию двухфакторной модели, имея при этом возможность использовать множество дополнительных данных. По этой логике, кажется, что девятифакторная модель всегда должна помогать нам составить самый точный прогноз.

Но, оказывается, все не так просто.

Результаты применения этих моделей показаны выше. В однофакторной модели отсутствует множество точных точек данных, хотя основная тенденция отражена – постепенный спад после безмятежного медового месяца. Однако прямая линия зависимости предсказывает, что снижение уровня удовлетворенности жизнью будет продолжаться постоянно, приводя в итоге к бесконечному мучению. Что-то в этой траектории кажется не совсем верным. В противоположность этому выравнивание линии, предсказанное двухфакторной моделью, больше соответствует прогнозам психологов и экономистов о браке и счастье. (Кстати, они считают, что такое выравнивание означает лишь возврат к нормальному состоянию, то есть к базовому уровню удовлетворенности человека своей жизнью, а вовсе не неудовольствие от самого брака.)

Мораль такова: действительно, используя большее количество факторов в модели, мы по определению получим модель, наиболее соответствующую данным, которыми мы уже располагаем. Однако наиболее близкое соответствие необязательно означает, что мы получаем наиболее точный прогноз.

Допустим, что самая простейшая модель – например, прямая линия из нашей однофакторной формулы – не всегда может отразить реальную картину данных. Если настоящее положение дел похоже на кривую, то прямая линия никогда не сможет передать суть верно. С другой стороны, слишком сложная модель вроде нашей девятифакторной, как мы имели возможность наблюдать, становится чересчур чувствительной к каждому отдельному значению. В результате именно потому, что эта модель так четко настроена на определенный набор данных, ее решения крайне переменчивы. Если исследование повторить с разными людьми, одно– и двухфакторные модели останутся более-менее стабильными, внося незначительные изменения в общую картину, в то время как линия девятифакторной модели будет отчаянно кружить от одних результатов исследования к другим. Это явление эксперты в области статистики называют переподгонкой.

Поэтому одним из золотых правил машинного обучения, в сущности, является тот факт, что использовать более сложную модель, которая учитывает большое количество факторов, – не всегда лучшее решение. И дело не в том, что дополнительные факторы могут давать различные результаты: близость к статистическим данным не оправдывает дополнительной вычислительной сложности. С такими моделями наши прогнозы могут стать гораздо менее надежными.

Поклонение данным

Если бы мы имели огромный объем данных, полученных на основании одной идеально подготовленной репрезентативной выборки (безошибочно точной и отражающей конкретно то, что мы пытаемся оценить), лучшим подходом было бы использование наиболее сложной модели. Но если мы попытаемся максимально подстроить нашу модель под те данные при условии, что какой-либо один фактор будет варьироваться, то мы рискуем получить эффект переподгонки.

Другими словами, угроза переподгонки возникает каждый раз, когда мы имеем дело с изменяющимися данными или ошибками в измерениях, а это означает – постоянно. Ошибки могут быть допущены при сборе информации или при передаче данных. Иногда изучаемым феноменам вроде человеческого счастья трудно даже дать определение, не то что измерить их. Благодаря своей гибкости наиболее сложные из моделей могут подстроиться под любую структуру данных, но этот факт также означает, что эти модели смогут подстроиться и под те структуры, которые представляют собой лишь образ данных, состоящий из «помех» и ошибок.

На протяжении всей истории религиозные тексты предостерегали своих последователей против идолопоклонничества – поклонения статуям, изображениям, мощам и другим материальным артефактам вместо тех божественных сущностей, которых олицетворяют те артефакты. Например, первая заповедь предупреждает против поклонения «любому изображению или подобию того, что на небе вверху». А в Книге Царств бронзовая змея, сделанная по велению Бога, становится объектом молитв и курения фимиама вместо самого Бога. (И Бог не был доволен.) В глобальном смысле переподгонка – это своего рода поклонение данным, последствие концентрации на том, что мы можем измерить, а не на том, что действительно имеет значение.

Разница между имеющимися у нас данными и прогнозами, которые мы хотим получить, имеет место практически всегда. Когда мы принимаем важное решение, мы можем лишь гадать, что придется нам по нраву позже, рассматривая те факторы, которые важны для нас сейчас. (Как писал Дэниэл Гилберт из Гарварда, мы в будущем часто «платим большие деньги, чтобы свести татуировки, сделанные за не меньшие деньги».) Подготавливая финансовый прогноз, мы можем рассматривать только те факторы, которые оказывали влияние на цену акций в прошлом, но не на то, что может повлиять на нее в будущем. Даже в наших будничных делах прослеживается та же тенденция: отправляя электронное письмо, мы пробегаем глазами по тексту, пытаясь предугадать реакцию получателя. Так же как и в опросах общественного мнения, данные в реальной жизни всегда содержат определенные помехи и колебания.

Впоследствии рассмотрение большего количества факторов и трата больших усилий на то, чтобы переложить их в модель, может привести к тому, что мы сделаем выбор в пользу неверного фактора, предлагая молиться бронзовой змее данных, а не той великой силе, которая стоит за ними.

Переподгонка повсюду

Узнав о существовании переподгонки, вы видите ее проявления повсюду.

Переподгонка, например, объясняет иронию наших рецепторов. Как так получается, что та еда, которая нравится нам на вкус больше всего, нередко вредна для нашего здоровья, в то время как основная и единственная функция наших вкусовых рецепторов состоит в том, чтобы предотвратить потребление вредной пищи?

Ответ прост: вкус – это показатель здоровья нашего организма. Жиры, сахар и соль – важные питательные вещества, и пару сотен тысяч лет назад содержащая их пища составляла почти весь дневной рацион.

Однако возможность модифицировать пищу уничтожила эту взаимосвязь. Сейчас мы можем добавлять жиры и сахар сверх полезного для нас количества и употреблять исключительно эти продукты, а не растения, зерна и мясо, исторически составлявшие рацион человека. Другими словами, мы можем переподогнать вкус. Чем более искусно мы видоизменяем свою пищу (и чем больше наш образ жизни отличается от того, как жили наши предки), тем более несовершенной становится система показателей нашего вкуса. Свобода выбора, таким образом, превращается в настоящее проклятие, благодаря которому мы можем получить в точности все, что пожелаем, даже когда это идет нам во вред.

Будьте осторожны: когда вы идете в спортзал, чтобы сбросить лишние килограммы, полученные от употребления того же сахара, вы тоже рискуете испытать эффект переподгонки. Определенные видимые признаки стройности – скудная жировая ткань и большая мышечная масса, например, – нетрудно измерить, и их соотносят, скажем, с уменьшением риска сердечных и других заболеваний. Но при этом такие признаки – отнюдь не идеальный показатель. Переподгонка в этом случае – например, если вы сидите на экстремальной диете для снижения веса или принимаете стероиды для наращивания мышечной массы – может создать картину хорошего здоровья, однако это будет лишь картина.

Переподгонка проявляется и в спорте. Например, Том со школьных лет время от времени занимался фехтованием. Изначальная цель фехтования состояла в том, чтобы научить человека обороняться на дуэли. И оружие, которое применяется в современном фехтовании, похоже на то, что использовалось раньше для подобных тренировок. (В частности, это касается шпаги, применявшейся во время формальных дуэлей меньше полувека назад.) Однако с изобретением электронного устройства для подсчета очков – кнопки на кончике шпаги, которая фиксирует укол, – изменился и сам спорт. Техники, которые вряд ли были бы вам полезны на серьезной дуэли, превратились в важнейшие навыки на соревнованиях. Сегодня фехтовальщики используют гибкие шпаги, которые позволяют им «зажечь» кнопку, едва касаясь противника. В результате кажется, будто они просто тыкают друг в друга тонким металлическим прутом, а не наносят удары. В качестве спортивной дисциплины это однозначно увлекательное занятие и яркое зрелище, но по мере того, как спортсмены переподгоняют свою тактику с учетом особенностей ведения счета, фехтование становится все менее полезным с точки зрения реальных навыков владения холодным оружием.

Однако, наверное, нет другой области, где влияние переподгонки настолько же ощутимо и проблематично, как в мире бизнеса. Как писал Стив Джобс, «системы стимулирования работают. Поэтому надо быть очень осторожным, решая, к чему стимулировать людей, поскольку различные системы стимулирования приводят к различным последствиям, которые вы не всегда можете предвидеть». Сэм Альтман, президент стартап-инкубатора Y Combinator, по-своему повторяет слова Джобса: «Это действительно так: компания построит все, что ее генеральный директор решит измерить».

В сущности, невероятно трудно придумать какое-либо мотивирующее средство или измерение, которое не приводило бы к появлению ошибок и неточностей. В 1950-е годы профессор Корнеллского университета В. Ф. Риджвей перечислил массу таких «дисфункциональных последствий измерения характеристик». В рекрутинговой компании сотрудников оценивали по количеству проведенных ими собеседований, что мотивировало их как можно быстрее проводить встречи, не тратя время на то, чтобы действительно помочь клиентам найти работу. В федеральных правоохранительных органах, где была установлена месячная квота по количеству дел, в конце месяца следователи выбирали наиболее простые дела вместо тех, что требовали оперативного решения. На заводе при введении мер по стимулированию выработки мастера стали пренебрегать выполнением работ по обслуживанию и ремонту техники, что приводило к катастрофическим последствиям на производстве.

Такие проблемы нельзя игнорировать и расценивать лишь как неудачную попытку реализации управленческих задач. Скорее, наоборот: они доказывают факт грубой оптимизации неверного фактора.

Переход на аналитику в режиме реального времени, который произошел в ХХI веке, еще больше усугубил опасности, кроющиеся в системах измерений. Авинаш Каушик, евангелист в области цифрового маркетинга в Google, предупреждает, что попытка заставить пользователей увидеть как можно больше рекламы логично приводит к загромождению сайта рекламными объявлениями: «Когда вам платят за количество контактов с рекламным объявлением, ваша мотивация заключается в том, чтобы попытаться показать как можно больше объявлений на каждой странице и удостовериться, что посетитель видит наибольшее возможное количество страниц на сайте… Такое стимулирование смещает фокус с фигуры первостепенной важности – вашего клиента – на второстепенную фигуру – вашего рекламщика». Интернет-сайт может принести несколько бóльшую прибыль в краткосрочной перспективе, однако переполненные объявлениями статьи, медленно загружающиеся слайд-шоу с огромным количеством страниц и всплывающие заголовки сенсационных новостей в долгосрочной перспективе лишь отпугнут от вас читателей. Вывод Каушика таков: «Друзья не позволят своим друзьям измерять количество просмотров страницы. Никогда».

В некоторых случаях разница между моделью и реальным миром становится действительно вопросом жизни и смерти. В военных и правоохранительных органах, например, тренировка памяти с помощью повторения информации считается ключевым методом для развития навыков действий на линии огня.

Цель – отработать определенные передвижения и тактики до автоматизма. Но, когда на сцену выходит переподгонка, последствия могут быть катастрофическими. Были случаи, когда полицейские офицеры, попав в перестрелку, тратили время на то, чтобы положить отработанные гильзы в карман (таковы правила поведения на стрельбище). Как пишет бывший десантник, а ныне профессор психологии в Военной академии США Дейв Гроссман, «как только дым после стрельбы рассеивался, офицеры в недоумении обнаруживали в карманах пустые гильзы, не помня, как они там оказались. В нескольких случаях убитые полицейские были обнаружены с гильзами в руках, они явно пытались перед смертью выполнить заученную административную формальность». Аналогично ФБР пришлось изменить регламент тренировок, после которых агенты рефлекторно делали два выстрела и затем убирали пистолет в кобуру вне зависимости от того, была ли повержена мишень или угроза все еще существовала. Такие ошибки в военной среде называют шрамами тренировок, и они, по сути, отражают возможность существования переподгонки в подготовке и обучении. В одной особенно драматичной ситуации офицер инстинктивно выхватил оружие из рук своего противника и затем автоматически передал его обратно – точно так же, как он делал на многочисленных занятиях с инструктором.

Выявление переподгонки: перекрестная проверка

Поскольку переподгонка изначально представляет собой теорию, которая идеально подходит под любой тип и категорию данных, может показаться, что выявить ее предательски сложно. Как мы можем выявить разницу между истинно хорошей моделью и той, которая подверглась действию переподгонки? В сфере образования как отличить класс учеников, владеющих знаниями по предмету на высоком уровне, от класса, в котором ученики всего лишь «подготовлены, чтобы сдать выпускные экзамены»? В мире бизнеса как отличить по-настоящему «звездного» сотрудника от того, кто просто умело подгоняет свою деятельность под ключевые показатели деятельности компании или видение руководителя?

Различить эти сценарии на самом деле непросто, но в этом нет ничего невозможного. Исследования в области машинного обучения помогли разработать несколько четких стратегий для выявления случаев переподгонки, и одна из самых важных – это перекрестная проверка.

Говоря простым языком, перекрестная проверка означает оценку не только того, насколько хорошо модель подходит для заданной информации, но и того, насколько успешно она может обобщить те данные, которыми не располагает. Парадоксально, но это может побудить нас использовать меньше данных. В случае с решением в пользу или против брака мы могли бы убрать два любых пункта и подстроить наши модели лишь под оставшиеся восемь. Тогда мы могли бы взять эти два пункта и использовать их, чтобы измерить, как хорошо наши функции обобщают информацию за рамками восьми «тренировочных» пунктов, которые были им заданы. Два «отложенных» пункта служили бы нам тревожным звоночком: если сложная модель попадает точно в цель, используя восемь тренировочных пунктов, но при этом ей все же отчаянно не хватает двух тестовых факторов, то велик шанс, что сюда вмешалась переподгонка.

Помимо этого, можно протестировать модель на данных, полученных полностью из какой-либо другой системы оценки. Как мы видели, использование систем показателей – например, вкуса как показателя питательности – тоже может привести к переподгонке. В этих случаях нам необходимо провести перекрестную проверку первоначального измерения, которое мы использовали, относительно других возможных измерений.

Например, в школах использование стандартизированных тестов несет массу преимуществ, включая экономию с точки зрения шкалы оценок: их можно оценивать тысячами, просто и быстро. Тем не менее наряду с такими тестами школы могли бы произвольно оценивать студентов небольшими группами, используя другой метод оценки, – возможно, написание эссе или устный экзамен. (Поскольку таким образом можно проверить знания лишь нескольких студентов за раз, иметь этот способ оценки в качестве запасного не представляется необходимым.) Стандартизированные тесты позволят получить незамедлительный результат оценки знаний студентов (вы можете устраивать короткий экзамен на компьютере каждую неделю и отслеживать успехи класса практически в режиме реального времени, например), в то время как вторичные точки данных послужат для перекрестной проверки. Вы сможете удостовериться, что студенты действительно овладели теми знаниями, которые должен был оценить стандартизированный тест, а не просто научились лучше решать тестовые задания. Если оценки по стандартизированным тестам улучшились, а «нестандартизированная» активность движется в противоположном направлении, это должно послужить предупредительным сигналом для администрации учебного заведения: знания и навыки учеников начали превосходить механику самого теста.

Перекрестная проверка также предлагает отличное решение для сотрудников военных и правоохранительных органов, желающих выработать правильные рефлексы, которые не помешают им в реальной работе. Таким же образом, как эссе или письменный экзамен могут перепроверить результаты по стандартизированным тестам, так же может применяться и внезапная новая «перекрестная тренировка» для оценки времени реагирования и точности стрельбы в рамках незнакомого задания. Но если показатели перекрестной тренировки низки, то это послужит сигналом о необходимости изменения системы тренировок. И, хотя никакие тренировки не могут на самом деле подготовить нас к настоящему сражению, подобные упражнения могут хотя бы предупредить образование шрамов тренировок.

Как бороться с переподгонкой: санкции на сложность

Если вы не можете объяснить доступно, значит, вы сами недостаточно хорошо это понимаете.

Аноним

Мы видели ряд случаев, когда переподгонка может вступить в игру, и рассмотрели некоторые методы ее выявления и измерения силы ее действия. Но что мы можем сделать, чтобы смягчить ее эффект?

С точки зрения статистики переподгонка – симптом чрезмерной чувствительности к тем реальным данным, которые мы видели. В этом случае есть простое и ясное решение: мы должны придерживаться баланса между нашим стремлением к идеальной подгонке и сложностью используемых нами для этого моделей.

Один из принципов, помогающих выбрать среди нескольких альтернативных моделей, – принцип бритвы Оккама. Он гласит: при прочих равных условиях самая простая из возможных гипотез с большой долей вероятности является единственно правильной. Разумеется, все условия редко бывают абсолютно равными, поэтому не сразу становится понятно, как применить подобный принцип в математическом контексте. Пытаясь решить эту задачу, в 60-е годы прошлого века русский математик Андрей Тихонов предложил свой вариант ответа: нужно ввести в ваши расчеты дополнительное условие, которое отсекает более сложные решения.

Если мы назначим такое своеобразное наказание за сложность, тогда сложным моделям придется не просто хорошо потрудиться, а показать значительно более высокие результаты при разъяснении данных, чтобы оправдать свое устройство. Специалисты в области компьютерных технологий называют этот принцип – в основе которого лежит применение определенных ограничений сложности моделей – регуляризацией.

Так как же выглядят эти ограничения сложности? Один из таких алгоритмов, разработанный в 1996 году специалистом по биостатистике Робертом Тибширани, называется LASSO[24]. Он использует в качестве санкций общую сумму различных факторов, задействованных в модели[25].

Применяя такую нисходящую нагрузку на значение факторов, алгоритм Лассо позволяет свести их по возможности к нулю. Лишь те факторы, которые имеют большое влияние на итоговый результат, остаются в формуле. Таким образом, девятифакторная модель, в которой проявляется переподгонка, будет трансформирована в более простую логичную формулу с меньшим количеством ключевых факторов.

Техники, подобные алгоритму Лассо, сегодня широко распространены в области машинного обучения, однако принцип наложения санкций на сложность встречается и в природе. Живые организмы почти автоматически тяготеют к простоте благодаря тому, что их жизненные ресурсы – время, память, энергия и внимание – ограничены. Бремя метаболизма, например, действует как тормоз для сложностей жизнедеятельности организмов, вводя калории в качестве санкций для сложноорганизованного механизма. Тот факт, что человеческий мозг сжигает около пятой части ежедневной нормы потребления калорий, служит доказательством преимуществ эволюции, которые нам подарили интеллектуальные способности: в конце концов, работа мозга должна более чем оправдывать огромный счет за топливо. С другой стороны, можно сделать вывод, что значительно более сложно устроенный мозг не приносил бы адекватные дивиденды с эволюционной точки зрения. Мы сообразительны ровно настолько, насколько это необходимо, но не более.

Считается, что тот же процесс играет некоторую роль и на нейронном уровне. В компьютерной науке модели программного обеспечения, известные как искусственные нейронные сети, работа которых базируется на основных принципах организации человеческого мозга, могут обучаться работе с функциями произвольной сложности – еще более гибкими, чем наша девятифакторная модель. Но как раз по этой причине нейронные сети чрезвычайно восприимчивы и подвержены эффекту переподгонки.

Настоящие, биологические нейронные сети уклоняются от этой проблемы, поскольку им необходимо отработать затраты, связанные с их содержанием. Нейробиологи предположили, что, возможно, мозг пытается максимально сократить количество нейронов, которые загораются в тот или иной момент, что позволяет нам провести параллель с нисходящим давлением на сложность в алгоритме лассо.

Язык формирует другой естественный принцип LASSO: сложность карается трудозатратами на ведение долгого разговора и обременением внимания нашего слушателя. В конечном счете бизнес-план сокращается до краткой презентации. А житейский совет становится народной мудростью только в том случае, если он достаточно лаконичен и легко запоминается.

И все, что необходимо запомнить, неизбежно пройдет через лассо памяти.

Преимущества эвристики

В 1990 году экономист Гарри Марковиц получил Нобелевскую премию за вклад в развитие экономики в рамках развития современной портфельной теории: его прогрессивная «оптимизация портфеля со средним отклонением» продемонстрировала, как инвестор может оптимально распределить свои средства и активы для получения максимальной прибыли при заданном уровне риска. Таким образом, похоже, Марковиц был единственным человеком, идеально подготовленным к решению задачи по инвестированию своих пенсионных накоплений. Что же он решил предпринять, когда настало время?

Я должен был рассчитать исторические ковариации классов активов и провести эффективное разделение. Вместо этого я представил свое горе, если бы рынок ценных бумаг вырос, а я не участвовал бы в этом, или если бы акции упали и вместе с ними исчезли бы все мои сбережения. Я был намерен минимизировать свои будущие сожаления. Поэтому я разделил сбережения и вложил их в равных долях в облигации и акции.

Но почему же он так поступил? История лауреата Нобелевской премии и его инвестиционной стратегии могла стать показательным примером человеческой иррациональности: при столкновении со сложностями реальной жизни он отверг рациональную модель и последовал простой эвристике. Но именно из-за сложностей реальной жизни простая эвристика, по сути, может оказаться рациональным решением.

Когда речь идет об управлении портфелем, оказывается, что за исключением тех случаев, когда вы абсолютно уверены в имеющейся у вас информации о рынках, вам лучше вовсе игнорировать любые сведения по этому вопросу. Применение схемы оптимальной структуры портфеля требует тщательной оценки статистических свойств различных капиталовложений. Каждая ошибка в оценке очень сильно меняет итоговый вариант размещения активов, что потенциально повышает уровень риска. Напротив, распределение денежных средств в равных долях между акциями и облигациями вовсе не зависит от тех данных, которые вы изучили. Эта стратегия даже не пытается подстроиться под исторические показатели этих категорий капиталовложений. Соответственно, переподгонка здесь невозможна.

Разумеется, использование метода распределения 50/50 необязательно является золотой серединой в сложной ситуации, но нам есть что сказать в его пользу. Если вам довелось узнать ожидаемое среднее отклонение и ожидаемое отклонение ряда видов капиталовложений, тогда вам лучше использовать оптимизацию портфеля со средним отклонением (этот оптимальный алгоритм является таковым неспроста). Но когда шансы оценить их все максимально четко невысоки, а вес, который модель переносит на эти ненадежные качества, велик, тогда в процессе принятия решения должен прозвучать сигнал – «пришло время регуляризации».

Вдохновленные примером управления пенсионными сбережениями Марковица и другими подобными, психологи Герд Гигеренцер и Генри Брайтон утверждали, что способы упрощения принятия решений, которые люди используют в реальной жизни, во многих случаях хороши. «Вопреки широко распространенному мнению, что сокращение времени на обработку или подготовку негативно сказывается на точности, – пишут они, – изучение эвристики показывает, что чем меньше информации, вычислений и времени, тем, в сущности, выше уровень точности». Эвристика, которая выступает за простые ответы – с меньшим количеством факторов или вычислений, – предлагает нам попробовать эффект принципа «чем меньше, тем больше».

Тем не менее введение санкций за итоговую сложность модели – не единственный способ смягчить действие переподгонки. Вы также можете подвести модель к большей упрощенности, контролируя скорость ее адаптации к поступающей информации. Это превращает изучение переподгонки в удивительное руководство к нашей истории – как общества и как вида.

Вес истории

Все, что съела живая крыса, несомненно, ее не убило.

Сэмюэл Ревуски и Эрвин Бедарф

Рынок соевого молока в США с середины 1990-х годов к 2013 году вырос более чем в четыре раза. К концу 2013 года, согласно заголовкам новостей, соевое молоко уже отошло в прошлое, заняв второе место после миндального. Как рассказал специалист в области питания Ларри Финкель изданию Bloomberg Businessweek, «сейчас стали популярны орехи. Соя вышла из моды в области здорового питания».

Компания Silk, получившая известность благодаря популяризации соевого молока, сообщила в конце 2013 года, что количество производимой компанией продукции на миндальном молоке выросло более чем на 50 % только за последний квартал. Тем временем в других новостях по теме ведущий бренд по производству кокосовой воды Vita Coco заявил в 2014 году, что продажи их продукции удвоились с 2011 года и выросли в 300 раз с 2004 года. Как писало издание The New York Times, «кокосовое молоко перешло из категории невидимок в средство первой необходимости». Тем временем рынок капусты вырос на 40 % только за 2013 год. Годом раньше крупнейшим закупщиком капусты была Pizza Hut, которая стала класть капусту в салат-бары для украшения. Некоторые из наиболее фундаментальных сторон жизни человека, как, например, вопрос того, чем мы кормим наш организм, оказываются под любопытным влиянием недолговечных поветрий. В основе столь стремительного покорения мира краткосрочными тенденциями лежит, в частности, скорость, с которой наша культура может меняться. Сегодня информация распространяется в обществе быстрее, чем когда-либо, а глобальные каналы поставок позволяют покупателям быстро менять свои потребительские привычки (и маркетинг подталкивает их к этому). Если какое-либо конкретное исследование докажет пользу, скажем, бадьяна, эта информация облетит всю блогосферу за неделю, появится на телевидении еще через неделю, и уже через полгода практически в каждом супермаркете будет лежать бадьян, а книжные полки будут ломиться от сборников рецептов с использованием бадьяна. Эта поразительная скорость – и благословение, и проклятье одновременно.

Напротив, если посмотреть на то, как развиваются все организмы, включая людей, нельзя не отметить, что перемены в этом процессе происходят очень медленно. Это означает, что свойства современных организмов сформированы не только текущим окружением, но и их историей. Например, удивительное переплетенное строение нашей нервной системы (левая сторона тела контролируется правым полушарием мозга и наоборот) отражает эволюционный характер развития позвоночных. Этот феномен, который носит название «перекрещивание», по мнению ученых, появился в той фазе эволюции, когда тела ранних особей позвоночных могли поворачиваться на 180 градусов относительно головы. В то время как нервные стволы беспозвоночных, таких как лобстеры или черви, проходят на стороне живота особи, у позвоночных нервные стволы расположены вдоль позвоночника.

Еще один пример – человеческое ухо. С точки зрения функциональности это система для перевода звуковых волн в электрические сигналы за счет амплификации через три кости: молоточек, наковальню и стремечко. Эта система амплификации поражает воображение, однако особенности ее работы обусловлены рядом исторических ограничений. У рептилий в ухе расположена лишь одна косточка, а другие находятся в челюстной конечности, которая у млекопитающих отсутствует. Эти челюстные кости, очевидно, были преобразованы в ухо у млекопитающих. Таким образом, точная форма и конфигурация анатомии нашего уха отражают нашу эволюционную историю.

Концепция переподгонки позволяет нам видеть плюсы в таком багаже эволюции. Хотя переплетенные нервные ткани и видоизмененные челюстные кости могут показаться не самыми оптимальными решениями, мы необязательно хотим, чтобы эволюция полностью оптимизировала любой организм к каждому передвижению в рамках его экологической ниши (по крайней мере, нам следует понимать, что подобное явление сделало бы нас крайне восприимчивыми к последующим экологическим изменениям).

Необходимость использовать имеющиеся материалы, с другой стороны, накладывает своего рода полезное ограничение. Введение новых значительных изменений в строении организмов существенно осложняется. Соответственно, остается меньше возможностей для переподгонки. Прошлые ограничения делают нас как вид менее приспособленными к настоящему, с которым мы знакомы, но при этом поддерживают нашу жизнестойкость для будущего, которого мы еще не знаем.

Такое понимание может помочь нам в противостоянии краткосрочным поветриям человеческого общества. Когда речь заходит о культуре, традиции играют роль эволюционных ограничителей. Немного консерватизма и определенный уклон в пользу истории могут уберечь нас от цикла бумов и спадов общественных тенденций. Это не значит, что мы должны игнорировать наиболее свежую информацию. Вы можете держать нос по ветру, но необязательно подчинять этому весь свой жизненный уклад.

В области машинного обучения преимущества медленных перемещений наиболее очевидно проявляются в технике регуляризации, которая получила название ранняя остановка. Когда мы обсуждали данные исследования удовлетворенности браком в Германии, мы сразу же перешли к изучению наиболее подходящих одно-, двух– и девятифакторной моделей. Во многих ситуациях тем не менее настройка параметров для нахождения модели, наиболее подходящей для имеющейся информации, сама по себе становится процессом. Что же произойдет, если мы остановим этот процесс раньше и просто не дадим модели времени, чтобы стать слишком сложной? Опять же, то, что на первый взгляд может показаться неточным и невыверенным, наоборот, становится самостоятельной важной стратегией.

Многие прогнозирующие алгоритмы, к примеру, начинаются с поиска наиболее важного фактора, а не с перехода на многофакторную модель. Лишь после нахождения этого первого фактора они приступают к поискам второго важного фактора, чтобы добавить его в модель, затем ищут следующий и т. д. Их модели можно легко оставить простыми, прекратив этот процесс прежде, чем в игру вступит переподгонка. Похожий подход к прогнозированию рассматривает одну точку данных за раз, при этом модель настроена таким образом, что отчет по каждой новой точке выдается до добавления новых точек данных. В этом случае сложность модели также возрастает постепенно, поэтому избежать переподгонки поможет только своевременная остановка этого процесса.

Такая установка – когда больший временной отрезок прибавляет сложности – характеризует множество стремлений человека. Отводя больше времени на размышление, вы вовсе не гарантируете себе принятие наиболее правильного решения. Однако вы гарантированно будете рассматривать большее количество факторов, больше предположений, больше аргументов «за» и «против» и рискуете столкнуться с переподгонкой.

У Тома был именно такой опыт. Во время своего первого семестра в качестве преподавателя университета он тратил много времени на совершенствование своих лекций – более 10 часов подготовки к каждому часу занятий. Во втором семестре, преподавая у другой группы, он уже не мог отводить столько времени на подготовку и волновался, что дело кончится полным провалом. Однако случилась странная вещь: студентам понравились эти занятия. В сущности, они понравились им гораздо больше, чем лекции первого семестра. Как выяснилось, дело было в том, что Том использовал свой собственный взгляд и суждения в качестве показателей суждений своих студентов. Эта система показателей работала достаточно хорошо в качестве приблизительной оценки, но она не была достойна переподгонки, что объясняло, почему дополнительные часы, потраченные на кропотливое совершенствование материалов, оказались контрпродуктивными.

Эффективность регуляризации во всех видах машинного обучения предполагает, что мы можем принимать более удачные решения, намеренно меньше размышляя и действуя. Факторы, которые в первую очередь приходят нам на ум, вероятнее всего, окажутся наиболее важными, а продолжение размышлений над задачей сверх определенного лимита станет не только тратой времени и сил, но и приведет нас к худшим решениям. Принцип ранней остановки предоставляет обоснование в пользу разумного аргумента против логических размышлений, размышляющего человека против мысли. Однако, чтобы обратить эту мысль в практическую рекомендацию, нам необходимо ответить на еще один вопрос: когда нам необходимо прекратить думать?

Когда нужно думать меньше

Как и во всех прочих вопросах, связанных с переподгонкой, ответ на вопрос, когда остановиться, зависит от разницы между тем, что вы можете измерить, и тем, что действительно имеет значение. Если у вас есть все факты, они не содержат ошибок или неточностей и вы можете непосредственно оценить все, что важно для вас, тогда не останавливайтесь раньше времени. Думайте долго и упорно: сложность и усилия в этом случае обоснованны.

Но такие случаи – большая редкость. В условиях высокого уровня неточности и ограниченного количества данных чем раньше вы остановитесь, тем лучше. Если у вас нет четкого понимания, как и кем ваша работа будет оценена, не стоит тратить дополнительное время на ее совершенствование и приводить ее в соответствие с вашим (или чужим) идиосинкразическим пониманием идеальности. Чем больше неточностей и чем больше разница между тем, что вы можете измерить, и тем, что имеет значение, тем больше вы должны остерегаться переподгонки – то есть тем большее предпочтение вы должны отдавать простоте и, соответственно, тем раньше вы должны остановиться.

Когда вы блуждаете в потемках, самым лучшим планом всегда будет наипростейший. Если ваши ожидания неопределенны, а в информации содержится слишком много «помех», лучшим решением будет рисовать широкой кистью и мыслить крупными мазками. Иногда в буквальном смысле.

Как объясняют предприниматели Джейсон Фрайд и Дэвид Хайнемайер Хенссон[26], чем глобальней мозговой штурм, тем более толстой ручкой необходимо писать:

Когда мы приступаем к разработке чего-либо, мы записываем идеи толстым маркером вместо шариковой ручки. Зачем? Написанное ручкой выглядит слишком четко, будто в высоком разрешении. Это побуждает вас больше волноваться о тех вещах, о которых пока не стоит думать. В результате вы концентрируетесь на тех вещах, которые не должны быть в фокусе ваших мыслей. Маркер не позволяет вам уходить так глубоко в ненужные размышления. Вы можете только изобразить простые линии или нарисовать таблицу. И это хорошо. Общая картина – это все, о чем вам следует волноваться в самом начале.

Как пишет профессор Университета Макгилла Генри Минцберг, «что стало бы, если бы мы начали с исходного условия, что мы не можем измерить то, что важно, и шли бы от этого? Тогда вместо измерения нам пришлось бы использовать кое-что пострашнее – суждение».

В основе ранней остановки лежит тот факт, что иногда главное вовсе не в выборе между первым импульсом и рациональностью. Следование первому инстинктивному побуждению может стать рациональным решением. Чем сложнее, нестабильнее и неопределеннее решение, тем более рационален подход.

Возвращаясь к Дарвину, необходимо отметить, что его дилемма о вступлении в брак могла, вероятно, решиться на основании первых нескольких аргументов «за» и «против». Последующие аргументы добавлялись со временем и вследствие беспокойства из-за необходимости принять решение и вовсе не обязательно помогали разрешить задачу (а по всей вероятности, только затрудняли процесс). Кажется, что единственное, что помогло ему принять решение, – мысль о том, что «невыносимо провести всю жизнь как рабочая пчелка, только работая и работая и больше ничего».

Возможность иметь детей и дружескую компанию – первые упомянутые им пункты – как раз и склонили его окончательно в пользу брака. Его мысли о покупке книг были только отвлекающим фактором. Прежде чем мы изобразим Дарвина закоренелым занудой, стоит еще раз взглянуть на страницу из его дневника. Посмотрев на фотографию, можно обнаружить нечто поразительное. Дарвин вовсе не походил на Франклина, который на протяжении многих дней пополнял свой список разрозненными доводами. Несмотря на серьезность, с которой он подошел к принятию такого судьбоносного решения, Дарвин сделал выбор, как только его заметки подобрались к концу страницы дневника. Он регуляризировал в пределах одной страницы. Это напоминает одновременно и принцип ранней остановки, и алгоритм лассо: пока страница не заполнена до конца, решение принять невозможно.

Приняв решение жениться, Дарвин сразу же перешел к размышлениям о сроках реализации этого плана. «Когда? Рано или поздно», – написал он над новым списком «за» и «против» его желания совершить путешествие на воздушном шаре и/или поездку в Уэльс, обдумывая все факторы от счастья до расходов и неудобств. Однако в конце страницы он определился и написал: «Не важно, доверимся случаю». В результате через несколько месяцев он сделал предложение Эмме Веджвуд и начал счастливую семейную жизнь.

8. Релаксация

Пусть катится

В 2010 году Меган Беллоуз днем работала над докторской диссертацией по химической инженерии в Принстоне, а ночью занималась подготовкой к собственной свадьбе. Ее исследование было посвящено нахождению такого места для размещения аминокислот в белковой цепи, чтобы получилась молекула с определенными характеристиками. («Если вы максимально увеличите энергию связи между двумя белками, тогда вы сможете успешно создать пептидный ингибитор некоторой биологической функции и воспрепятствовать развитию болезни».) В части предсвадебной подготовки она столкнулась с проблемой рассадки гостей.

Среди приглашенных была группа из девяти ее друзей по колледжу, и Беллоуз мучительно пыталась придумать, кого можно добавить в эту воссоединившуюся компанию, чтобы укомплектовать стол на десять человек. В остальном ситуация была еще хуже. Она насчитала одиннадцать близких родственников. Кого пришлось бы выпихнуть из компании, собравшейся за почетным родительским столом, и как все объяснить? А как поступить с соседями со времен детства, няней или родителями коллег по работе, которые и вовсе никого не знают на свадьбе?

Проблема была такой же трудной, как и задача с белковой цепью. Затем ее осенило. Это же была та же задача, над которой она работала в лаборатории. Однажды вечером, рассматривая свою таблицу с рассадкой, «я поняла, что ситуация с рассадкой гостей точь-в-точь напоминала мое исследование об аминокислотах и белках». Беллоуз попросила жениха принести ей лист бумаги и начала записывать уравнения. Аминокислоты стали гостями, энергии связки – отношениями между гостями, а взаимодействие так называемых соседних элементов молекул превратились в соседское взаимодействие. Теперь она могла применить алгоритм из своего исследования в организации собственной свадьбы.

Беллоуз разработала способ количественного выражения силы взаимоотношений между гостями. Если двое не знали друг друга, такие отношения приравнивались к 0, если знали – то к 1, если же они приходили вместе или были парой – то к 50. (Сестра невесты получила возможность поставить 10 тем людям, с которыми она хотела сидеть за одним столом.) Затем Беллоуз установила несколько ограничений: максимальное количество гостей за столом и минимальное количество баллов, необходимое для каждого из столов, чтобы никто не оказался в неудобном положении, чувствуя себя лишним среди девяти незнакомцев. Она также систематизировала цель программы: максимально увеличить баллы взаимоотношений между гостями и их соседями по столу.

На свадьбу были приглашены 107 человек, которые должны были занять свое место за одиннадцатью столами, рассчитанными на десять персон. Это значит, что существует 11 в 107-й степени вариантов рассадки: это 112-значное число, более 200 млрд гуголов, число, затмевающее почти 80-значное количество атомов в обозримой Вселенной. Беллоуз предоставила решение этого вопроса своему лабораторному компьютеру в субботу вечером и оставила его трудиться над «перемешиванием» гостей и вариантов. Когда она вернулась к компьютеру в понедельник утром, он все еще работал над задачей; она остановила выполнение этого задания и вернула его к более привычной работе – над строением белка.

Даже мощный лабораторный компьютер и 36 часов обработки данных не позволили программе оценить и крошечной части возможных вариантов рассадки. Шансы на нахождение одного-единственного оптимального решения, которое получило бы максимальное количество очков, так и не появились. И тем не менее Беллоуз была довольна результатами компьютера. «Он выявил отношения, о которых я и забыла», – сказала Беллоуз, предложив удивительные безусловные возможности, которые даже в голову не пришли бы живым организаторам. Например, компьютер предложил убрать родителей из-за семейного стола и посадить их вместе со старыми друзьями, с которыми они давно не виделись. Рекомендация была просто находкой, по мнению всех сторон, хотя мать невесты все же не удержалась от нескольких манипуляций в ручном режиме.

Тот факт, что вся компьютерная мощь Принстонского университета не смогла найти идеальный план рассадки, может показаться удивительным. В большинстве областей, которые мы ранее обсуждали, четкие алгоритмы могли гарантировать оптимальные решения задач. Но, согласно открытиям специалистов в области информатики, сделанным за несколько последних десятилетий, существуют целые классы задач, в которых найти идеальное решение невозможно вне зависимости от скорости работы наших компьютеров или мастерства программирования. По сути, никто не понимает так отчетливо, как программисты, что перед лицом нерешаемой на первый взгляд задачи не стоит подвергать себя бесконечным мукам поиска решения или же сразу сдаваться, но – как мы видим – стоит попробовать третий вариант.

Сложность оптимизации

Прежде чем вести страну через Гражданскую войну, до составления Манифеста об освобождении рабов и произнесения Геттисбергской речи, Авраам Линкольн работал адвокатом прерии в Спрингфилде, штат Иллинойс, и путешествовал по Восьмому судебному округу дважды в год на протяжении 16 лет. Служить окружным юристом действительно означало делать своеобразный круг – колесить по городам четырнадцати разных округов, проводя судебные разбирательства. Спланировать такую поездку представляло собой настоящую задачу: как посетить все нужные города, проехав как можно меньшее расстояние и не заезжая в один и тот же город дважды.

Это пример известной математикам и программистам задачи по оптимизации с заданными ограничениями: как найти единственный лучший вариант с рядом переменных при определенных заданных правилах и системе ведения счета. По сути, это самая известная задача по оптимизации из всех. Если бы ее изучали в XIX веке, она наверняка получила бы название «задача адвоката прерий», а если бы с ней впервые столкнулись в XX веке, то ее окрестили бы задачей по перемещениям беспилотника. Но, так же как и задача о секретаре, она появилась в середине XХ века под названием «задача о коммивояжере».

Задача о планировании маршрута не привлекала внимание математического сообщества до 1930-х годов, но, когда это случилось, задача была отомщена. Математик Карл Менгер упоминал о задаче почтового служащего в 1930 году, отмечая, что не существует более простого из известных решений, кроме как испытывать каждую возможность по очереди. Хасслер Уитни из Принстона обозначил эту проблему в 1934 году, тогда она и засела плотно в уме его друга математика Меррила Флада (который, как вы помните из главы 1, причастен к распространению первого решения задачи о секретаре). Когда Флад переехал в Калифорнию в 40-е годы, он передал эту задачу своим коллегам в Институте Айн Рэнд. Каноническое название задачи впервые было упомянуто в газетной публикации в 1949 году благодаря математику Джулии Робинсон. По мере обсуждения задачи в математических кругах она постепенно приобрела печальную известность. Множество величайших умов были ею одержимы, но никто, казалось, даже не начал двигаться в верном направлении, решая ее.

В задаче о коммивояжере вопрос заключается не в том, может ли компьютер (или математик) найти кратчайший путь: теоретически можно просто составить список всех возможностей и оценить каждую из них. Скорее, сложность состоит в том, что по мере роста количества городов список возможных маршрутов стремительно растет. Маршрут – это всего лишь последовательность городов, поэтому метод перебора всех маршрутов и приводит нас к той вселяющей ужас формуле О(n!) факториального времени – вычислительному эквиваленту попытки отсортировать колоду карт в нужном порядке, подбрасывая их в воздух.

Вопрос: а есть ли надежда на лучшее решение?

Десятилетия работы помогли добиться некоторых результатов в укрощении задачи о коммивояжере. К примеру, Флад писал в 1956 году, спустя более 20 лет после первой встречи с этой задачей: «Представляется очень вероятным, что нужен абсолютно другой подход относительно уже испробованных для успешного прохождения этой головоломки. По сути, может не существовать общего способа ее решения, и результаты, демонстрирующие невозможность решения, тоже ценны». Спустя 10 лет общее настроение было еще более унылым. «Я предполагаю, – писал Джек Эдмондс, – что не существует правильного алгоритма для решения задачи о коммивояжере».

Эти слова оказались пророческими.

Определяем сложность

В середине 1960-х годов Эдмондс, сотрудник Национального института стандартов и технологии, и Алан Кобхэм из IBM сформулировали рабочее определение того, что делает задачу решаемой или наоборот. Они доказывали утверждение, ныне известное как гипотеза Кобхэма и Эдмондса: алгоритм считается эффективным, если его действие происходит в так называемом полиномиальном времени, а именно O(n2), O(n3) или, в сущности, n в любой степени. Задача, в свою очередь, считается решаемой, если мы знаем, как решить ее, используя эффективный алгоритм. Задача, которую мы не можем решить в полиномиальном времени, напротив, считается нерешаемой. И везде, кроме мельчайших масштабов, нерешаемые задачи не поддаются решению с помощью компьютеров, какими бы мощными они ни были[27].

Таким образом, измерить сложность задачи возможно. Но какие-то задачи просто… сложные.

И чем же заканчивается тогда история с задачей о коммивояжере? Довольно любопытно, что мы до сих пор в этом не уверены. В 1972 году профессор Университета Беркли Ричард Карп продемонстрировал, что задача о коммивояжере связана со спорно пограничным классом задач, которые еще не были определены как решаемые или нерешаемые. Но пока что эффективных решений этих задач найдено не было (что делает их, по сути, нерешаемыми), и большинство программистов считают, что решений не найти. Таким образом, результат, свидетельствующий о невозможности решения задачи о коммивояжере, о котором говорил Флад в 1950-е годы, оказался фатальным. Более того, многие другие задачи по оптимизации, касающиеся всевозможных вопросов от политической стратегии до здравоохранения и пожарной безопасности, аналогичным образом попадают в класс нерешаемых.

Но для программистов, которые продолжают искать ответ, такой вердикт – вовсе не конец истории. Наоборот, для многих это призыв к действию. Вы же не можете просто опустить руки, определив, что проблема не имеет решения. Как говорил эксперт в области планирования Ян Карел Ленстра, «если задача трудная, это не значит, что вы можете забыть о ней. Это означает, что она просто находится в другом статусе. Это серьезный враг, но вы все равно должны бороться». И здесь мы приходим к бесценному выводу относительно того, как лучше всего подходить к задачам, где оптимальные решения недоступны. Как расслабиться.

Просто расслабьтесь

Лучшее – враг хорошего.

Вольтер

Когда кто-то советует вам расслабиться, это, вероятно, происходит потому, что вы слишком напряжены – придаете чему-то большее значение, чем следовало бы. Когда программисты сталкиваются со сложной задачей, они также прибегают к релаксации, делясь друг с другом такими книгами, как «Введение в методы релаксации» или «Техники дискретной релаксации». Но они не расслабляются сами, они ослабляют проблему.

Одна из самых простых форм релаксации в компьютерной науке – это смягчение ограничений. Согласно этому методу исследователи убирают ряд ограничений из задачи и приступают к решению получившейся задачи. Затем, по мере достижения некоторых успехов, они пытаются снова добавить эти ограничения. То есть они временно делают задачу проще в решении, прежде чем вернуть ее к реальности.

Например, вы можете ослабить задачу о коммивояжере, если позволите ему посетить один и тот же город несколько раз и возвращаться бесплатно. Поиск кратчайшего маршрута в этих новых ослабленных условиях приводит к тому, что называется «минимальное остовное дерево». (Если хотите, можете принять минимальное остовное дерево за наименьшее количество километров дорог, соединяющих один город с другим. Кратчайший путь коммивояжера и минимальное остовное дерево для судебной схемы Линкольна показаны ниже.) Как оказалось, на решение этой ослабленной задачи компьютеру не требуется времени вовсе. И в то время как минимальное остовное дерево не обязательно ведет прямо к решению реальной задачи, оно тем не менее весьма полезно. С одной стороны, остовное дерево с его свободным механизмом возврата никогда не заменит реального решения, которое должно следовать всем правилам. Таким образом, мы можем принять ослабленную задачу – фантазию – за нижнюю границу реальности. Вычислив, что остовное дерево расстояний между определенными городами – это 100 миль, мы можем быть уверены, что расстояние, покрытое коммивояжером, не будет меньше этого значения. И если мы найдем, к примеру, маршрут расстоянием в 110 миль, он будет не более чем на 10 % длиннее оптимального решения. Таким образом, мы можем получить представление о том, насколько близко мы подошли к настоящему решению, даже не зная, какое оно.

И более того, выясняется, что в задаче о коммивояжере минимальное остовное дерево – это одна из лучших стартовых точек, с которой начинаются поиски действительного решения. Этот подход позволяет решить даже самую сложную задачу о коммивояжере, какую только можно себе представить (найти кратчайший маршрут, который пройдет через все города Земли), и решить ее в пределах 0,05 % от (неизвестного) оптимального решения.

Хотя большинство из нас не сталкивались с формальной алгоритмической версией смягчения ограничений, ее основная идея знакома каждому, кто много размышлял над жизненными вопросами. «Что бы вы сделали, если бы не боялись?» – гласит мантра, которую вы не раз могли видеть в кабинете школьного психолога или на семинарах по мотивации. «Что бы вы сделали, если бы знали, что не потерпите неудачу?» Аналогичным образом, когда мы касаемся вопросов профессии и карьеры, мы интересуемся, «что вы сделаете, если выиграете в лотерею?» или, если зайти с другой стороны, «что бы вы делали, если бы все работы оплачивались одинаково?». Смысл этих мысленных упражнений точно такой же, как и в смягчении ограничений: сделать неразрешимое легко решаемым, добиться успеха в идеализированном мире, чтобы потом перенести результат в мир реальный. Если вы не можете решить стоящую перед вами проблему, попробуйте решить ее упрощенную версию и посмотрите, даст ли вам это решение отправную точку, послужит ли маяком для работы с полномасштабной проблемой. Возможно, что да.

Чего релаксация сделать не может, так это дать гарантированный доступ к идеальному решению. Но компьютерная наука может количественно выразить компромисс между потраченным временем и качеством решения, который предлагает релаксация. Во многих случаях этот коэффициент грандиозен, немыслим (например, ответ, который наполовину так же хорош, как идеальное решение, полученный в одну квадриллионную времени, требующегося для получения идеального решения). Идея простая, но глубокая: если мы готовы принять решения, которые достаточно близки, то даже самые заковыристые проблемы можно решить с помощью правильных методов.

Временное снятие ограничений, как в минимальном остовном дереве и в вопросе «что, если вы выиграете в лотерею?», является наиболее исчерпывающей и понятной формой алгоритмической релаксации. Но есть еще и два других, более трудноуловимых вида релаксации, которые неоднократно возникают в исследованиях оптимизации. Они доказали свою важную роль в решении некоторых неразрешимых проблем в этой сфере, напрямую влияя на ситуации в реальной жизни – от градостроительства и борьбы с болезнями до планирования спортивных соревнований.

Бесчисленное множество оттенков серого: непрерывная релаксация

Проблема коммивояжера и задача Меган Беллоуз по поиску лучшего плана рассадки – особый вид задач оптимизации, известный также как дискретная оптимизация – то есть задача, не имеющая бескрайнего множества решений. Коммивояжер едет либо в этот город, либо в тот; вы сидите или за пятым столиком, или за шестым. Только два варианта и никаких оттенков серого!

Подобных задач дискретной оптимизации вокруг полно. В городах, например, проектировщики стараются расположить пожарные машины так, чтобы доехать до каждого дома за определенный отрезок времени, скажем за пять минут. С математической точки зрения каждая пожарная машина «охватывает» все дома в округе, до которых можно добраться от исходной точки в течение пяти минут. Задача заключается в том, чтобы найти минимальное количество локаций, охватывающих все дома. «Представители этой профессии [пожарные и спасатели] только что перешли на такую модель покрытия, и это здорово, – говорит Лора Альберт Маклей из Висконсинского университета в Мэдисоне. – Это то, что легко смоделировать». Но так как пожарная машина либо стоит в указанном месте, либо нет, то попытки рассчитать этот минимальный набор вариантов включают дискретную оптимизацию. И, как замечает Маклей, «это та точка, начиная с которой большинство задач становятся трудными в вычислительном отношении, потому что невозможно сделать половину того и половину этого».

Задачи дискретной оптимизации проявляются также и в социальной жизни. Представьте, что вы хотите устроить вечеринку для всех своих друзей и знакомых, но совершенно не хотите платить за кучу конвертов и марок для рассылки приглашений. Вместо этого вы могли бы разослать приглашения своим самым общительным друзьям с просьбой «приводить всех, кого мы с тобой знаем». То, чего вам в идеале хотелось бы, – это иметь небольшую группу друзей, которые знакомы со всеми остальными представителями вашего социального круга, что позволило бы вам облизать минимальное количество марок и собрать при этом максимальное количество присутствующих. Правда, со стороны это может выглядеть как дополнительная куча работы ради экономии пары баксов на марках, но это именно та задача, которую руководители политических кампаний и корпоративные маркетологи хотят решить, чтобы доносить свои сообщения наиболее эффективно. И это также задача, над которой начали задумываться эпидемиологи: какое минимальное количество населения – и кого именно – нужно вакцинировать, чтобы защитить общество от инфекционных заболеваний.

Как мы уже отмечали, приверженность к целым числам и делает задачи по дискретной оптимизации столь сложными для решения: пожарный департамент может иметь в гараже одну машину, или две, или три, но не две с половиной или π машин. На самом деле и задача с пожарными расчетами, и задача с приглашениями на вечеринку – неподдающиеся: для них не существует никакого общего эффективного решения. Но, как выясняется, существует ряд успешно работающих стратегий для решения подобных проблем, где каждая частица или десятая доля и есть возможное решение. Исследователи, столкнувшиеся с задачей дискретной оптимизации, порой с завистью смотрят на эти стратегии. Но они могут сделать кое-что большее! А именно – перевести эту задачу из ряда дискретных в непрерывные и посмотреть, что будет.

В случае задачи с приглашениями перевод из дискретной в непрерывную оптимизацию означает, что решение может быть таким: послать одному гостю четвертинку приглашения, а другому две трети. Что это вообще значит? Очевидно же, что это не ответ на поставленный вопрос, но, как и минимальное остовное дерево, это дает нам точку, откуда начинать. С мягким решением в руках мы можем привести эти дробные части ближе к реалиям. Мы можем, например, просто округлить их, посылая приглашение каждому, кому по ослабленному сценарию досталась половина приглашения или больше. Или же мы можем интерпретировать их как вероятности (например, подбрасывать монетку в каждой локации, где мягкое решение предлагает нам поставить половину пожарной машины, и размещать там реальный расчет, только если выпадет орел). В любом случае, приводя эти дроби к целым числам, мы получим решение, которое подойдет нам в контексте нашей исходной, дискретной задачи. Последним этапом, как в любой релаксации, будет вопрос, настолько ли хорошо полученное нами решение в сравнении с фактически лучшим решением, которое мы могли бы получить, если бы тщательно изучали каждый возможный ответ для исходной задачи. Оказывается, что в задаче с приглашениями непрерывная релаксация с округлением даст нам довольно неплохое легко вычисляемое решение: математика гарантирует, что к вам на вечеринку придут все, кого вы хотите видеть, если вы разошлете как минимум в два раза больше приглашений, чем вам предложит решение, полученное методом перебора. Аналогично, в задаче про пожарные расчеты непрерывная релаксация с вероятностями быстро подведет нас к удобным границам оптимального решения.

Непрерывная релаксация не чудодейственное средство: она по-прежнему не предлагает нам эффективный способ приблизиться к действительно оптимальным решениям, а только лишь к их приближенным значениям. Но получить в два раза больше писем или внедрить в два раза больше пожарных расчетов будет гораздо лучше, чем использовать неоптимизированные альтернативы.

Штраф за превышение скорости: Лагранжева релаксация

Виззини: Непостижимо.

Иниго Монтойя: Ты постоянно используешь это слово. Не думаю, что оно означает то, что ты думаешь, что оно означает.

Фильм «Принцесса-невеста»

Однажды в детстве Брайан полдня жаловался матери на все, что ему приходилось делать: уроки, работу по дому… «С юридической точки зрения ты не обязан ничего делать, – ответила ему мать. – Ты не обязан слушаться учителей. Ты не обязан слушаться меня. Ты не обязан даже подчиняться закону. Но у любого поступка есть последствия, и только тебе решать, когда ты захочешь с этими последствиями столкнуться».

Детский мозг Брайана взорвался. Это был мощный посыл, пробуждающий ощущение силы, ответственность, моральные суждения. Но было это также и кое-что другое: эффективная методика вычислений под названием Лагранжева релаксация. Идея Лагранжевой релаксации проста. Задача оптимизации состоит из двух частей: правила и оценка производительности. В рамках Лагранжевой релаксации мы берем некоторые из ограничивающих условий задачи и внедряем их в систему количественных показателей. Таким образом, мы превращаем невозможное в затратное. (В задаче со свадебной рассадкой, к примеру, мы можем убрать ограничение, что за каждым столом может сидеть максимум 10 человек, и допустить «перенаселение» за столами с вероятностью слегка потолкаться локтями.) Когда условие задачи оптимизации гласит «Делай только так, а не то…», Лагранжева релаксация вопрошает: «А не то что?» Однажды мы позволяем себе выйти за границы (хотя бы чуть-чуть, пусть даже за счет высоких расходов) – и вот уже задачи становятся разрешимыми.

Лагранжевы релаксации занимают огромную часть во всей теоретической литературе, посвященной задаче коммивояжера и другим сложным задачам в области информатики. Кроме того, они служат важным инструментом для ряда практических случаев. Вспомним, к примеру, Майкла Трика из Университета Карнеги – Меллон, который, как мы помним из главы 3, отвечал за расписание Главной лиги бейсбола и ряд конференций Национальной ассоциации студенческого спорта. О чем мы не упоминали, так это о том, как он это делает. Составление расписания на каждый год представляет собой гигантскую задачу дискретной оптимизации, слишком сложную для того, чтобы компьютер мог решить ее методом перебора. Поэтому каждый год Трик и его коллеги из группы спортивного планирования прибегают к помощи Лагранжевой релаксации. Каждый раз, когда вы включаете телевизор или занимаете место на трибуне стадиона, помните, благодаря чему состоялась встреча этих двух команд на этой площадке в этот конкретный вечер. Ну хорошо, необязательно это будет оптимальный спортивный матч. Но близко к тому. И поблагодарить за это нам стоит не только Майкла Трика, но и французского математика XVIII века Жозефа Луи Лагранжа.

При планировании спортивного сезона Трик обнаружил, что непрерывная релаксация, о которой мы вели речь ранее, не облегчает ему задачу. «Если в конечном итоге вы получаете дробные результаты, это не приводит ни к чему хорошему». И ладно, если дробные результаты получаются у нас в ходе решения задачи с пожарными расчетами или приглашениями – там мы можем округлить их до целых чисел в случае необходимости. Но в спорте целочисленные ограничения слишком сильны: сколько команд будет играть, сколько игр пройдет в общем счете и сколько раз каждая команда будет играть против других команд. «И тут уже мы не можем расслабиться. Мы действительно должны придерживаться основополагающей [дискретной] части модели».

Тем не менее надо же как-то справиться со сложностью задачи. Таким образом, «нам приходится работать с лигами, чтобы ослабить некоторые из ограничений, которые могут у них быть», – объясняет Трик. Число таких ограничений при планировании спортивного сезона поистине огромно, и оно включает в себя не только требования, проистекающие из базовой структуры лиги, но и всякого рода специфические запросы и сомнения. Некоторые лиги хотят играть только во второй половине сезона и только в домашних, а не выездных матчах. Другие лиги это категорически не устраивает, но они тем не менее требуют, чтобы команды не играли вместе снова, пока не сыграют со всеми остальными по разу. Некоторые настаивают, чтобы противостояние знаменитых команд имело место в финальной игре сезона. Некоторые команды не могут играть домашние матчи в определенные дни, потому что в эти даты арены уже заняты под другие мероприятия. В случае с баскетбольными играми Национальной ассоциации студенческого спорта Трику пришлось также принять во внимание требования телевизионных каналов, транслирующих игры. Телеканалы за год предугадывают, какие из матчей станут «А-играми» и «В-играми», то есть играми, которые привлекут наибольшую аудиторию (матч Duke против UNC, например, уже много лет является А-игрой). Каналы, таким образом, планируют одну А-игру и одну В-игру в неделю, но ни в коем случае не одновременно, чтобы не расколоть зрительскую аудиторию.

Неудивительно, что, столкнувшись со всеми этими требованиями, Трик понял, что составление спортивного графика зачастую возможно только при условии смягчения этих ограничений.

Как правило, когда люди приходят к нам со спортивным расписанием, они начинают качать права… «Мы никогда не будем делать x и никогда не будем делать y!» Тогда мы смотрим на их расписание и говорим: «Ну, в прошлом году вы дважды делали x и трижды делали y». Они: «О, ну ладно, что ж. Тогда мы ни за что не будем делать z». И мы возвращаемся еще на год назад… В целом мы понимаем: они думают, что есть что-то, чего они никогда не будут делать и что делают другие. В бейсболе принято считать, что The Yankees и The Mets никогда не играют домашних матчей в одно и то же время. Но это неправда. И никогда не было правдой. Они проводят как минимум три, а то и шесть домашних матчей за год в один и тот же день. Но для всего сезона в целом 81 домашний матч для каждой команды – это довольно мало. Неудивительно, что люди забывают о них.

Порой приходится прибегать к дипломатическим тонкостям, но Лагранжева релаксация – территория, где запрещенное становится наказуемым, а немыслимое нежелательным, – позволяет добиться прогресса. Как говорит Трик, вместо того чтобы тратить миллиарды лет на поиски несуществующего идеального решения, лучше использовать метод Лагранжевой релаксации и позволить себе задать вопрос наподобие: «Как близко вы можете подобраться к такому решению?» Как выясняется, достаточно близко, чтобы сделать счастливым каждого – лиги, школы, телеканалы – и разжигать огонь March Madness год за годом.

Учимся релаксации

Проблемы оптимизации (с одной стороны – цели, с другой стороны – правила), возможно, самый распространенный вид вычислительных задач, с которыми мы имеем дело. И задачи дискретной оптимизации, где наши варианты сводятся к строгому выбору «или/или» без каких-либо средних значений, – наиболее типичные из них. Здесь информатика выносит обескураживающий вердикт. Многие проблемы дискретной оптимизации действительно сложны. Самые светлые головы этой области пасовали в попытках найти короткий путь к идеальным решениям, посвящая гораздо больше времени доказательствам того, что таких путей не существует, чем поиску оных.

Во всяком случае, это должно нас немного утешить. Если мы сталкиваемся лицом к лицу с задачей, которая кажется нескладной, тернистой, нерешаемой, то мы, вероятно, правы. И наличие компьютера далеко не всегда может помочь.

По крайней мере до тех пор, пока мы не научимся релаксировать.

Существует много способов ослабить проблему, и мы рассмотрели три наиболее важных. Первый из них – вынужденная релаксация – просто убирает некоторые ограничения в целом и достигает прогресса за счет уменьшения строгости задачи, прежде чем возвращается к реальности. Второй – непрерывная релаксация – превращает дискретный или бинарный выбор в бесконечное множество: прежде чем выбрать между холодным чаем и лимонадом, представьте себе напиток Арнольда Палмера[28], в котором поровну того и другого, и мысленно увеличивайте или уменьшайте эти доли. Третий – Лагранжева релаксация – превращает невозможности в обычные штрафы, обучая нас искусству обходить правила (или вовсе нарушать их и отвечать за последствия). Рок-группа, решающая, какие песни должны войти в альбом, сталкивается с тем, что ученые называют задачей о рюкзаке – головоломкой, в которой требуется решить, какие из множества предметов различной величины и важности можно разместить в заданном объеме. В своей строгой постановке задача о рюкзаке практически неразрешима, но это не должно разочаровывать наших расслабленных рок-звезд. Как показал ряд известных примеров, иногда лучше просто поиграть чуть дольше городского комендантского часа и заплатить связанный с этим штраф, чем подгонять концерт под разрешенный временной интервал. На самом деле, даже если вы не совершили правонарушение, а просто представили себе нарушение, это может оказаться поучительным.

Консервативный британский журналист Кристофер Букер говорит: «Когда мы предпринимаем действия, которые бессознательно обусловлены принятием желаемого за действительное, на какое-то время может показаться, что все идет хорошо», но только потому, что «эта фантазия никогда не может быть соотнесена с реальностью». Это неизбежно приведет к тому, что он называет многоступенчатой аварией: мечта, разочарование, кошмар, взрыв. Информатика рисует слишком радужную картину. С другой стороны, в качестве метода оптимизации релаксация предлагает нам сознательно принять желаемое за действительное. Возможно, в этом вся разница.

Релаксации дают нам ряд преимуществ. С одной стороны, они предлагают нормы качества правильного решения. Если мы заполняем ежедневник планами, представляя себе, что можем каким-то магическим образом за мгновение перенестись через весь город, то немедленно становится ясно, что восемь часовых встреч – это максимум, который мы можем втиснуть в свое расписание на день. Подобное ограничение может оказаться полезным, чтобы скорректировать наши ожидания, прежде чем мы столкнемся с проблемой в полный рост. Во-вторых, релаксации устроены таким образом, что они действительно могут быть соотнесены с реальностью. И это дает нам возможность прийти к решению, двигаясь с другой стороны. Когда метод непрерывной релаксации предлагает нам частичную вакцинацию, мы можем просто вакцинировать каждого, кому досталась половина вакцины или больше, и в конечном итоге прийти к легко вычисляемому решению, которое в худшем случае потребует в два раза больше вакцин, чем в идеале. Вероятно, мы можем жить с этим.

Если только мы не готовы тратить миллиарды лет на борьбу за совершенство каждый раз, как зайдем в тупик, то, встретив сложную задачу, вместо пробуксовки на месте мы должны найти ее более легкую версию и решить сначала ее. При правильном применении метода это будет вовсе не выдавание желаемого за действительное, не фантазии и не ленивые сны наяву. Это один из лучших способов добиться успеха.

9. Случайность

Когда стоит положиться на волю случая

После стольких лет работы в этой сфере я вынужден признать, что роль случайности в решении многих алгоритмических задач поистине загадочна.

Это работает, это эффективно; но как и почему – загадка.

Майкл Рабин

Случайность представляется нам противоположностью осознанности – своего рода уходом от проблемы. Но это не так. Удивительная и весьма важная роль случайности в компьютерных науках демонстрирует нам, что порой положиться на волю случая – это взвешенный и эффективный шаг в решении ряда сложнейших задач. На самом деле бывают ситуации, когда ничего, кроме этого, не поможет.

В отличие от стандартных детерминированных алгоритмов, которые мы обычно представляем себе как работу компьютера, где каждый последующий шаг одним и тем же образом проистекает из предыдущего, рандомизированный алгоритм использует для решения задачи метод случайного выбора чисел. Последние исследования в области информатики показали, что в некоторых случаях рандомизированные алгоритмы помогают найти ответ на вопрос быстрее, чем всеми признанные детерминированные. И хотя они не всегда гарантируют оптимальные решения, рандомизированные алгоритмы порой удивительно к ним приближаются путем стратегического подбрасывания нескольких монет, в то время как их детерминированные «собратья» лезут из кожи вон.

Примечательно, что в решении некоторых задач рандомизированный подход превосходит даже лучший из детерминированных. Иногда лучшее решение проблемы – положиться на судьбу, а не пытаться заранее продумать ответ.

Но одного лишь знания о том, что случайность может оказаться полезной, недостаточно. Нужно четко понимать, когда можно положиться на случайность, каким образом и в какой степени. Новейшая история развития информатики предлагает ответы на эти вопросы – хотя начиналось все парой столетий раньше.

Метод выборки

В 1777 году Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон, представил общественности результаты интересного вероятностного анализа. Если мы бросим иголку на разлинованный лист бумаги, спрашивал он, какова вероятность, что она пересечет одну из линий? В своей работе Бюффон доказал, что если длина иголки короче, чем расстояние между линиями, то ответ будет

умноженное на длину иглы, разделенную на длину расстояния. Бюффону было достаточно просто вывести эту формулу. Но в 1812 году Пьер-Симон Лаплас, один из героев главы 6, выяснил, что есть и другой подход: вычислить число π можно, просто бросая иглы на бумагу.

Подход Лапласа имеет глубокую подоплеку: когда мы хотим знать что-то о комплексной величине, мы можем оценить ее значение путем выборки из нее. Это именно тот метод расчетов, который демонстрируется в его работе над правилом Байеса. В самом деле, несколько человек в точности воспроизвели предложенный Лапласом эксперимент, подтвердив, что этим способом рассчитать значение числа π возможно – хотя и не слишком эффективно[29].

Бросание тысячи иголок на лист бумаги может показаться кому-то интересным занятием, но для того, чтобы сделать из «пробника» практический метод, потребовались компьютерные технологии. Раньше, когда математики и физики пытались использовать случайность для решения задач, они должны были скрупулезно проводить расчеты вручную, так что трудно было генерировать достаточное количество выборочных проб, чтобы получить точные результаты. Компьютеры же – в частности, компьютер, разработанный в Лос-Аламосе во время Второй мировой войны, – определили исход дела.

Станислав (Стэн) Улам был одним из математиков, принимавших участие в разработке атомной бомбы. Выросший в Польше, он переехал в США в 1939 году и в 1943-м вошел в Манхэттенский проект. После непродолжительного пребывания в научных кругах он вернулся в Лос-Аламос в 1946 году и приступил к работе над созданием ядерного оружия. Но он был болен – заразился энцефалитом, и ему сделали срочную операцию на головном мозге. Едва оправившись от болезни, он начал беспокоиться, удалось ли ему сохранить математические способности.

В процессе выздоровления Улам много играл в карты, в частности раскладывал пасьянс (известный как «Клондайк»). Как знает всякий любитель пасьянсов, некоторые перетасовки колоды делают игру заведомо проигрышной. И в процессе игры Улам не раз задавался вопросом: какова вероятность, что перетасовка колоды приведет к выигрышу в игре?

В такой игре, как пасьянс, попытки спрогнозировать ход игры через пространство вероятностей обречены на провал. Стоит только перевернуть первую карту – и вот уже 52 возможных варианта развития игры; переверните следующую – и вот уже 51 вариант для каждой следующей карты. Таким образом, мы уже вовлечены в тысячи возможных игр еще до того, как начали играть. Фрэнсис Скотт Фитцджеральд однажды сказал: «Лучшее свидетельство высокого интеллекта – умение одновременно удерживать в уме две противоположные идеи, не теряя при этом способности функционировать». Это может быть правдой, но никакой высококлассный интеллект – ни человеческий, ни чей-либо еще – не сможет единовременно удерживать в уме миллионы миллиардов возможных раскладов колоды и надеяться на функционирование.

После попыток произвести некоторые сложные комбинаторные расчеты Улам бросил это дело и нашел другой подход, прекрасный в своей простоте: всего лишь играть в эту игру.

Я заметил, что гораздо практичнее просто [пытаться]… переворачивать карты или экспериментировать с процессом до тех пор, пока не обнаружу успешную комбинацию, чем пытаться вычислить все комбинаторные вероятности, экспоненциально растущее количество которых настолько велико, что, за исключением самых элементарных случаев, нет никакой возможности рассчитать их. Это удивительно для ума и, будучи не слишком унизительным, дает человеку ощущение скромности границ рационального или традиционного мышления. В достаточно сложной задаче фактическая выборка лучше, чем исследование всех цепочек вероятностей.

Обратите внимание: говоря «лучше», он вовсе не имеет в виду, что метод выборки даст вам более точные ответы, чем исчерпывающий анализ: всегда будут какие-то ошибки, связанные с процессом выборки, хотя вы можете уменьшить их количество, определяя выборку действительно случайным образом. Что он на самом деле подразумевает, говоря, что метод выборки лучше, так это то, что он дает вам все ответы в тех случаях, когда ничто другое не сможет вам их дать.

Вывод Улама – что метод выборки может преуспеть там, где анализ окажется бесполезен, – также имел решающее значение для решения некоторых сложных задач в ядерной физике, возникших в Лос-Аламосе. Ядерная реакция представляет собой разветвленный процесс, где вероятности множатся столь же неконтролируемо, как и в картах: одна частица делится на две, каждая из которых при столкновении с другими заставляет их в свою очередь так же делиться. Попытки точно рассчитать исход этого процесса, в котором взаимодействует великое множество частиц, обречены на провал. Но моделирование данного процесса, где каждое взаимодействие аналогично переворачиванию новой карты, открывает перед нами альтернативу.

Улам развивал эту идею дальше вместе с Джоном фон Нейманом и работал с Николасом Метрополисом, еще одним физиком из Манхэттенского проекта, над внедрением метода в компьютерную систему Лос-Аламоса. Метрополис назвал его подход – замену исчерпывающего анализа вероятностей симуляцией метода выборки – методом Монте-Карло, в честь казино Монте-Карло в Монако – места, столь же зависимого от капризов случая. Команда Лос-Аламоса могла использовать этот метод для решения ключевых задач ядерной физики. На сегодняшний день метод Монте-Карло является одним из краеугольных камней научных вычислений.

Большинство задач, подобных расчету взаимодействий субатомных частиц или шансов на победу в пасьянсе, сами по себе являются вероятностными, так что их решение с помощью рандомизированного подхода вроде метода Монте-Карло вполне разумно. Но, пожалуй, самым удивительным доказательством важности рандомизированного подхода служит тот факт, что он может быть использован в таких ситуациях, где случайность, казалось бы, вовсе не играет никакой роли. Даже если ваш вопрос предполагает четкий ответ «да» или «нет», «истина» или «ложь» и тут не может быть никаких вероятностей, бросок пары кубиков способен по-прежнему стать частью принятия решения.

Рандомизированные алгоритмы

Первым человеком, продемонстрировавшим удивительно широкое применение метода рандомизации в информатике, стал Майкл Рабин. Родившийся в 1931 году в Бреслау в Германии (который впоследствии стал польским Вроцлавом в конце Второй мировой войны), Рабин был потомком целой династии раввинов. Его семья переехала из Германии в Палестину в 1935 году, и там он отказался от протоптанной для него отцом раввинской тропы в пользу красоты математики, открыв для себя исследования Алана Тьюринга на заре студенчества в Еврейском университете и эмигрировав в США, где впоследствии он окончил Принстон. Рабин должен был получить премию Тьюринга – аналог Нобелевской премии в сфере информатики – за включение в теоретическую информатику недетерминированных случаев, когда автомат не обязан следовать одному параметру, но имеет несколько возможных путей следования. В 1975 году, находясь в творческом отпуске, Рабин пришел в MIT в поисках нового направления для работы.

Нашел он его в одной из старейших задач: как найти простые числа. Алгоритмами поиска простых чисел интересовались еще в Древней Греции, где математики использовали простой и точный метод, получивший название «решето Эратосфена». Оно работает следующим образом: чтобы найти все простые числа меньше n, начните записывать последовательность чисел от 1 до n по порядку. Затем вычеркните все числа, кратные 2, кроме самого числа 2 (4, 6, 8, 10, 12 и т. д.). Найдите следующее самое маленькое число, которое еще не было вычеркнуто (в данном случае – 3), и вычеркивайте все числа, кратные ему (6, 9, 12, 15). Продолжайте в том же духе, и те числа, что останутся в результате, и будут простыми числами.

На протяжении тысячелетий изучение простых чисел считалось, как выразился Г. Х. Харди, «одним из самых очевидно бесполезных разделов математики». Но оно неожиданно приобрело большую практическую значимость в XX веке, став ключевым моментом в области шифрования и сетевой безопасности. Гораздо проще перемножать простые числа между собой, чем выносить их за скобки. С достаточно большими простыми числами – например, состоящими из тысячи знаков – умножение может быть произведено в долю секунды, в то время как разложение на множители могло бы занять буквально миллионы лет. Это и есть то, что зовется односторонней (необратимой) функцией, обратное значение которой очень трудно вычислить. В современном шифровании данных, к примеру, секретные простые числа, известные только отправителю и получателю, перемножаются между собой, чтобы создать огромные составные числа. Последние могут быть переданы публично без опасений, поскольку обратное разложение зашифрованного послания на множители займет у любого перехватчика слишком много времени, чтобы стоило хотя бы попытаться. Таким образом, любая безопасная онлайн-коммуникация – будь то торговля, банкинг или электронные сообщения – начинается с охоты на простые числа.

Такое применение простых чисел в шифровании данных внезапно сделало алгоритмы их поиска и проверки невероятно важными. Решето Эратосфена хоть и эффективно, но не обладает высоким коэффициентом полезного действия. Если вы хотите проверить, является ли некое определенное число простым, то согласно стратегии решета вам следует попытаться разделить его на все простые числа вплоть до его квадратного корня[30]. Проверка, является ли шестизначное число простым, потребует деления на все 168 простых чисел меньше 1000 – не так уж и плохо. Но проверка двенадцатизначного числа потребует деления на 78 498 простых чисел меньше миллиона, и это деление быстро выходит из-под контроля. Простые числа, используемые в современном шифровании, состоят из сотен знаков. Забудьте об этом.

В MIT Рабин встретился с Гари Миллером, недавним выпускником кафедры информатики в Беркли. В своей докторской диссертации Миллер разработал интригующе перспективный, гораздо более быстрый алгоритм проверки простых чисел. Но существовала небольшая проблемка: он не всегда срабатывал.

Миллер вывел множество уравнений (выраженных в виде двух чисел – n и x), которые всегда верны, если число n является простым, независимо от того, какие значения будет иметь x. Если они выйдут неверными хотя бы для одного значения x, то число n никак не может быть простым (в этих случаях x называют «свидетелем» против простоты). Проблема заключается в ложных положительных результатах: даже если n не является простым числом, в отдельных случаях уравнение все равно может получиться верным. Это поначалу поставило подход Миллера под сомнение.

Рабин понял, что в данной ситуации шаг за пределы обычного «детерминированного» мира информатики может стать весьма значимым. Если число n не является простым, сколько возможных значений x дадут ложноположительный ответ, объявив n простым числом? Ответ, как показал Рабин, – одна четвертая. Так что для случайного значения x, если уравнение Миллера выходит верным, шанс, что число n не является простым, равен одному из четырех. И самое главное, каждый раз, когда мы берем случайное значение x и проверяем уравнение Миллера, вероятность, что число n только кажется простым, но не является таковым, снижается еще на одно число, кратное четырем. Повторите процедуру 10 раз, и вероятность ложноположительного результата будет равна одной четверти в десятой степени – меньше, чем один шанс из миллиона. Все еще не хватает достоверности? Проверьте еще пять раз, и вероятность снизится до одной миллиардной.

Воган Пратт, еще один информатик из MIT, применил алгоритм Рабина на практике. Однажды зимним вечером, когда Рабин отмечал с друзьями Хануку, ему позвонил Пратт. Рабин вспоминает тот полуночный звонок:

«Майкл, это Воган. Я получил результат этих экспериментов. Бери ручку с бумагой и записывай». И у него вышло, что 2400 – 593 – простое число. Обозначим как k произведение всех простых чисел p, меньших 300. Числа k × 338 + 821 и k × 338 + 823 – числа-близнецы[31]. Это были самые большие из известных на тот момент чисел-близнецов. У меня волосы встали дыбом! Это было невероятно! Это было просто невероятно.

Тест Миллера – Рабина на простоту чисел, как теперь известно, дает возможность быстро определить, являются ли простыми даже огромные числа, с произвольно заданной степенью точности.

Здесь мы могли бы задаться философским вопросом о значении слова «являться». Мы так привыкли к тому, что математика – царство точности, что не можем допустить мысли о том, что число может быть «вероятно простым» или «почти определенно простым». Какая достоверность достаточно достоверна? На практике современные шифровальные системы – те, что шифруют интернет-подключения и цифровые транзакции, – настроены на ложноположительные результаты в одном случае на миллион миллиардов миллиардов. Другими словами, это десятичная дробь, начинающаяся с двадцати четырех нулей после запятой, – и это меньше одного ложного простого числа на все количество песчинок на земле. Это значение получается после всего лишь сорока применений теста Миллера – Рабина. Вы действительно никогда не можете быть абсолютно уверены, но вы можете подойти очень близко к этому состоянию. И очень быстро.

Даже если вы никогда не слышали о тесте Миллера – Рабина, о нем хорошо осведомлены ваш ноутбук, планшет или телефон. Спустя несколько десятилетий с момента открытия он все еще остается основным методом, используемым для поиска и проверки простых чисел во многих областях. Он незримо работает, когда вы расплачиваетесь кредитной картой онлайн, и задействован практически каждый раз, когда защищенные коммуникации передаются по воздуху или по проводам.

В течение многих лет после открытия Миллера и Рабина оставалось неясным, будет ли когда-нибудь изобретен эффективный алгоритм для проверки простоты чисел по детерминированным стандартам с абсолютной точностью. В 2002 году такой метод был открыт Маниндрой Агравалом, Нираджем Каялом и Нитином Саксеной в Индийском институте технологий, но рандомизированные алгоритмы, подобные тесту Миллера – Рабина, работают гораздо быстрее и сегодня используются чаще всего.

Что же касается некоторых других задач, случайность по-прежнему остается единственным ключом к эффективным решениям. Вот один любопытный математический пример, известный как проверка полиномиального тождества. Если есть два многочлена: 2x3 + 13x2 + 22x + 8 и (2x + 1) × (x + 2) × (x + 4) – и вычисление обоих будет произведено фактически одним и тем же способом: произвести все умножения, затем сравнить результаты, – то это займет слишком много времени, тем более что число переменных растет.

И снова случайность приходит на помощь: просто возьмите случайные значения числа x и подставьте в выражение. Если два выражения не тождественны, то будет большим совпадением, если вы получите один и тот же ответ при подстановке случайно выбранных значений. И будет еще бóльшим совпадением, если вы снова получите одинаковый ответ, подставив случайные значения во второй раз. И куда бóльшим совпадением, если это произойдет трижды подряд. Так как не существует ни одного известного детерминированного алгоритма для эффективной проверки полиномиального тождества, то этот рандомизированный метод (с многочисленными повторениями, позволяющими максимально приблизиться к «почти точности») – единственный практический из имеющихся.

Хвала методу выборки

Проверка полиномиального тождества демонстрирует, что зачастую нам лучше сосредоточить усилия на расчете случайных величин (например, значений двух выражений, о которых мы хотим что-то узнать), чем пытаться распутать хитросплетения их внутренних взаимосвязей. Это кажется более-менее наглядным. Если вам дадут пару непонятных гаджетов и попросят определить, два ли это разных устройства или копии одного и того же, большинство из нас скорее начнут нажимать на разные кнопки, нежели взломают корпус и начнут рассматривать соединения проводов. И мы не особенно удивляемся, когда киношный наркобарон вскрывает ножом несколько упаковок наугад, чтобы удостовериться в качестве всей партии.

Впрочем, это те случаи, в которых мы не обращаемся к случайности – хотя, возможно, следовало бы.

Пожалуй, самым значимым политическим философом XX века был Джон Роулз из Гарварда, который поставил перед собой амбициозную задачу примирить две, казалось бы, противоположные ключевые идеи в его области: свободу и равенство. Будет ли общество более «правильным», когда его члены больше свободны или больше равны? И должны ли эти два понятия быть действительно взаимоисключающими? Роулз предложил ряд вопросов, которые он назвал завесой неведения. «Представьте себе, – говорил он, – что вам предстоит появиться на свет, но вы не знаете, кем вы родитесь: мужчиной или женщиной, богатым или бедным, горожанином или крестьянином, больным или здоровым. И прежде чем узнать это, вам нужно было бы выбрать, в каком обществе вы бы хотели жить. Чего бы вам хотелось?» Оценивая различные общественные устройства из-за завесы неведения, утверждал Роулз, мы бы скорее пришли к консенсусу, как должно выглядеть идеальное.

Но что мысленный эксперимент Роулза не учитывает, так это вычислительную сложность нужности общества за этой завесой. Как мы в этом гипотетическом сценарии можем удержать в уме всю необходимую информацию? Давайте на секунду отложим в сторонку такие глобальные вопросы, как справедливость и честность, и попробуем применить подход Роулза, например, к предлагаемым изменениям в системе медицинского страхования. Представьте себе вероятность, что некий человек рождается, чтобы стать в будущем секретарем городского совета где-нибудь на Среднем Западе; умножьте это на распределение различных планов медицинской помощи, доступных государственным служащим в различных среднезападных муниципалитетах; умножьте на актуарные данные, которые предполагают вероятность, допустим, перелома берцовой кости; умножьте это на средний счет за среднюю процедуру лечения перелома берцовой кости в больнице Среднего Запада, учитывая распределение возможных планов страхования… Итак, будет ли предложенная реформа медицинского страхования хорошей или плохой для народа? Мы едва можем оценить таким образом одну-единственную ногу, не говоря уже о жизнях сотен миллионов людей! Философы – оппоненты Роулза продолжительное время спорили, как именно мы должны использовать информацию, полученную с помощью завесы неведения. Должны ли мы, к примеру, пытаться максимизировать среднее счастье, срединное счастье, общее счастье или что-то еще? Каждый из этих вопросов, как известно, оставляет место для пагубных антиутопий – таких как город Омелас, выдуманный писательницей Урсулой Ле Гуин, в котором процветали изобилие и гармония, но один ребенок прозябал в страшной нищете. Это достойная критика, и Роулз тактично обходит эту тему, оставляя открытым вопрос, что же нам следует делать с полученной из-под завесы информацией. Но, возможно, гораздо более важный вопрос: а как эту информацию вообще получить?

Ответ на этот вопрос дает нам информатика. Скотт Ааронсон из Массачусетского технологического института удивляется, почему ученые-компьютерщики до сих пор не имеют решающего влияния на философию. Как он подозревает, одна из причин – просто их «неспособность связно объяснить, какой вклад они могут внести в концептуальный арсенал философии». Ааронсон уточняет:

Можно подумать, стоит нам узнать, что нечто исчислимо (не важно, занимает это исчисление 10 или 20 секунд), как мы тут же решаем, что это дело инженеров, а не философов. Но это заключение не было бы столь очевидным, если бы речь шла о выборе между 10 и 101010 секундами! И в самом деле, в теории сложности вычислений количественные интервалы, о которых мы так печемся, обычно настолько широки, что приходится считать их еще и качественными интервалами. Задумайтесь, к примеру, в чем разница: прочесть 400-страничную книгу или читать каждую такую книгу, написать тысячезначное число или досчитать до этого числа.

Информатика дает нам возможность разбить на подпункты общую сложность оценки всех возможных вариантов социального обеспечения в случаях, подобных перелому голени.

Когда нам нужно обосновать необходимость, к примеру, реформы национальной системы здравоохранения (эта огромная махина сложно поддается пониманию), наши политические лидеры, как правило, предлагают две вещи: тщательно отобранные личные примеры из жизни и совокупную статистическую сводку. Примеры из жизни, конечно, яркие и увлекательные, но абсолютно нерепрезентативные. Практически любой законодательный акт – не важно, насколько он компетентный или бестолковый, – всегда с кем-то сработает лучше, а с кем-то хуже, так что выбранные истории не отражают реальных перспектив для расширенного набора параметров. Совокупная же статистика, наоборот, всеобъемлющая, но неубедительная. Мы могли бы, к примеру, узнать только, сократились ли средние страховые взносы по стране, но не то, как это изменение сработало на более детальном уровне: они могли снизиться у большинства, но, как в случае с Омеласом, некие группы населения могут испытывать финансовые затруднения – студенты, жители Аляски или беременные женщины. Статистика всегда рассказывает нам лишь часть истории, оставляя за кадром исключения из общей картины. И зачастую мы даже не знаем, какая статистика нам нужна.

Поскольку ни всеохватывающая статистика, ни любимые истории политиков не могут помочь нам продраться сквозь дебри тысяч страниц предлагаемого законодательства, у ученого-компьютерщика, знакомого с методом Монте-Карло, будет только один ответ: выборка. Детальное изучение случайной выборки может стать наиболее эффективным средством в том случае, когда нужно обосновать нечто слишком сложное, чтобы быть охваченным целиком. Когда речь идет о решении проблемы, чрезвычайно трудно поддающейся контролю, настолько тернистой и запутанной, что с ней невозможно справиться за раз (будь то пасьянс, расщепление атома, проверка простоты чисел или общественная политика), выборка предлагает самый простой и самый лучший способ справиться с трудностями.

Мы можем наблюдать данный подход в работе благотворительного фонда GiveDirectly, который занимается распределением безусловных денежных переводов людям, живущим в условиях крайней нищеты в Кении и Уганде. Фонд привлек внимание к переосмыслению традиционной благотворительной деятельности на нескольких уровнях: не только в своей необычной миссии, но и в уровне прозрачности и отчетности на протяжении всего процесса. И последний элемент статус-кво, которому фонд бросает вызов, – истории успеха.

«Если вы регулярно заходите на наш сайт, блог или страничку в Facebook, – говорит ассистент фонда Ребекка Ланге, – то вы, вероятно, заметили кое-что, что вам нечасто доводится видеть: истории и фотографии наших подопечных». И дело не в том, что другие благотворительные фонды сами сочиняют свои красивые истории. Скорее, сам факт того, что они были нарочно отобраны, чтобы продемонстрировать успехи фонда, заставляет усомниться, сколько полезной информации можно из этих историй почерпнуть. Так что фонд GiveDirectly решил преобразить и эту сторону традиционной благотворительной деятельности.

Каждую среду команда GiveDirectly случайным образом выбирает одного из получателей денежных средств, проводит интервью с ним и дословно его публикует. Для примера, вот одно из первых таких интервью с женщиной по имени Мэри, которая потратила полученные деньги на жестяную крышу[32]:

Она могла улучшить свое жилище, и это означало покрыть дом железной крышей. Она также могла купить диванный гарнитур для своего дома. Ее жизнь изменилась, потому что она привыкла жить с вечно протекающей крышей и каждая вещь в доме намокала, когда шел дождь. Но благодаря денежному переводу она смогла улучшить свой дом, покрыв его железом.

«Мы надеемся, что это дает вам уверенность в достоверности всей информации, которую мы размещаем, – пишет Ланге, – и, может быть, даже вдохновляет остальные организации поднимать планку».

Трехчастный компромисс

Меня всегда поражало, какое качество нужно, чтобы быть Человеком Действия, особенно в литературе, и которым Шекспир обладал в огромной степени. Я имею в виду Отрицательный Потенциал, то есть способность человека пребывать в состоянии неопределенности, терзаться загадками и сомнениями, но без какого-либо раздражения стремиться к истине и интеллекту.

Джон Китс

Нет такого понятия, как абсолютная уверенность, но есть уверенность, достаточная для целей человеческой жизни.

Джон Стюарт Милль

Информатика зачастую становится местом действия компромиссов. Когда мы рассуждали о сортировке в третьей главе, мы отмечали компромисс между временем, потраченным на сортировку, и временем, которое впоследствии понадобится, чтобы отыскать нужное. А в разговоре о кешировании в главе 4 мы изучали выбор в пользу сохранения места – кеш для кеша для кеша – ради экономии времени.

Время и пространство – основа всех известных компромиссов в информатике, но последние исследования рандомизированных алгоритмов предлагают нам рассмотреть еще одну переменную – достоверность. Как выразился Майкл Миценмахер из Гарварда, «что мы хотим сделать, так это придумать ответ, который сэкономит вам время и пространство и использует третью переменную – вероятность ошибки». Когда ему предложили привести пример такого компромисса, он ни секунды не сомневался. «Коллега только что предложил игру, в которой нужно выпивать каждый раз, как этот термин появляется на одном из моих слайдов. Вы что-нибудь слышали о фильтрах Блума?»

Чтобы понять суть идеи фильтра Блума, Миценмахер предлагает рассмотреть поисковую систему Google, которая сканирует весь интернет и индексирует каждую страницу. Интернет составляет более триллиона URL-адресов, а средний URL длиной примерно в 77 знаков. Когда поисковый механизм считывает какой-то URL, как он может понять, была ли эта страница ранее обработана или нет? Чтобы просто хранить список всех уже посещенных страниц, требуется огромное пространство, и повторный поиск по этому списку (пусть даже полностью отсортированному) – это кошмар! В данной ситуации можно сказать, что лечение хуже самой болезни. Другими словами, каждый раз проверять, не была ли эта страница уже проиндексирована, будет гораздо более затратным по времени, чем просто индексировать случайную страницу дважды.

Но что, если нам всего-то и нужно знать, что этот URL новый для нас? Вот тут на сцену и выходит фильтр Блума. Названный по имени его создателя, Бёртона Блума, этот фильтр работает по принципу, схожему с тестом Миллера – Рабина: URL подставляется в ряд уравнений, которые, по сути, проверяют «свидетелей» его новизны (вместо того чтобы объявить «n не является простым числом», эти уравнения говорят «я не видел n раньше»). Если вас устроит коэффициент погрешности 1–2 %, хранение полученных результатов в такой вероятностной структуре данных, как фильтр Блума, позволит вам сэкономить очень много времени и пространства. И польза подобных фильтров не ограничивается только поисковыми системами: фильтры Блума интегрированы в большинство современных браузеров для сверки URL-адресов со списком известных вредоносных сайтов, они также являются важной частью пиринговых платежных систем вроде Bitcoin.

По словам Миценмахера, «идея ошибочного компромисса пространства – думаю, основная проблема в том, что люди не связывают это с вычислениями. Они полагают, что компьютер должен просто выдать ответ. Поэтому, когда на лекции, посвященной алгоритмам, вы слышите: "У вас должен получиться один ответ; но этот ответ может быть неправильным", – мне нравится думать, что это заставляет их [студентов] собраться. Думаю, люди просто не осознают, насколько часто они сталкиваются с этим в своей жизни, и не могут принять это».

Холмы, долины и ловушки

Река извивается, потому что она не умеет думать.

Ричард Кенни

Случайность также зарекомендовала себя как мощное оружие в борьбе с проблемами дискретной оптимизации, такими как создание расписания баскетбольных матчей NCAA или поиск кратчайшего маршрута для коммивояжера. В предыдущей главе мы увидели, как релаксация помогает снизить количество подобных проблем, но тактическое использование случайности стало, возможно, даже более значимым способом.

Представьте себе, что вы планируете путешествовать по миру и посетить десять городов. Ваша собственная версия проблемы коммивояжера: вы улетаете и прилетаете в Сан-Франциско и планируете побывать в Сиэтле, Лос-Анджелесе, Нью-Йорке, Буэнос-Айресе, Лондоне, Амстердаме, Копенгагене, Стамбуле, Дели и Киото. Вас не слишком волнует общая протяженность маршрута, но вы, вероятно, стремитесь снизить расходы на поездку. Первое, что стоит здесь отметить: хотя десять городов – это не так уж и много, но количество возможных вариантов маршрута – это 10! (10 факториал) – более 3,5 млн. Иными словами, у вас нет никакой практической возможности проверить каждую комбинацию и выбрать самую низкую цену. Придется получше пораскинуть мозгами.

В качестве первой попытки построить маршрут вы можете рассмотреть самый дешевый рейс из Сан-Франциско (скажем, в Сиэтл), а затем найти самый дешевый рейс оттуда в любой из оставшихся городов (пусть это будет Лос-Анджелес), потом самый дешевый оттуда (например, в Нью-Йорк) и т. д., пока вы не дойдете до десятого города, откуда вам нужно будет лететь обратно в Сан-Франциско. Это пример так называемого жадного алгоритма, который можно еще назвать близоруким: на каждом этапе пути он близоруко выбирает лучший вариант из тех, что под рукой. В теории планирования, которую мы рассмотрели в главе 5, жадный алгоритм – например, выполнение самой простой и занимающей меньше всего времени работы из доступных, не заглядывая далеко вперед, – порой может стать именно тем, что требуется для решения проблемы. В этом случае решение проблемы коммивояжера, которое может предложить жадный алгоритм, не самое плохое, но далекое от лучшего из возможных.

После того как вы построили базовый маршрут, вам стоит проверить возможные альтернативы, меняя последовательность городов, и посмотреть, получается ли лучше. Например, если мы решили сперва лететь в Сиэтл, а потом в Лос-Анджелес, можно попробовать поменять их местами: сначала Лос-Анджелес, затем Сиэтл. Для любого заданного маршрута мы, таким образом, можем переставить местами два города 11 раз. Скажем, мы перепробуем все варианты и выберем тот, который позволит нам максимально сэкономить. С этого момента у нас есть новый построенный маршрут, с которым мы будем работать дальше, и мы можем снова заняться перестановкой, чтобы извлечь какие-то дополнительные выгоды. Этот алгоритм называется «восхождение на холм», поскольку поиск лучших и худших решений среди множества вариантов можно рассматривать как путешествие по холмистой местности с целью взобраться на самую высокую гору.

В конечном итоге вы найдете наилучшее решение из всех возможных перестановок. И не важно, какие соседние города вы меняете местами: оно останется таковым. Именно здесь заканчивается ваше восхождение на холм. Означает ли это, что вы нашли единственно возможный наилучший маршрут? К сожалению, нет. Вы могли найти только так называемый локальный максимум, но не глобальный максимум всех вероятностей. Холмистый ландшафт к тому же окутан туманом. Вы можете сделать вывод, что стоите на вершине холма, только на основе того факта, что вокруг вас видны уходящие вниз склоны. Но, возможно, за долиной есть гора и повыше, скрытая за облаками.

Представьте себе лобстера, застрявшего в ловушке: бедное животное не понимает, что для того, чтобы выбраться, ему нужно вернуться к центру клетки, то есть забраться в нее поглубже. Ловушка для лобстеров не что иное, как локальный максимум из проволоки – локальный максимум, который убивает.

В ситуации с планированием отпуска локальные максимумы, к счастью, не столь фатальны, но несут в себе тот же смысл. Даже если нам удастся найти решение, которое нельзя будет улучшить за счет мелких ухищрений, вполне вероятно, что мы по-прежнему упускаем глобальный максимум. Истинно наилучший маршрут может потребовать полного изменения плана всей поездки: придется, к примеру, поменять местами целые континенты или направляться с востока на запад, а не с запада на восток. Нам порой приходится временно ухудшить наш вариант, если мы хотим продолжать искать лучший. И случайность обеспечивает стратегию для этого – несколько стратегий, если быть точным.

Преодолеть локальный максимум

Один из таких способов – улучшить ваше восхождение на холм с помощью того, что называется «дрожание»: если вы чувствуете, что застряли на месте, попробуйте немного перемешать все планы. Внесите несколько случайных незначительных изменений (даже если они будут к худшему), а затем снова вернитесь к восхождению на холм. Возможно, вы очутитесь на более высокой вершине.

Другой вариант – полностью перетасовать все планы, как только мы достигнем локального максимума, и начать восхождение на холм заново с этой новой случайно выбранной отправной точки. Этот алгоритм имеет подходящее название «случайный перезапуск восхождения», или – еще более красочно – «восхождение наугад». Такая стратегия оказывается весьма эффективной, когда в задаче несколько локальных максимумов. Например, компьютерщики пользуются ею при дешифровке кодов, поскольку всегда есть много способов начать дешифровку, которые выглядят многообещающе, а в итоге заводят в тупик. Если в ходе дешифровки у вас получается текст, отдаленно напоминающий нормальный русский язык, это еще не значит, что вы на правильном пути. Так что порой лучше не привязываться к изначально выбранному направлению, каким бы правильным оно вам ни казалось, и начать все с нуля.

Но есть еще и третий способ: вместо того чтобы полностью положиться на волю случая, когда ты зашел в тупик, прибегайте к помощи случайности в каких-то мелочах каждый раз, когда принимаете решение. Эта техника, придуманная все той же командой из Лос-Аламоса, которая разработала метод Монте-Карло, получила название «алгоритм Метрополиса». Алгоритм Метрополиса, так же как и «восхождение на холм», работает за счет мелких перестановок в решении, но с одним большим отличием: в любой заданной точке он может принять плохие перестановки наравне с хорошими.

Давайте попробуем применить этот метод к планированию нашего отпуска. Мы снова попробуем скорректировать маршрут, меняя местами разные города. Если получившаяся случайным образом перестановка приводит к улучшению маршрута, мы принимаем ее и продолжаем процесс дальше с этой точки. Но, если изменение приводит к небольшому ухудшению, все равно остается шанс, что мы примем его (хотя чем хуже изменение, тем меньше этот шанс). Таким образом, мы не застреваем в одном локальном максимуме надолго: в конце концов, мы испробуем другое решение, пусть это и окажется немного дороже, и продолжим нашу работу по созданию нового и лучшего плана.

Не важно, будет ли это «дрожание», случайный перезапуск или готовность к временному ухудшению, случайность остается невероятно полезным способом избегать локальных максимумов. Шанс – это не только конкурентоспособный метод решения жестких проблем оптимизации; во многих случаях он играет решающую роль. Но некоторые вопросы еще остаются открытыми. Какой процент случайности нужно использовать? И когда? И – учитывая, что такие стратегии, как алгоритм Метрополиса, могут менять наш маршрут до бесконечности, – как вообще понять, что можно заканчивать? Окончательный ответ на эти вопросы немедленно даст исследователям, работающим над вопросом оптимизации, новую пищу для размышлений.

Имитация отжига

В конце 1970-х – начале 1980-х годов Скотт Киркпатрик считался физиком, а не специалистом в области информатики. В частности, его интересовала статистическая физика, в которой случайностью объяснялись некоторые явления природы, например физика отжига – то, как материалы меняют свое состояние в процессе нагрева или охлаждения. Пожалуй, самой интересной характеристикой отжига является скорость охлаждения вещества, которая оказывает огромное влияние на его конечную структуру. Как писал Киркпатрик:

Выращивание монокристалла из расплава происходит путем аккуратного отжига, когда вещество сперва расплавляют, а затем медленно понижают температуру, долгое время удерживая ее в области точки замерзания. Если этого не сделать и позволить веществу выйти из равновесного состояния, то у полученного кристалла будет множество дефектов или вещество вовсе превратится в стекло без какой-либо кристаллической структуры.

Киркпатрик в то время работал в компании IBM, где самой сложной и важной проблемой было нанесение электросхем на чипы, производимые компанией. Проблема была громоздкой и труднорешаемой: существовало множество путей решения, и при этом имелись некоторые сложные ограничения. Так, например, в общем и целом стоило располагать элементы близко друг к другу, но не слишком, чтобы оставалось место для соединения. И каждый раз, как что-то сдвигалось, приходилось по новой рассчитывать, как все соединения будут работать при гипотетическом новом расположении.

В те времена процессом руководил своего рода тайный гуру компании IBM. Киркпатрик вспоминает: «Тот парень мог напихать на чип больше всего микросхем… и у него был весьма загадочный способ объяснять, что он делает. Он реально не любил об этом рассказывать».

Друг и коллега Киркпатрика Дэн Гелатт проявил живой интерес к этой проблеме и увлек ею и самого Скотта, с которым случилось внезапное прозрение. «Способ изучения [физических систем] заключался в том, чтобы нагреть их, затем охладить и дать системе возможность самоорганизоваться. С данной точки зрения, это выглядело совершенно естественным способом решения всех типов проблем оптимизации, как если бы количество степеней свободы, которые вы пытаетесь организовать, были бы маленькими атомами, спинами или чем там еще».

В физике то, что мы называем температурой, на самом деле является скоростью – хаотичное движение частиц на молекулярном уровне. Это очень похоже, рассуждал Киркпатрик, на хаотичное «дрожание», которое может применяться вместе с алгоритмом восхождения на холм, чтобы иногда отказываться от лучших решений в пользу худших. На самом деле алгоритм Метрополиса был изначально создан, чтобы моделировать хаотичное поведение частиц в физических системах (конкретно в том случае моделировались ядерные взрывы). И что же случится, вопрошал Киркпатрик, если вы попробуете решить проблему оптимизации как проблему отжига – сперва «нагреете» ее, а затем медленно «охладите»?

Возвращаясь к задачке с десятью городами, мы могли бы начать с «высокой температуры», выстраивая первый маршрут полностью случайным образом, выбирая один из множества возможных вариантов решения независимо от цены. После этого мы можем медленно «остужать» наши поиски, бросая кубик каждый раз, когда рассматриваем изменение последовательности посещения городов. Выбор лучших вариантов всегда обоснован, но мы будем выбирать худшие, когда нам выпадает, скажем, два очка или больше. Через какое-то время мы еще немного «снизим температуру», выбирая более дорогие варианты, если на кубике выпадет 3 или больше – а потом 4, а потом 5. В конечном итоге мы практически взойдем на холм, отступая назад только иногда, когда выпадет 6. Наконец мы начали бы идти только в гору и остановились бы, достигнув следующего локального максимума.

Такой подход, названный имитацией отжига, кажется интригующим способом привлечь физику к решению проблем. Но сработает ли он? Первоначальная реакция исследователей традиционной оптимизации заключалась в том, что они сочли весь этот подход в целом слишком… иносказательным. «Я не могу убедить математиков, что вся эта замороченная ерунда с температурами, все эти аналогии реальны! Математики привыкли не доверять интуиции».

Но все недоверие к методу на основе аналогии вскоре исчезло без следа: в IBM алгоритм имитации отжига Киркпатрика и Гелатта позволил делать лучшие раскладки микросхем, чем вышеупомянутый гуру. Вместо того чтобы держать в тайне свое секретное оружие и самим стать таинственными гуру, они опубликовали статью в Science и поделились методом со всеми. В течение нескольких последующих десятилетий эта статья цитировалась более 32 000 раз! На сегодняшний день имитация отжига остается одним из наиболее перспективных подходов к решению известных проблем оптимизации.

Случайность, эволюция и творчество

В 1943 году Сальвадор Лурия еще не подозревал, что стоит на пороге открытия, которое обеспечит ему Нобелевскую премию; он собирался посвятить себя танцам. Сбежав в США от режима Муссолини из Италии, где проживала его семья, Лурия исследовал, как бактерии вырабатывают иммунитет против вирусов. Но в тот момент исследования мало занимали его мысли, поскольку он начал посещать собрания преподавательского состава университета в загородном клубе недалеко от Индианского университета.

Лурия наблюдал, как один из его коллег играл в автоматы:

Не будучи азартным игроком по натуре, я подначивал его, предрекая неизбежный проигрыш, когда вдруг он внезапно сорвал джекпот (около трех долларов десятицентовыми монетками) окинул меня злобным взглядом и ушел. Именно тогда я задумался о подлинной нумерологии игровых автоматов; и в процессе до меня дошло, что игровые автоматы и мутации бактерий могут многому поучиться друг у друга.

В 1940-х годах не было точно известно, откуда и как возникает устойчивость бактерий к вирусам (и, если уж на то пошло, – к антибиотикам). Реакция ли это бактерий на вирусы или же просто мутации, которые случайно проявили устойчивость? Казалось, что не существует способа провести эксперимент и получить четкий ответ на данный вопрос, – до тех пор пока Лурия не увидел игровой автомат и его не осенило. Лурия понял, что, если он выведет несколько поколений различных колоний бактерий, а затем подвергнет последнее поколение воздействию вируса, он получит один из двух диаметрально противоположных результатов. Если сопротивление было ответной реакцией на вирус, то он мог бы ожидать появления примерно такого же количества резистентных бактерий в каждой из его бактериальных культур, независимо от их происхождения. С другой стороны, если резистентность возникла в результате случайных мутаций, то следовало ожидать чего-то еще более случайного и неравномерного – как выигрыш в автомате. Бактерии из большинства колоний не проявили бы никакой устойчивости к вирусу вообще; некоторые колонии дали бы единственное поколение «внучат», устойчивое к вирусу; и в редких случаях, если бы «правильная» мутация происходила с несколькими поколениями в «генеалогическом древе», это был бы джекпот: все «внуки» в колонии были бы резистентны. Лурия забросил танцы, как только появилась возможность провести данный эксперимент.

После нескольких дней напряженного беспокойного ожидания Лурия вернулся в лабораторию проведать свои колонии бактерий. Джекпот.

Открытие Лурии свидетельствовало о силе случая; оно демонстрировало, как случайные беспорядочные мутации могут привести к устойчивости к вирусам. Но и состоялось оно, по крайней мере отчасти, благодаря случайности. Он оказался в нужном месте в нужное время, когда игровой автомат подал ему новую идею. Многие великие открытия часто рождаются подобным образом: вспомните яблоко Ньютона (возможно, вымышленное); архимедово «Эврика!» в ванне; заброшенную чашку Петри, в которой выросла плесень Penicillium. На самом деле это настолько распространенный феномен, что для его обозначения было придумано специальное слово: в 1754 году Хорас Уолпол ввел термин «серендипность», основываясь на сказке о приключениях трех принцев из Серендипа (старинное название острова Шри-Ланка). Благодаря случайностям и смекалке они постоянно совершали открытия, которых совершать не собирались.

Эта двойная роль случайности – ключевая часть биологии, ключевая часть открытия – неоднократно привлекала внимание психологов, стремящихся найти объяснение творческим способностям человека. Ранним примером этой идеи послужил Уильям Джеймс. В 1880 году, будучи недавно назначенным ассистентом профессора психологии в Гарварде (спустя 10 лет после публикации эпохальных «Принципов психологии»), Джеймс написал статью в Atlantic Monthly «Великие люди и их окружение». Статья начинается с его тезиса:

Замечательная параллель, которая, по моим сведениям, никогда не была описана, существует между фактами социальной эволюции и психического развития нации с одной стороны и зоологической эволюцией, изложенной Дарвином, с другой.

В период написания статьи идея зоологической эволюции была еще свежа: «Происхождение видов» вышла в 1859 году, и сам Дарвин еще был жив. Джеймс рассуждал, как эволюционные идеи можно применить к различным составляющим человеческого общества, и в конце статьи обратился к эволюции идей:

Новые развивающиеся концепции, эмоции и активные тенденции первоначально возникают в виде хаотичных образов, фантазий, случайных всплесков спонтанных изменений функциональной активности излишне нестабильного человеческого мозга, которые внешняя среда подтверждает или опровергает, принимает или отрицает, сохраняет или уничтожает – выбирает, короче говоря, точно так же, как выбирает морфологические и социальные изменения вследствие молекулярных случайностей подобного рода.

Таким образом, Джеймс рассматривал случайность как сердцевину творчества. И он верил, что у наиболее творческих людей она увеличена в разы. «В их присутствии, – писал он, – нас словно бросают в кипящий котел идей, где все шипит и бурлит под действием обескураживающей энергии, где взаимосвязи могут возникать и распадаться в одно мгновение, нет рутинного бега по кругу и неожиданность кажется единственным законом». (Здесь следует отметить тот же «отжиг» интуиции, уходящий корнями в температурные метафоры, где хаотичная перестановка приравнивается к нагреву.)

Современная реализация теории Джеймса проявилась 100 лет спустя в работе психолога Дональда Кэмпбелла. В 1960 году Кэмпбелл опубликовал статью под названием «Слепая вариация и селективный отбор в креативном мышлении, как и в других процессах обработки знаний». Как и Джеймс, он начал свою статью с главного тезиса: «Процесс слепой вариации и селективного отбора имеет основополагающее значение для всех индуктивных достижений, для всех подлинных прорывов в знаниях, для всех внедрений системы в окружающую среду». Так же как и Джеймс, он был вдохновлен эволюцией и воспринимал творческие инновации как результат новых идей, сгенерированных случайным образом и сохраненных проницательными умами человечества. Кэмпбелл щедро подкрепляет свою теорию цитатами из работ других ученых и математиков о процессах, стоящих за их собственными открытиями. В XIX веке физики и философы Эрнст Мах и Анри Пуанкаре высказали схожее с Кэмпбеллом мнение, но Мах пошел дальше и заявил, что «этим объясняются высказывания Ньютона, Моцарта, Рихарда Вагнера и других, когда они говорили, что мысли, мелодии и гармония сами влились в них, а им оставалось только выбрать нужные».

Когда речь заходит о стимулировании творческой деятельности, наиболее распространенный способ – ввести случайный элемент, как, например, слово, к которому нужно придумать ассоциации. Например, музыкант Брайан Ино и художник Питер Шмидт создали набор карточек для решения творческих проблем, известный как «обходные стратегии». Вы случайным образом вытаскиваете карту и получаете новый взгляд на ваши обстоятельства. (Если это покажется вам слишком трудоемким, можете скачать приложение, которое вытащит карту за вас.) Расчет Ино имеет четкие параллели с идеей избегания локальных максимумов:

Когда вы находитесь в самой середине процесса, то можете забыть о некоторых очевидных вещах. Вы выходите из студии и думаете: «Почему мы не подумали сделать то или это?» Они [карты] реально помогают вам выйти за рамки, немного сломать стереотипы. И вот вы уже не группа музыкантов в студии, сосредоточенных на одной песне, а живые люди в большом мире, и вы в курсе многих других вещей.

Будучи случайно вынесенным за рамки и сосредоточившись на более крупных масштабах, вы позволяете себе оставить в стороне то, что было хорошо на локальном уровне, и вернуться к поискам того, что будет оптимальным в глобальном смысле.

И вам не нужно быть Брайаном Ино, чтобы впустить немного случайной стимуляции в свою жизнь. «Википедия», например, предлагает ссылку на случайную статью, и Том в течение нескольких лет использовал ее в качестве домашней страницы в своем браузере, просматривая наугад выбранные «Википедией» статьи каждый раз, когда открывал новое окно. До сих пор это не привело ни к каким сногсшибательным открытиям, зато теперь он обладает разными сомнительными знаниями (например, какие ножи на вооружении у чилийской армии) и полагает, что некоторые из них обогатили его жизнь. (В частности, он узнал, что в португальском языке есть слово, обозначающее «смутное постоянное желание чего-то, что, возможно, не существует на самом деле», – проблема, которую мы до сих пор не можем решить с помощью поисковых систем.) Интересный побочный эффект заключается в том, что теперь он не просто понимает, какого рода темы освещает «Википедия», но и знает, как выглядит случайность на самом деле. Например, страницы, которые на первый взгляд имеют к нему некое отношение, – статьи о людях, которых он знает, или о знакомых местах – показываются с удивительной регулярностью. (Так, в качестве тестовой проверки ему после двух перезагрузок выпала статья «Члены Законодательного совета Западной Австралии, 1962–1965», а Том вырос в Западной Австралии.) Знание, что эти статьи действительно выбираются случайным образом, делает его более подготовленным к прочим совпадениям в его жизни.

В обычной жизни вы можете рандомизировать покупку овощей, если присоединитесь к сельскохозяйственной ферме, поддерживаемой местными общинами, которая будет доставлять вам коробку с продуктами каждую неделю. Как мы убедились ранее, у таких хозяйств обычно наличествуют проблемы с планированием, но получать по подписке фрукты и овощи, которые вы вряд ли купите сами, – это отличный способ выйти за рамки локального максимума привычных надоевших рецептов. Точно так же книжные, винные, шоколадные «наборы месяца» – это путь к новым интеллектуальным, энофилическим и вкусовым возможностям, с которыми вы иначе никогда бы не познакомились.

Вероятно, вас волнует, что принятие решений путем подбрасывания каждый раз монетки может привести к неприятностям, и не в последнюю очередь – с вашим начальством, друзьями и семьей. И действительно, если вы сделаете случайность жизненным фундаментом, это не гарантирует вам успех. Поучительный пример на эту тему показан в культовом романе 1971 года «Дайсмен, или Человек жребия» Люка Райнхарта (настоящее имя – Джордж Кокрофт). Лирический герой романа – мужчина, который заменяет принятие решений броском игральных костей, – довольно скоро оказывается в таких ситуациях, которых большинство из нас предпочли бы избежать.

Но, возможно, причина несчастий кроется в низком уровне информированности. Если бы Дайсмен хотя бы немного смыслил в информатике, у него уже было бы некое руководство к действию. Во-первых, стратегия восхождения на холм: даже если у вас есть привычка иногда действовать в соответствии с плохими идеями, вам все же стоит стараться всегда действовать в соответствии с хорошими. Во-вторых, алгоритм Метрополиса: вероятность вашего следования плохой идее должна быть обратно пропорциональна тому, насколько эта идея плоха. И, в-третьих, имитация отжига: вы ставите на передний план случайность, быстро охлаждаясь из любого состояния, все меньше и меньше полагаясь на случайность с течением времени, дольше всего задерживаясь на достижении стадии заморозки. Закаляйте себя – в буквальном смысле.

Этот последний пункт не ускользнул от внимания автора романа. Кокрофт, как и его герой, по всей вероятности, сам был склонен к «перетасовкам» в жизни: вместе со своей семьей он кочевал на яхте по Средиземному морю, совершая своего рода медленное броуновское движение. В какой-то момент, однако, его график отжига дошел до точки остывания: он осел в своем комфортном локальном максимуме на берегу озера в северной части штата Нью-Йорк. Сейчас ему 80, и он до сих пор живет там, весьма довольный жизнью. «Если однажды вы оказываетесь там, где вы счастливы, – говорил он, – глупо стремиться куда-то еще».

10. Взаимодействие в сетях

Как мы устанавливаем связи

Термин «соединение» имеет множество значений. Он может относиться к физическим или логическим связям между объектами, он может относиться к потоку на пути, он может логически ссылаться на действие, связанное с прокладыванием пути, а может обозначать объединение двух и более объектов, и не важно, есть ли между ними какая-либо взаимосвязь.

Винт Серф и Боб Кан

Просто подключайся.

Э. М. Форстер

Междугородный телеграф начался с предзнаменования: Сэмюэл Ф. Б. Морзе, находясь в кабинете судьи Верховного суда США 24 мая 1844 года, передал по линии своему коллеге Альфреду Вейлу, находящемуся в Балтиморе, стих из Ветхого Завета «Чудны дела твои, Господи». Первое, что мы хотим узнать о любом новом соединении, – с чего и как оно началось, и отсюда уже будем строить предположения о его будущем.

Первый в истории телефонный звонок Александра Белла своему помощнику 10 марта 1876 года начался с небольшого парадокса. «Мистер Уотсон, идите сюда; я хочу вас видеть» – одновременное свидетельство способности и неспособности связи преодолеть физическое расстояние.

А сотовая связь началась с хвастовства: Мартин Купер, инженер компании Motorola, прогуливаясь по Шестой авеню 3 апреля 1973 года, под удивленными взглядами манхэттенских прохожих позвонил своему конкуренту Джоэлю Энгелю из AT&T: «Джоэль, я звоню вам с сотового телефона. Настоящего сотового телефона – карманного, портативного, настоящего сотового телефона». («Я уже не помню, что он тогда ответил, – рассказывает Купер, – но на некоторое время в трубке воцарилась тишина. Думаю, он скрежетал зубами».)

А первое СМС-сообщение началось 3 декабря 1992 года с поздравления: Нил Папворт из Sema Group Telecoms слегка преждевременно пожелал Ричарду Джарвису из Vodafone «Веселого Рождества!».

Начало интернета было более скромным и менее обнадеживающим, чем все вышеописанное. 29 октября 1969 года Чарли Клайн из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе отправил Биллу Дюваллю из Стэнфордского исследовательского института первое в мире сообщение, переданное с одного компьютера на другой через сеть ARPANET. В сообщении было одно слово – login (вход в систему). Вернее, было бы, если бы принимающий компьютер не сломался после слога lo.

Основа человеческих взаимоотношений – протокол, общепринятый условленный свод правил и ожиданий – от рукопожатий и приветствий до этикета, политеса и полного диапазона социальных норм. Взаимосвязь между компьютерами ничем не отличается. Благодаря протоколу мы попадаем на одну и ту же страницу, задав один и тот же адрес. Собственно, слово происходит от греческого protokollon – «первый клей», удерживающий внешнюю страницу рукописи или манускрипта.

В межличностных делах эти протоколы служат неявным, но неиссякающим источником беспокойства. Я отправил такое-то сообщение столько-то дней назад; в какой момент я могу начать подозревать, что они никогда его не получат? Сейчас 12:05, а мы договаривались созвониться в полдень; неужели каждый из нас ждет, что звонить будет другой? Ваш ответ какой-то странный; это я ослышался или вы не то говорите? Что вы сказали?

Большинство наших коммуникационных технологий – от телеграфа до СМС – просто снабдили нас новыми каналами для уже знакомых нам межличностных противоречий. Но с появлением интернета компьютеры стали не просто каналами, но еще и конечными пунктами – теми, кто обеспечивает связь. В связи с этим им нужно также нести ответственность за решение их собственных коммуникационных задач. Эти межкомпьютерные проблемы – и пути их решения – одновременно имитируют и освещают наши собственные.

Пакетная коммутация

То, что мы привыкли называть интернетом, на самом деле – набор протоколов, но главным среди них (настолько, что он уже стал плюс-минус синонимом слова «интернет») является управляющий протокол передачи, или TCP (Transmission Control Protocol). Его «родителями» в 1973–1974 годах стали Винтон (Винт) Серф и Роберт (Боб) Кан, которые предложили ввести язык – как им хотелось назвать его – межсетевого общения.

Для TCP изначально использовались телефонные линии, но целесообразнее было бы воспринимать это как эволюцию почты, а не телефона. В телефонной связи используется так называемая коммутация каналов: система открывает канал между отправителем и получателем, который поддерживает постоянную ширину полосы частот между сторонами в обоих направлениях все время, пока длится разговор. Коммутация каналов играет большую роль в человеческих взаимоотношениях, но уже в 1960-х годах стало ясно, что для межкомпьютерных коммуникаций она работать не будет.

Как вспоминает Леонард Клейнрок из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе:

Я знал, что компьютеры «говорят» не так, как я сейчас, – непрерывно. Происходит выброс, и затем на какой-то период наступает затишье. Спустя некоторое время – вдруг снова выброс. И вы не можете позволить себе обеспечить коммуникационное соединение с чем-то, что почти никогда не разговаривает, но если вдруг хочет поговорить, то требует немедленного доступа. Поэтому нам пришлось использовать не телефонную сеть, созданную для непрерывных продолжительных разговоров, – сеть с коммутацией каналов, а нечто иное.

Телефонные компании, в свою очередь, не горят желанием что-то кардинально менять в своих протоколах. Отойти от коммутации каналов казалось безумием, «полнейшей ересью», как выразился сетевой исследователь Ван Якобсон. Клейнрок вспоминает собственное столкновение с телекоммуникационной отраслью:

Я обратился в AT&T, крупнейшую сеть того времени, и попытался объяснить им: мол, парни, вам бы следовало обеспечить нам хорошую передачу данных! И они такие: «Ты вообще о чем?! Штаты – это медный рудник, у нас полно телефонных проводов, вот и пользуйтесь ими!» Я им: «Нет-нет, вы не понимаете! Чтобы установить вызов, требуется 35 секунд, вы даете мне минимум 3 минуты, а мне нужно отправить 100 миллисекунд данных!» Ответ был: «Мальчик, иди отсюда». Ну, мальчик ушел и вместе с другими мальчиками разработал эту технологию, пока они жевали свой обед.

Технология, пришедшая на смену коммутации каналов, получила название пакетной коммутации. В сети с коммутацией пакетов, в отличие от выделенного канала для каждого соединения, отправители и получатели дробят свои сообщения на мелкие частицы, называемые пакетами, и сливают их в общий поток данных. Получаются своего рода открытки, движущиеся со скоростью света.

В такой сети «то, что вы называете соединением, является согласованной иллюзией между двумя конечными точками», объясняет сетевой эксперт Apple Стюарт Чешир. «В интернете не существует соединений. Говорить о соединениях в интернете – все равно что говорить о соединениях в американской почтовой системе. Вы посылаете людям письма, и каждое письмо идет независимо друг от друга. Вы можете иметь многолетнюю непрерывную переписку с кем-то, но почте США нет до этого никакого дела… Они просто доставляют письма».

Эффективное использование полосы пропускания было не единственным фактором продвижения исследований пакетной коммутации в 1960-х годах; другим стала ядерная война. Пол Баран из корпорации RAND пытался решить проблему устойчивой работы сети, чтобы военные коммуникации могли пережить ядерный удар, который разрушил бы бóльшую часть сетей. Вдохновленный алгоритмами, разработанными в 1950-х годах для навигационных комплексов, Баран придумал модель, в которой каждая частица информации могла бы независимо двигаться к пункту своего назначения, даже когда сеть динамично меняется – или вовсе рвется в клочья.

Это был еще один дефект коммутации каналов и их узкоспециализированных устойчивых соединений: столь высокая устойчивость означала, что сброшенный вызов так и останется сброшенным. Коммутация каналов просто не была гибкой или достаточно адаптируемой, чтобы быть надежной. И в этом случае пакетная коммутация снова могла предложить то, что было востребовано временем. В сетях с коммутацией каналов вызов прекращается, если разрушается одно из звеньев цепи, и это значит, что надежность падает в геометрической прогрессии по мере того, как расширяется сеть. С другой стороны, в пакетной коммутации увеличение числа путей в растущей сети становится положительной чертой: появляется так много путей передачи данных, что надежность сети растет в геометрической прогрессии по мере ее расширения.

Тем не менее, даже когда пакетная коммутация была разработана, это не впечатлило телефонные компании. «Все специалисты из отрасли телекоммуникаций громко говорили, что это не сеть! Это убогая попытка использовать нашу сеть! Вы берете наши провода, вы посылаете данные по каналам, которые мы создали! Вы нагромождаете столько всякой дряни, что даже не можете эффективно их использовать!» Но с точки зрения пакетной коммутации телефонные провода являются лишь средством достижения цели; отправителю и получателю, в сущности, все равно, каким образом доставляются пакеты. Способность агностически оперировать любым количеством различных носителей – вот огромное достоинство пакетной коммутации. После того как в конце 60-х – начале 70-х годов первые сети, такие как ARPANET, доказали свою жизнеспособность, сети всех мастей накрыли страну, осуществляя пакетную коммутацию не только по медным телефонным проводам, но и с помощью спутников, и даже радио. В 2001 году компьютерщики из норвежского города Бергена на короткое время даже внедрили сеть пакетных коммутаций «птичья почта», когда пакеты писались на бумаге и привязывались к лапкам голубей.

Разумеется, в сфере пакетных коммутаций есть свои проблемы. В первую очередь один из основных вопросов любого протокола – человеческого или компьютерного – довольно очевиден: как узнать, что ваше сообщение дошло до адресата и было понято?

Признание

Ни одна передача не может быть на 100 % надежной.

Винт Серф и Боб Кан

Фраза «Чудны дела твои, Господи» была не просто первым сообщением, переданным на большое расстояние. Она была также и вторым: Альфред Вейл отправил эту цитату обратно Морзе в палату Верховного суда как способ подтвердить получение.

Ответ Вейла убедил Морзе и собравшихся вокруг него членов Законодательного собрания в том, что его сообщение было получено (предполагалось, конечно, что Вейл не знал заранее, каким будет текст сообщения). Но как Вейл мог убедиться, что его подтверждение достигло адресата?

Программисты знают это понятие как проблему византийских генералов. Представьте себе двух генералов на противоположных концах долины, в которой расположился их общий враг. Генералы пытаются скоординировать атаку. Только в случае идеальной синхронизации их действия увенчаются успехом, потому что атаковать в одиночку – это самоубийство. Дело осложняется тем, что все сообщения от одного генерала к другому должны быть переданы из рук в руки через всю долину, которая полна врагов, то есть существует вероятность, что сообщение никогда не будет доставлено.

Допустим, первый генерал предлагает время для атаки, но не начнет ее, не будучи уверенным, что второй генерал выдвинулся ему навстречу. Второй принимает приказ и отправляет обратно подтверждение. Но он не будет атаковать, если не будет точно знать, что первый генерал это подтверждение получил (так как в противном случае первый не выступит). Первый генерал получил подтверждение, но не будет атаковать, пока не будет уверен, что второй об этом знает. Следование этой логической цепочке подразумевает бесконечные серии сообщений и, очевидно, ни к чему не приведет. Коммуникация – одна из тех восхитительных вещей, которые работают только на практике; в теории это невозможно.

В большинстве случаев последствия ошибок в коммуникации редко бывают столь плачевными, а потребность в уверенности столь абсолютной. В TCP сбой обычно приводит к повторной передаче данных, а не к смерти, поэтому его обычно достаточно для сеанса, который называют тройным рукопожатием. Посетитель говорит «привет», сервер принимает это «привет» и говорит «привет» в ответ, посетитель принимает, и если сервер получает вот это третье сообщение, то никакого дальнейшего подтверждения уже не требуется. Но даже после того, как это первичное соединение выполнено, остается риск, что последующие пакеты могут быть повреждены, утеряны в процессе передачи или доставлены испорченными. Доставка почтовых отправлений может быть подтверждена уведомлением о вручении; доставка же пакетов онлайн подтверждается тем, что называется пакетами подтверждения, или ACK. Они имеют решающее значение для функционирования сети.

Принцип работы ACK одновременно прост и детально продуман. Помимо сценария тройного рукопожатия, каждый компьютер дает другому нечто вроде серийного номера (и было условлено, что после отправления каждого пакета этот серийный номер увеличивается на единицу, как номера чеков в чековой книжке). К примеру, если ваш компьютер инициирует связь с веб-сервером, он должен отправить этому серверу, скажем, число 100. Посылаемый сервером АСК в свою очередь указывает серийный номер, с которого будут начинаться все отправляемые сервером пакеты (например, 5000), и также сообщает: «Готов к 101». АСК вашего компьютера получает число 101 и передает: «Готов к 5001». (Имейте в виду, что обе эти схемы нумерации независимы друг от друга и число, с которого начинается последовательность, как правило, выбирается случайным образом.)

Такой механизм действия позволяет с точностью определить, в какой момент пакеты сбились с пути. Если сервер ожидает 101, а вместо этого получает 102, он отправит АСК к пакету 102, который все еще гласит: «Готов к 101». Если в ответ он получит следующий пакет 103, то он снова напомнит: «Готов к 101». Три подобных внеочередных АСКа дадут вашему компьютеру сигнал, что 101 не просто задерживается, а безвозвратно потерялся, и он повторно отправит этот пакет. На этот раз сервер (который сохранил пакеты 102 и 103) отправит АСК «Готов к 104», сигнализирующий о том, что последовательность была восстановлена.

Все эти подтверждения дают в сумме значительный объем трафика. Мы представляем себе, например, передачу объемного файла как одностороннюю операцию, но на самом деле реципиент посылает обратно отправителю сотни контрольных сообщений. Отчет, составленный в конце 2014 года, показал, что почти 10 % восходящего направления интернет-трафика в часы пик приходится на Netflix[33], о котором мы привыкли думать, что он отправляет данные исключительно в нисходящем направлении, к пользователям. Но все эти видео производят огромное количество АСКов.

В сфере человеческих отношений беспокойство о том, что сообщение действительно дошло до собеседника, пронизывает весь разговор. Говорящий может неосознанно прибавлять «понимаешь» в конце каждого предложения, а слушатель в свою очередь не может удержаться от кивков и бесконечного потока междометий «ну», «да-да», «согласен», «понял», «угу». Мы делаем это даже в личном разговоре, а уж в беседе по телефону это зачастую единственный способ дать понять собеседнику, что вы еще не отключились и продолжаете слушать. Неудивительно, что самой успешной в XXI веке маркетинговой кампанией оператора беспроводной связи стала повторяемая вновь и вновь крылатая фраза инженера сетевого контроля качества: «Ты меня слышишь?!»

Когда что-то в этой словесной баталии идет не так, мы нередко недоумеваем. Как говорит блогер и разработчик программного обеспечения Тайлер Трит:

В распределенной системе мы стараемся гарантировать доставку сообщения, ожидая подтверждения, что оно было получено, но в любой момент что-то может пойти не так. Было ли сообщение сброшено? Был ли сброшен АСК? Сломался ресивер? Или просто все тормозит? Сеть тормозит? Или это я торможу?

В задаче, с которой сталкиваются византийские генералы, напоминает он нам, «дело не в сложности разработки, а в невозможности результата».

Ранние сетевые исследования, замечает Винт Серф, основывались на предположении, что «мы можем построить надежную сеть». Но, с другой стороны, «интернет был основан на предположении, что сеть вовсе не обязательно должна быть надежной, и приходилось осуществлять непрерывные повторные передачи для возобновления соединения».

По иронии судьбы, одно из немногих исключений – это передача человеческого голоса. Голосовые коммуникации в режиме реального времени, такие как Skype, например, обычно не используют протокол TCP, который лежит в основе большей части интернета. На заре сетевых коммуникаций исследователи обнаружили, что передавать человеческий голос, используя надежные, устойчивые протоколы со всеми их АСК и повторными передачами утерянных данных, убийственно. Люди сами обеспечивают «ошибкоустойчивость». Как объясняет Серф, «в случае с речью, если пакет теряется, вы просто говорите: "Повтори еще раз, пожалуйста, я что-то пропустил"».

По этой причине услуги телефонной связи, которые автоматически снижают фоновые помехи до тишины, оказывают своим абонентам медвежью услугу. Фоновые помехи являются свидетельством того, что звонок еще не прерван, и любое молчание – это осознанный выбор другой стороны. Когда их нет, приходится учитывать возможность прерывания соединения и постоянно просить подтверждения, что связь еще есть. Поводом для беспокойства во всех протоколах пакетной коммутации также служит тот факт, что любое средство передачи основывается на асинхронном режиме очередности – будь то написание писем, текстовых сообщений или пробные переписки на сайтах знакомств. Каждое сообщение может быть последним, и зачастую невозможно определить, взял ли собеседник паузу для ответа или давно уже закончил разговор.

Так как же обращаться с человеком (или с компьютером), если общение столь ненадежно?

Первый вопрос заключается в том, сколько времени должно пройти в ожидании ответа, прежде чем мы можем смело констатировать сбой. Отчасти это зависит от вида самой сети: в телефонном разговоре наше волнение – вопрос нескольких секунд, в переписке по электронной почте – нескольких дней, а в обычном почтовом сообщении – нескольких недель. Чем длиннее путь от отправителя к получателю и обратно, тем дольше можно не обращать внимания на молчание – и тем больше информации может потенциально находиться в стадии доставки, прежде чем отправитель понимает, что что-то не так. В сетевой работе тот факт, что стороны могут должным образом корректировать свои ожидания с учетом своевременности реагирования, является ключевым моментом правильного функционирования системы.

Второй же вопрос, разумеется, заключается в том, что нам нужно делать, когда мы обнаруживаем сбой.

Экспоненциальная задержка: алгоритм прощения

Слово «илунга» из языка тшилуба, на котором говорят на юго-востоке Республики Конго, является самым труднопереводимым в мире. «Илунга» означает «человек, который готов на первый раз простить любое оскорбление, вытерпеть его во второй раз, но уж в третий – ни за что».

Из новостей ВВС

Если с первого раза не получается, Пробуй, пробуй снова.

Т. Х. Палмер

Мы рассчитываем, что все современные устройства будут беспроводными, даже если в этом нет необходимости: мышка и клавиатура, например, подключены к компьютеру по беспроводному соединению, хотя находятся в паре дюймов друг от друга. Но изначально беспроводные сети возникли именно по необходимости, там, где провода не могли бы справиться с задачей: на Гавайях. В конце 60-х – начале 70-х годов Норман Абрамсон в Гавайском университете в Гонолулу пытался связать между собой семь университетских кампусов и несколько научно-исследовательских институтов, расположенных на четырех островах за сотни миль друг от друга. Он додумался до реализации пакетной коммутации с помощью радио, а не телефонной системы, соединив острова цепью приемников и передатчиков. Эта сеть впоследствии получила название ALOHAnet.

Самым большим препятствием в работе ALOHAnet были помехи. Случалось, что две станции начинали передачу одновременно, непреднамеренно заглушая сигналы друг друга. (Это также нередко происходит и в диалогах между людьми.) Если обе станции будут повторно передавать сигналы, чтобы все-таки доставить свои сообщения, они рискуют навсегда застрять в постоянных взаимных помехах. Ясно, что протокол ALOHAnet должен был урегулировать сообщения конкурирующих сигналов, чтобы они уступали канал друг другу и приносили результат.

Первое, что отправитель в этом случае должен сделать, это «нарушить симметрию». Любому пешеходу знакома ситуация, когда двое идущих навстречу человека, пытаясь разойтись, принимают один вправо, другой влево, в итоге синхронно отклоняются в одну и ту же сторону, а потом, пытаясь исправить дело, столь же синхронно делают шаг в другую. Схожая ситуация возникает, когда оба участника диалога вдруг замолкают, уважительно уступая право голоса другому, а затем одновременно начинают говорить; или когда на перекрестке два автомобиля сперва останавливаются, уступая друг другу, а затем синхронно газуют. Это та сфера, где рандомизация имеет большое значение. Более того, существование сетей было бы невозможным без нее.

Простейший способ нарушить симметрию – заставить каждую станцию работать по принципу подбрасывания монетки: орел – ретрансляция, решка – пропуск хода, а потом ретрансляция. Несомненно, одна из них справится через какое-то время. Но это хорошо работает, если отправителей всего два. А если будет три одновременных сигнала? А четыре? Шанс получить хотя бы один пакет будет в этом случае один к четырем (после чего все равно останутся еще три конфликтующие станции и еще больше конкурирующих сигналов, поступающих в одно и то же время). Число конфликтов будет расти, и рано или поздно пропускная способность сети может просто рухнуть. В отчете по ALOHAnet 1970 года говорится, что едва средний коэффициент загруженности радиоволн превысит границу в 18,6 %, как «канал становится нестабильным… и среднее число повторных передач становится неограниченным». Что не есть хорошо.

Так что же делать? Как создать систему, которая сможет избежать этой участи?

Важным открытием оказалось увеличение средней задержки после каждого следующего провала, в частности удвоение предполагаемой отсрочки перед повторной передачей. Таким образом, после первоначального провала отправитель случайным образом повторит отправку через один или два хода; после второй неудачи он повторит попытку через 1–4 хода; третья подряд ошибка будет означать задержку в 1–8 ходов и т. д. Этот оригинальный подход позволяет сети принимать теоретически любое количество конкурирующих сигналов. Поскольку максимальная длина отсрочки растет в геометрической (экспоненциальной) прогрессии (2, 4, 8, 16…), этот метод получил название «экспоненциальная задержка».

Экспоненциальная задержка сыграла огромную роль в самом начале успешного функционирования ALOHAnet в 1971 году, а в 1980-х она была внедрена в протокол ТСР, став важной частью интернета (и она до сих пор является таковой). Как гласит один важный документ, «для порта, встроенного в сеть неизвестной топологии, с неизвестным, непознаваемым и постоянно меняющимся количеством конкурирующих диалогов, только одна схема имеет шансы на успех – экспоненциальная задержка». Но есть и другое применение данного алгоритма, более директивное и более значительное. Помимо избегания столкновений, экспоненциальная задержка стала способом обработки почти всех случаев падения сети или ее ненадежности, применяемым по умолчанию. Например, когда ваш компьютер пытается зайти на сайт, который, похоже, не грузится, он использует экспоненциальную задержку, совершая повторные попытки секундой позже, потом – спустя еще несколько секунд после этого и так далее. Это хорошо для всех участников процесса: такой подход предотвращает ситуацию, в которой хост-сервер выйдет из строя под валом повторных запросов, стоит ему едва только заработать вновь, а компьютер не тратит впустую слишком много усилий, чтобы выжать кровь из камня. Но что интересно, это к тому же не заставит ваш компьютер (да и не даст ему) вовсе прекратить попытки.

Экспоненциальная задержка также является важным звеном сетевой безопасности: последовательное неоднократное введение неверного пароля при попытке войти в свой аккаунт штрафуется экспоненциально возрастающим временем блокировки. Это предотвращает попытки хакеров атаковать аккаунт «перебором по словарю», подбирая пароль за паролем до тех пор, пока в конце концов не повезет. В то же время решается еще одна задача: реальный владелец аккаунта, каким бы забывчивым он ни был, не рискует навсегда быть заблокирован после произвольного выключения из работы.

В нашем же обществе мы склонны предоставлять людям некоторое количество шансов, прежде чем окончательно сдаться. Три попытки – и выбываешь из игры. Эта модель по умолчанию превалирует в любой ситуации, где идет речь о прощении, снисхождении или упорстве. Проще говоря, там, где мы, вероятно, делаем что-то неправильно.

Одна наша подруга недавно вспоминала своего друга детства, у которого была обескураживающая привычка ломать все планы. Что же делать? Решить, что с нее довольно и пора раз и навсегда закончить эти отношения? Это казалось необоснованным и жестким вариантом, но и продолжать постоянно менять свои планы было глупо, это привело бы к бесчисленным разочарованиям и впустую потраченному времени. Выход: экспоненциальная задержка по ставке приглашений. Попробуйте перенести дату на неделю позже, потом на две, потом на четыре, потом на восемь. Показатель повторной передачи стремится к нулю, но при этом вам не приходится окончательно ставить точку.

Другая знакомая мучительно решала, не предложить ли защиту и финансовую поддержку родственнику-наркоману. Она не в силах была расстаться с надеждой, что он сможет измениться, а мысль раз и навсегда отвернуться от него была для нее невыносимой. Но она также не могла заставить себя делать все то, что требовалось бы для совместного проживания с ним (покупать ему одежду, готовить ему, заново открывать для него банковские счета, отвозить его на работу каждое утро), зная, что в самый неожиданный момент он мог забрать из дома все деньги и исчезнуть, чтобы спустя несколько недель позвонить с просьбой простить его и принять обратно. Это был жестокий и невозможный выбор.

Экспоненциальная задержка не будет волшебной панацеей в подобных ситуациях, но она может предложить возможный вариант действий. Требование экспоненциально возрастающего периода трезвости может стать сдерживающим фактором против повторного нарушения правил совместного проживания. Это заставит члена семьи еще более усердно доказывать серьезность своих намерений вернуться и защитит хозяйку дома от постоянного стресса в случае срыва. И, что еще важнее, у хозяйки не будет повода заявить своему родственнику, что она навсегда отказывается от него или что он – отрезанный ломоть без надежды на улучшение. Этот метод предлагает нам путь к ограниченному терпению и бесконечному милосердию. Может, нам и не нужно выбирать.

По факту в последнее десятилетие наблюдается тихая революция в том, как сама система правосудия осуществляет административный надзор за наркоторговцами без изоляции их от общества. Во главе этой революции стоит экспериментальная программа под названием «НАДЕЖДА», которая использует принципы экспоненциальной задержки ALOHAnet и которая – поразительное совпадение! – зародилась на родине самого ALOHAnet'а – в Гонолулу.

Вскоре после принятия присяги в Первом окружном суде на Гавайях судья Стивен Альм обратил внимание на странную картину. Участники программы неоднократно нарушали условия своего испытательного срока, а окружные судьи, регулярно пользуясь своими особыми полномочиями, отпускали их с предупреждением без наказания. Но в какой-то момент, вероятно после дюжины-другой нарушений, судья принимал решение быть строгим и приговаривал нарушителя к нескольким годам тюремного заключения. Альм вспоминает: «Я подумал: что за идиотский способ заставить кого-то изменить свое поведение!» И Альм предложил нечто практически противоположное. Вместо слушаний о нарушениях, расписанных на месяцы вперед, требующих непонятных вызовов в суд и иногда завершающихся значительными санкциями, «НАДЕЖДА» практикует немедленные, заранее установленные наказания, которые начинаются с одного дня в тюрьме, и срок этот увеличивается после каждого инцидента. Пятилетнее исследование Департамента юстиции доказало, что подопечных «НАДЕЖДЫ» арестовывали за новые преступления или отзывали с испытательного срока в два раза реже, чем обычных участников программы. И наркотики они употребляли на 72 % реже. Семнадцать штатов последовали примеру Гавайев и запустили свои собственные версии «НАДЕЖДЫ».

Управление потоком и предотвращение перегрузки

Первые усилия в построении компьютерных сетей были сосредоточены на обеспечении надежной передачи сообщений посредством ненадежных соединений. Эти усилия оказались вполне успешными. Таким образом, сразу же возникла вторая забота: необходимо было удостовериться, что перегруженная сеть сможет избежать катастрофического обвала. Только-только TCP-протоколу (протокол управления передачей) удалось решить проблему с доставкой информации из пункта А в пункт Б, как он столкнулся с новой проблемой – затором.

Первое значимое предупреждение появилось в 1986 году на линии, соединяющей Национальную лабораторию Беркли им. Э. Лоуренса и студенческий городок Университета Беркли, находящиеся друг от друга на расстоянии длины футбольного поля. (В Беркли пространство действительно занято настоящим футбольным полем.) Однажды пропускная способность линии резко упала с привычных 32 000 бит в секунду до 40 бит в секунду. Пострадавшие в этой ситуации Ван Джейкобсон из LBL и Майкл Карелс из UCB «были поражены этим внезапным тысячекратным падением и решили выяснить, что стало причиной произошедшего».

В то же время до них доходило роптание и других сообществ, работающих в сети, которые тоже сталкивались с подобной проблемой. Джейкобсон начал исследовать базовый код. «Возможно, виной всему ошибка в протоколе? – думал он. – Все было в порядке, даже когда масштаб испытаний был гораздо меньше, а потом внезапно произошел обвал».

Одно из самых существенных различий между коммутацией абонентских линий и коммутацией пакетов проявляется исключительно в условиях перегрузки. В коммутации абонентских линий система или принимает запрос на канал, или прямо отклоняет его, если запрос не может быть обслужен. Поэтому, если вам когда-нибудь приходилось пользоваться телефоном в некое пиковое время, вы слышали сообщение автоответчика: «Все линии заняты».

Коммутация пакетов – кардинально иная история. Телефонная система переполняется, почтовая система начинает тормозить. К сожалению, не существует специальных возможностей или сигналов, чтобы сообщить отправителю, сколько еще отправителей посылают информацию в данный момент или насколько загружена система в определенный момент, при этом уровень загрузки постоянно меняется. Таким образом, отправитель и получатель должны не просто коммуницировать, а метакоммуницировать: им необходимо понять, как быстро информация должна быть отправлена. Так или иначе, смешанные потоки пакетов, находящиеся вне явного управления или координации, должны освободить друг другу путь и быстро воспользоваться любым освободившимся пространством.

Результатом детективного расследования Джейкобсона и Карелса стал набор обновленных алгоритмов контроля потоков и предотвращения перегрузок – одна из самых глобальных модификаций в протоколе TCP за 40 лет.

В основе контроля перегрузок протокола TCP лежит алгоритм аддитивного увеличения, мультипликативного уменьшения (АУМУ). Прежде чем АУМУ вступает в игру, новое соединение будет агрессивно наращивать свою скорость передачи данных: если первый пакет успешно получен, оно направит еще два, если и они успешно получены, то соединение вышлет еще четыре и т. д. Но как только подтверждение приема не возвращается к отправителю, АУМУ начинает действовать. Согласно этому алгоритму любой полностью полученный набор пакетов приводит не к удвоению передаваемых пакетов, а к сокращению их числа на один, а недоставленные пакеты сокращают скорость передачи вполовину (отсюда и название алгоритма). В сущности, действие алгоритма похоже на указания «еще немного, еще немного, еще немного, о-о-о, слишком много, немного меньше, о'кей, немного больше, еще немного больше…». Таким образом, это приводит к форме частотного диапазона, известного как пилообразный TCP (равномерные подъемы вверх, прерываемые резкими падениями).

Так почему происходит такой четкий асимметричный спад? Как объясняли Джейкобсон и Карелс, в первый раз АУМУ вступает в игру, как только соединение теряет первый пакет в своей агрессивно нарастающей фазе. Поскольку эта первоначальная фаза привела к двукратному увеличению скорости передачи с каждым успешно переданным пакетом, решение урезать скорость вдвое, как только появляется проблема, выглядит вполне логичным. И если соединение вновь начинает давать сбой после того, как заработает, это происходит, скорее всего, потому, что какое-то новое соединение сражается за сеть. Наиболее консервативная оценка данной ситуации (буквально предположим, что вы единственный человек, использующий сеть, и теперь второй человек забирает половину ваших ресурсов) также приводит к урезанию наполовину. Консерватизм здесь необходим: сеть может стабилизироваться, только если ее пользователи перестанут с ней работать на скорости, равной скорости передачи данных, когда сеть перегружается. По той же причине исключительно аддитивное увеличение помогает стабилизировать сеть для всех, предупреждая возникновение быстрых циклов «перегрузка – восстановление».

Хотя такое четкое разделение между сложением и умножением вряд ли можно обнаружить в природе, пилообразный характер TCP находит некоторое отражение в различных областях, где основная идея заключается в том, чтобы один некто мог взять ровно столько, сколько требуется.

Например, в рамках довольно неожиданного сотрудничества в 2012 году эколог Стэнфордского университета Дебора Гордон и программист Балажи Прабхакар выяснили, что муравьи разработали свои алгоритмы контроля потока за миллионы лет до людей. Подобно компьютерной сети, колония муравьев сталкивается с проблемой распределения, пытаясь организовать свой «поток» (в данном случае поток муравьев, направляющихся на поиски пищи) в различных условиях, способных резко повлиять на скорость, с которой муравьи могут успешно вернуться с поисков. И, подобно компьютерам в интернете, муравьи должны решить эту общую проблему без лидера вместо того, чтобы развивать, как обозначила Гордон, «контроль без иерархии». Оказывается, что и решение у муравьев похожее: цикл с обратной связью, в котором успешные добытчики должны быстрее покинуть муравейник, а менее успешным возвращающимся приходится сокращать их поисковую активность.

В поведении других животных тоже работает принцип контроля потока протокола TCP с характерной пилообразной формой работы. Белки и голуби в поисках объедков человеческой пищи то приближаются на шаг, то внезапно отпрыгивают назад, затем снова неуклонно подбираются ближе. Не исключено, что и человеческие коммуникации сами по себе отражают те самые протоколы, которые передают их: ответ на каждое текстовое сообщение или электронное письмо побуждает к отправке новых сообщений, в то время как каждое неотвеченное сообщение прерывает поток.

В более широком смысле АУМУ предлагает подход для многих жизненных ситуаций, в которых мы пытаемся распределить ограниченные ресурсы в неопределенных и «плавающих» условиях.

Шуточный принцип Питера, озвученный в 1960-е годы профессором Лоуренсом Питером, утверждает, что «каждый сотрудник склонен подняться до своего уровня некомпетентности». Идея заключается в том, что при иерархической организации любой, выполняющий свою работу эффективно, будет награжден повышением на новую должность, что может повлечь за собой более сложные и/или новые задачи и вызовы. Когда работник наконец получает ту роль, в которой он не показывает высоких результатов, его движение по карьерной лестнице останавливается, и он остается в этой должности до конца своей карьеры. Таким образом, согласно принципу Питера получается, что каждое место в организации в конце концов будет занято кем-то, кто плохо справляется со своей работой. Примерно за 50 лет до появления формулировки Питера, в 1910 году, испанский философ Хосе Ортега-и-Гассет высказал такую же мысль. «Каждый чиновник должен быть незамедлительно понижен в должности, – писал он, – поскольку они получали повышение до тех пор, пока не стали некомпетентными».

Некоторые организации попытались использовать принцип Питера, просто увольняя сотрудников, которые не демонстрировали прогресса. Так называемая система Крэвет, изобретенная ведущей юридической фирмой Cravath, Swaine & Moore, подразумевает почти исключительный наем недавних выпускников на самые низкие должности, за которым следует либо повышение, либо увольнение. В 1980 году Вооруженные силы США начали использовать похожий принцип «вверх или за дверь» с принятием Закона о прохождении службы офицерским составом ВС. В Соединенном Королевстве подобным образом применялась политика контроля комплектования.

Есть ли какая-то альтернатива, какая-либо золотая середина между институциональной стагнацией принципа Питера и драконовскими мерами политики «вверх или за дверь»? Алгоритм АУМУ может предложить именно такой подход, поскольку он предназначен именно для работы в условиях переменчивой окружающей среды и обстоятельств. Компьютерная сеть должна справляться со своей максимальной пропускной способностью, плюс скоростью передачи данных своих клиентов, каждая из которых может быть непредсказуемо неустойчивой. Аналогичным образом коммерческая компания обладает ограниченным количеством средств для оплаты операций, а каждый работник или продавец имеет ограниченные возможности в части объема работ, которые он может сделать, и ответственности, с которой он может справиться. Потребности, возможности и партнерские взаимоотношения всегда переменчивы.

Урок, который преподносит нам пилообразный характер протокола TCP, заключается в том, что в непредсказуемой и изменчивой окружающей среде, подталкивая процессы до точки сбоя, мы иногда действительно наилучшим (и единственно правильным) образом используем ресурсы по максимуму. Что действительно важно, так это убедиться, что реакция на сбой является одновременно четкой и стабильной. Согласно АУМУ, каждое соединение, которое работает без срыва, ускоряется до тех пор, пока не происходит срыв – тогда оно урезается вполовину и сразу же начинает снова ускоряться. И хотя это нарушило бы почти каждую норму современной корпоративной культуры, можно представить корпорацию, в которой ежегодно каждый сотрудник либо получает повышение на один шаг вверх, либо же спускается на часть пути назад по карьерной лестнице.

Коварный принцип Питера, по мнению его автора, возникает в корпорациях из-за «первой заповеди иерархического уклада: иерархия должна быть сохранена». Протокол TCP, в противоположность этому, учит добродетели гибкости. Компании говорят о горизонтальных и вертикальных иерархиях, в то время как они могли бы обсуждать динамические иерархии. В соответствии с действием алгоритма АУМУ никто долго не беспокоится о перегрузке и не обижается надолго, если не получил повышение. И то и другое – лишь временные коррективы, и система почти всегда находится в равновесии, несмотря на то что все, окружающее ее, меняется постоянно. Возможно, в один прекрасный день мы сможем поговорить не о подъеме своей карьеры, а скорее, о ее пилообразной траектории.

Закрытые каналы: управление потоками в лингвистике

При изучении процессов управления потоками в компьютерных сетях становится понятно, что пакеты ACK не только подтверждают передачу данных, но и формируют контуры всего взаимодействия, его ход и темп. Это лишний раз демонстрирует важность обратной связи в коммуникации. В действии протокола TCP, как мы ранее наблюдали, нет понятия односторонней передачи данных: без систематической обратной связи отправитель замедлит дальнейшее отправление информации практически сразу же.

Любопытно, что растущее понимание критической роли обратной связи в части работы компьютерных сетей отражает ряд практически идентичных достижений, которые параллельно произошли в лингвистике. В середине ХХ века в лингвистике доминировали теории Ноама Хомского, согласно которым считалось, что язык существует в своем наиболее близком к идеалу состоянии в виде свободных, грамматически точных, цельных предложений, как будто вся коммуникация происходит в письменном виде. Но появившаяся в 1960–1970-е годы волна интереса к практическим аспектам устной речи показала, насколько сложны и трудноуловимы процессы, которые управляют сменой коммуникативных ролей, прерыванием и составлением предложения или истории без подготовки, если необходимо следовать реакции слушателя. В результате появилось представление о том, что даже формат нарочито односторонней коммуникации имеет характер взаимодействия. Как писал лингвист Виктор Ингви в 1970 году, «по сути, и человек, к которому переходит коммуникативная очередь, и его партнер одновременно вовлечены в процессы говорения и слушания. Причина этого заключается в существовании, как я это называю, закрытого канала, по которому человек, говорящий в данный момент, получает короткие сообщения вроде "да" или "м-м-м, ого" без передачи очереди».

Исследование закрытых каналов открыло новые горизонты для области лингвистики, что привело к полной переоценке динамики коммуникации, а именно роли слушателя. В одном достаточно показательном исследовании команда под руководством Дженет Бейвелас в Викторианском университете изучала, что происходит, если человек, слушающий личную историю другого, отвлекается: не в плане того, что случается с пониманием слушателя, но что происходит с самой историей. При слабой обратной связи история теряет смысл.

Ораторы, которые рассказывали неприятные истории рассеянным слушателям… крайне невыразительно излагали ту часть, где должна была быть драматическая развязка. Окончания историй резко обрывались, или же рассказчики ходили по кругу и повторяли окончание несколько раз.

Мы все не раз сталкивались с тем, что взгляд человека, с которым мы разговариваем, начинал блуждать (например, перемещался на экран смартфона), заставляя нас гадать, не наши ли слабые ораторские навыки тому виной. По сути, сейчас становится очевидным, что причина и следствие могут поменяться местами: слабый рассказчик сам портит историю.

Изучение точной функции и значения закрытых каналов коммуникации между людьми до сих пор остается сферой активных исследований. Например, в 2014 году профессор Джексон Толинс и Жан Фокс Три из Университета Санта-Круз показали, что все эти «ух», «да», «хм-м-м» и «ох», которые пронизывают всю нашу речь, исполняют четкую роль в регулировании информационного потока от говорящего к слушающему – и скорость передачи информации, и степень ее детализированности. В самом деле, они абсолютно так же критичны, как пакеты ACK в работе протокола TCP. Как писал Толинс, «на самом деле, в то время как некоторые люди могут быть хуже других, плохие рассказчики могут хотя бы отчасти обвинить в этом свою аудиторию». Это понимание имеет своеобразный побочный эффект, снимая часть напряжения, когда он читает лекции. «Каждый раз, когда я рассказываю о закрытых каналах, я всегда говорю аудитории, что то, каким образом они подают мне обратные сигналы, меняет мою речь и мой рассказ, – шутит он, – поэтому они несут ответственность за мое выступление».

Раздувание буфера: это запаздывание, глупец!

Развитие эффективной системы управления активными очередями было затруднено ложными представлениями о причинах и значении очередей.

Кетлин Николс и Ван Джейкобсон

Летом 2010 года Джим Геттис, как и многие родители, часто слышал от детей жалобы, что домашний Wi-Fi работает слишком медленно. В отличие от большинства родителей, Геттис к этому времени успел поработать в HP, Alcatel-Lucent, Консорциуме Всемирной паутины и Инженерном совете интернета. В буквальном смысле слова он был редактором технических условий HTTP, которые используются и по сей день. Поэтому там, где большинство отцов компьютерных фанатов стали бы искать проблему, Геттис ее решил.

Как объяснял Геттис целому отделу инженеров Google:

Мне пришлось однажды копировать или ресинхронизировать старые архивы Консорциума из дома в Массачусетский технологический университет за 10 миллисекунд… SmokePing сообщил о запаздывании в среднем на 1 секунду наряду с масштабной потерей пакетов, пока я просто копировал файл… Я открыл Wireshark и увидел вспышки действительно очень странного поведения. Это вовсе не было похоже на TCP, как я ожидал. Такого не должно было происходить.

Говоря простым языком, он заметил что-то… очень странное. Как в популярной шутке: самая интригующая фраза, которую можно услышать от первооткрывателя в науке, не «эврика!», а «это странно».

Вначале Геттис подумал, что что-то не так с его модемом. То, о чем говорила его семья, называя проблемой с интернетом, казалось просто «затором» в их домашней розетке. Пакеты, которые должны были отправиться в Бостон, не застревали на полпути туда; они застревали в доме.

Но чем больше Геттис вникал в происходящее, тем больше он начинал беспокоиться. Проблема негативно сказывалась не только на роутере и модеме в его доме, но в каждом доме. И проблема заключалась вовсе не в сетевых устройствах – она была в компьютерах, в десктопах, лэптопах, планшетах, смартфонах, работающих на Linux, Windows и OS X. И дело было не в аппаратном оборудовании конечного пользователя: проблема затрагивала всю инфраструктуру интернета в целом. Геттис начал обсуждать это с ключевыми сотрудниками из Comcast, Verizon, Cisco и Google, включая Ван Джейкобсона и Винта Серфа, и постепенно головоломка начала складываться.

Проблема была повсюду. И заключалась она в раздувании буфера обмена.

Буфер – это, по сути, очередь, роль которой состоит в том, чтобы сглаживать вспышки информационной передачи. Если бы вы зашли в магазин за пончиками примерно в то же время, когда и другой посетитель, это не привело бы к тому, что кассир не смог бы справиться с работой и вас попросили бы покинуть магазин и зайти в другое время. Посетители, разумеется, не пошли бы на это. Не пошел бы на это и менеджмент: такая политика гарантирует крайне неэффективное выполнение кассиром своей работы. А организация покупателей в очередь гарантирует, что средняя пропускная способность магазина приближается к максимуму. И это хорошо.

Такое превосходное средство по утилизации ресурсов имеет вполне реальные издержки – задержку в обслуживании. Когда Том взял свою дочь на фестиваль Синко де Майо в Беркли, она решила попробовать блинчик с шоколадом и бананом. Они встали в очередь и стали ждать. Через 20 минут Том сделал заказ. Но после оплаты ему пришлось ждать еще 40 минут, чтобы получить наконец блинчик. (Как и Джиму Геттису, Тому пришлось выслушать многочисленные жалобы дочери.) Прием заказов, как оказалось, занимал гораздо меньше времени, чем приготовление блинчиков, поэтому очередь для того, чтобы сделать заказ, была лишь частью задачи. По крайней мере, процесс был визуально понятным: покупатели знали, зачем они стоят в очереди. Вторая, более длинная очередь была неочевидной. В этом случае было бы гораздо правильней ограничить длину первой очереди и временно приостанавливать прием заказов, если она достигла критической отметки, оповещая об этом с помощью соответствующей таблички. Отказ части покупателей стал бы выгодней для всех (не важно, дождались бы они укорачивания очереди или ушли совсем). Для лавки с блинами это не означало бы каких-либо упущенных финансовых возможностей, поскольку в любом случае они могут продать лишь столько блинов, сколько могут приготовить в день, вне зависимости от того, как долго ждут их покупатели.

Это как раз тот феномен, который обнаружил Джим Геттис, пытаясь разобраться с домашним модемом. Поскольку он закачивал файл, его компьютер посылал модему так много пакетов, что тот едва ли мог с ними справиться. В то же время модем «делал вид», что может справиться и с еще бóльшим количеством сверх своих реальных возможностей, не отклоняя ни один из них и ставя их в огромную очередь. Таким образом, когда Геттис пытался одновременно скачать что-то (зайти на интернет-сайт или проверить почту), его ACK-пакеты застревали в очереди после процессов загрузки, ожидая, пока загружаемые файлы наконец покинут дом.

Это было похоже на попытку вести диалог, который прерывался бы на 10 или 20 секунд после каждого сказанного «ух» и «м-м-м». Говорящему пришлось бы замедлять темп рассказа, полагая, что вы его не понимаете и ничего не можете с этим поделать.

Когда буфер сети наполняется, происходит так называемое отбрасывание последнего элемента – бесцеремонный способ сообщить о том, что каждый пакет, поступающий после этой точки, будет просто отклонен и, по сути, удален. (Просьба посетителям больше не вставать в очередь после того, как она станет слишком длинной, является вариантом отбрасывания последнего элемента в человеческом контексте.)

При использовании метафоры с почтовой службой для объяснения принципа действия коммутации пакетов странно представить, что почтальон просто избавляется от каждой посылки, которая не вмещается в его грузовик утром. Хотя на самом деле это то самое «отбрасывание пакетов», которое заставляет компьютер заметить, что один из пакетов не был принят, что приведет к урезанию алгоритмом АУМУ трафика передачи информации. «Отбрасывание пакетов» – изначальный механизм обратной связи в интернете. Слишком большой буфер (как, например, ресторан, который принимает каждый заказ вне зависимости от возможностей кухни, или модем, принимающий каждый поступающий пакет вне зависимости от того, сколько потребуется ему времени на последующую отправку) предупреждает любые промедления, которые на самом деле должны происходить.

Глобально буферы используют задержку (явление, известное как запаздывание в сетевых технологиях), чтобы максимизировать пропускную способность. То есть они заставляют пакеты (или посетителей) ждать, чтобы воспользоваться более поздним периодом, когда у них будет больше ресурсов или времени. Но буфер, который перманентно работает в полном объеме, не дает вам выбора между двух зол: полное запаздывание и никакой отдачи. Сглаживание вспышек – это хорошо, если вы, как правило, разбираете информацию по мере ее поступления. Но если ваша средняя нагрузка превышает вашу среднюю скорость работы, то никакой буфер чуда не сотворит. И чем больше буфер, тем больше вы отстанете, прежде чем начнете звать на помощь. Один из фундаментальных принципов работы буферов, будь они для пакетов или управляющих рестораном, заключается в том, чтобы они работали корректно, даже когда работы нет.

Десятилетиями компьютерная память была слишком дорогой, поэтому попросту не было смысла разрабатывать модемы с уймой ненужного объема памяти. Таким образом, у модема даже не было возможности выстраивать очередь длиннее, чем он мог обработать. Но в каком-то смысле, по мере того как экономия на масштабе радикально снизила стоимость памяти, производители модемов стали встраивать в них гигабайты ОЗУ, поскольку это, по сути, был наименьший возможный объем памяти. В результате буферы в широко распространенных устройствах – в модемах, роутерах, лэптопах, смартфонах (и в основе работы самого интернета) – стали в тысячи раз больше, чем нужно, прежде чем некоторые, как Джим Геттис, выразили свои опасения по этому поводу.

Лучше никогда, чем поздно

Возьмем базовую проблему одинокого человека… вы нравитесь кому-то, но вам он не нравится. На первый взгляд, это довольно неловкая ситуация. Вам нужно было бы поговорить, это было бы не очень приятно. Так что же делать? Вы нравитесь кому-то, он вам не нравится? Просто сделайте вид, что вы заняты… навсегда.

Азис Ансари

Сейчас – лучше, чем никогда.

Хотя никогда – часто лучше, чем прямо сейчас.

Дзен Питона

У певицы Кэти Перри на 107 % больше подписчиков в Twitter, чем жителей в штате Калифорния. По состоянию на начало 2016 года количество фанатов среди ее подписчиков составляло 81,2 млн (что выводит ее в чемпионы по количеству фолловеров). Это значит, что 99 % ее фанатов никогда не писали ей сообщений. И даже если бы 1 % фанатов, самые преданные, писали ей по одному сообщению в год, общее количество ее сообщений в день было бы равно 2225. Каждый день.

Представим, что Перри была бы обязана отвечать на каждое сообщение от поклонников в порядке их получения. Если бы она могла ответить на 100 сообщений в день, то ожидаемое время получения ответа составило бы десятилетия. Достаточно справедливо будет представить, что большинство фанатов предпочли бы крохотный шанс получить ответ сразу же, чем гарантию на ответ через 10 или 20 лет.

Обратите внимание, что у Перри нет такой проблемы, когда она покидает концертную площадку и должна пробежать через толпы поклонников, ожидающих автограф или несколько слов от звезды. Перри делает все, что может, уходит, и упущенные возможности рассеиваются. Тело заключает в себе собственный контроль потоков. Мы не можем быть в нескольких местах одновременно. На многолюдной вечеринке мы неизбежно участвуем не более чем в 5 % разговоров и не имеем возможности наверстать упущенное.

Мы используем идиому «упавшие мячи» почти исключительно в негативном смысле, подразумевая, что человек был слишком ленив, расслаблен или забывчив. Однако не ловить мяч из тактических соображений – критически важная часть улаживания всех дел в условиях перегрузки.

Подавляющее большинство критических замечаний в адрес современных коммуникаций порицают тот факт, что мы «постоянно на связи». Но проблема не в том, что мы постоянно на связи; как раз нет. Проблема в том, что мы постоянно выступаем буфером. И разница здесь колоссальная. Чувство, что вы должны посмотреть все, что только возможно, в интернете, прочитать все возможные книги, посмотреть все шоу – это раздувание буфера. Вы пропустили эпизод вашего любимого сериала, и вы смотрите его через час, день, 10 лет спустя. Вы отправляетесь в отпуск и возвращаетесь к кипе корреспонденции. Раньше люди приходили, стучали в дверь, ответа не следовало, и они уходили. Сейчас они, по сути, ждут вас, выстраиваясь в очередь, пока вы не придете домой.

Электронная почта была преднамеренно изобретена, чтобы решить проблему с отбрасыванием последнего элемента. Как писал ее изобретатель Рей Томлинсон:

В то время не было хорошего способа оставлять людям сообщения. Телефон работал только по своему основному назначению, но было необходимо, чтобы кто-то взял трубку. И если трубку брал не тот человек, которого вы хотели услышать, это оказывался личный помощник или специальная служба. Таков был механизм, если вы хотели оставить сообщение. Поэтому все зацепились за идею оставлять сообщения на компьютере.

Другими словами, мы хотели иметь систему, которая никогда не будет отказывать отправителю, и, на радость или на беду, мы таковую получили. На самом деле за последние 15 лет движение от коммутации каналов до коммутации пакетов получило широкое распространение. Раньше мы запрашивали выделенные каналы связи с другими, теперь мы направляем им пакеты и ожидаем получения ACK-подтверждений. Раньше мы отклоняли, теперь мы откладываем.

Первоначальное свойство буферов – повышать среднюю пропускную способность до максимальной. Предупреждение праздности и бездействия – вот чем они занимаются. Вы проверяете почту в дороге, в отпуске, в туалете, посреди ночи. Вам никогда не бывает скучно.

Автоответчик в электронной почте, оповещающий, что человек находится в отпуске, сообщает отправителям, что стоит ждать задержки; лучший вариант мог бы вместо этого сообщать отправителю об отбрасывании последнего элемента. Вместо того чтобы предупреждать отправителей об очереди длиннее обычной, можно было бы предупреждать их о том, что все входящие сообщения просто отклоняются. И это необязательно может применяться в случае отпуска: вполне можно представить программу электронной почты, установленной в режиме автоотклонения всех входящих сообщений сверх, например, ста полученных. Эта система не годится для счетов и подобных документов, но не лишена смысла в случае с неформальными приглашениями, например.

Идея переполненного ящика почты или заполненной голосовой почты – уже анахронизм, яркий пример пережитков конца ХХ века и начала 2000-х годов. Но если сети, соединяющие наши новомодные телефоны и компьютеры с их практически безграничной вместимостью, до сих пор намеренно не принимают пакеты, когда те сыплются как из рога изобилия, возможно, стоит задуматься об отбрасывании последнего элемента не как о печальном последствии ограниченной памяти, но как об определенной стратегии, применяемой для нашего блага.

Что касается раздувания буфера сетей, это долгая и непростая история, но кончается она хорошо, учитывая, что усилиями аппаратного обеспечения и производителей операционных систем фундаментальные изменения в сетевых очередях все же внедряются. Появилось и предложение создать новый закрытый канал для протокола TCP, первое подобное изменение за многие годы: ECN («явное уведомление о перегрузке»). Полное освобождение интернета от раздувания буфера повлечет все эти изменения и потребует многолетнего терпения. «Это болото в долгосрочной перспективе», – говорит Геттис.

Но тем не менее будущее без раздувания буфера выглядит многообещающе. С учетом их врожденной медлительности, буферы слабы в большинстве процессов, требующих взаимодействия. Когда мы говорим по Skype, например, мы предпочитаем сигнал с небольшими помехами, но в режиме реального времени, а не четкую запись того, что звонящий сказал три секунды назад. И лишь 50-миллисекундная задержка определяет, окажется геймер «убитым» или поразит противника сам. По сути, компьютерные игры так чувствительны к промедлениям, что самые почетные награды в этом мире разыгрываются при личном присутствии игроков. Они прилетают с разных концов планеты, чтобы побороться в сети, созданной в пределах одной комнаты. То же верно и для любых других процессов, где важна синхронность. «Если вы хотите помузицировать с друзьями, для вас важны каждые 10 миллисекунд, – отмечает Геттис, говоря о целом наборе новых приложений и бизнесов, которые могли бы стремительно развиваться, воспользовавшись интерактивным потенциалом незначительных промедлений. – Главное обобщение, к которому я пришел, состоит в том, что инженеры должны рассматривать время как гражданина первого класса». Стюарт Чешир из Apple согласен: работу с промедлением пора поставить в приоритет в среде сетевых инженеров. Он потрясен тем, что компании, рекламирующие быстрый интернет, подразумевают лишь высокую скорость пропускания информации, но не низкий уровень задержек. Он проводит параллель с «Боингом-737» и «Боингом-747». Оба летят на скорости 5000 миль в час; первый может перевезти 120 пассажиров, второй – втрое больше. Так «что же, вы сказали бы, что "Боинг-747" в три раза быстрее "Боинга-737"? Конечно, нет», – восклицает Чешир. Вместительность иногда имеет значение: для передачи больших файлов скорость – ключевое качество. Для межчеловеческих приложений тем не менее короткие сроки выполнения задач зачастую гораздо важнее, и что нам на самом деле нужно, так это «Конкорды». Сокращение промедлений и задержек – один из основных фронтов исследовательских работ среди сетевых инженеров, и будет интересно посмотреть на их результаты.

Тем временем идут и другие битвы, которые требуют оплаты. Геттис переключил внимание, выйдя за рамки. «Это не подходит тебе? Я сейчас говорю кое с кем, и я займусь этим, как только закончу. Мы здесь заканчиваем – м-м-м, нет, 5 ГГц сейчас работают, канал 2,4 ГГц повис. Это позорная ошибка. Я перезагружу роутер». Кажется, это самый удачный момент, чтобы попрощаться и вернуть наш частотный диапазон к обычному состоянию – к мириадам аддитивно растущих потоков.

11. Теория игр

О чем думают остальные

Я оптимист в том смысле, что считаю, что люди благородны и честны, а некоторые из них еще и очень умны… Но у меня несколько более пессимистичный взгляд на людей в группах.

Стив Джобс

Инвестор продает акции; при этом продавец убежден, что их стоимость падает, а покупатель убежден, что растет; я думаю, что я знаю, о чем вы думаете, но не имею ни малейшего представления о том, что вы думаете по поводу того, о чем думаю я; экономический пузырь лопается; потенциальный любовник преподносит подарок, который не говорит ни «я хочу быть больше, чем другом», ни «я не хочу быть больше, чем другом»; за обеденным столом идет перебранка – кто должен заботиться о ком и почему; кто-то, желая помочь, нечаянно обижает; кто-то, пытаясь выглядеть крутым, вызывает усмешку; кто-то, пытаясь не поддаваться стадному инстинкту, к своему ужасу, сам становится лидером стада. «Я люблю тебя», – говорит один; «Я тоже люблю тебя», – отвечает второй; и каждому интересно, что именно имеет в виду другой.

А что же по поводу всего этого говорит информатика?

Школьников учат классифицировать сюжеты литературных произведений по принадлежности к одной из нескольких категорий: человек против природы, человек против себя, человек против человека, человек против общества. До сих пор в этой книге мы рассматривали главным образом случаи из первых двух категорий, то есть до настоящего времени информатика была нашим проводником среди проблем, порожденных фундаментальной структурой мира и нашими ограниченными возможностями обработки информации. Оптимальные пути решения проблем возникают из понимания необратимости и невозвратности времени, то есть при попытке найти выход из затруднительного положения в рамках ограниченного ресурса времени. Релаксация и рандомизация выступают такими же жизненно важными и необходимыми стратегиями для борьбы с неотвратимой сложностью задач, как планирование поездок или вакцинаций.

В этой главе мы сместим фокус и рассмотрим две оставшиеся категории – человек против человека и человек против общества: по сути дела, это связанные и вытекающие друг из друга проблемы. Самым лучшим навигатором на этом поле станет для нас направление математики, известное как теория игр, то есть та область, которая в ее классическом воплощении оказала огромное влияние на XX столетие. На протяжении пары последних десятилетий перекрестное опыление между теорией игр и информатикой породило алгоритмическую теорию игр, которая уже начала оказывать влияние на XXI век.

Рекурсия

Сейчас умный человек положил бы яд уже в собственный бокал, потому что он знает, что только полный глупец станет тянуться к тому бокалу, что стоит перед ним. Но ведь я не так глупа, чтобы выбирать вино, стоящее перед вами. Но вы также знаете (и явно на это рассчитываете), что я не так глупа, чтобы выбрать вино, стоящее передо мной.

Фильм «Принцесса-невеста»

Самый, пожалуй, влиятельный экономист XX века Джон Мейнард Кейнс однажды сказал, что «успешное инвестирование опережает предчувствие других». Чтобы продать пакет акций, скажем, за $60, покупатель должен верить, что потом он сможет продать его за $70 тому, кто считает, что он может продать его уже за $80 тому, кто уверен, что он может продать этот пакет уже за $90 тому, кто в свою очередь убежден, что он может продать его за $100 еще кому-то. Другими словами, стоимость акций – это не то, что люди думают по поводу стоимости, но то, что люди думают, что думают другие по поводу того, сколько это стоит. На самом деле даже не стоит так далеко углубляться. Как заметил Кейнс, делая важное различие между красотой и популярностью:

Профессиональные инвестиции можно сравнить с теми соревнованиями на страницах газет, когда участники должны выбрать шесть самых хорошеньких лиц из сотни фотографий, а приз присуждается тому участнику, чей выбор наиболее близко соответствует усредненным предпочтениям конкурентов в целом. Таким образом, чтобы победить, каждый участник должен выбирать не те лица, которые лично он считает симпатичными, но те, которые, наиболее вероятно, понравятся другим конкурентам, каждый из которых смотрит на проблему выбора с той же самой точки зрения. Это не тот случай, когда выбираются те, которые, на чей-то взгляд, на самом деле являются самыми симпатичными, и даже не те, которые, по общему среднему мнению, искренне считаются симпатичными. Мы достигли третьего уровня, когда наши размышления направлены на то, чтобы предвидеть, что общее усредненное мнение может думать по поводу того, каким может быть это среднее мнение. На мой взгляд, есть и такие, кто практикует четвертый, пятый и даже более высокие уровни.

Информатика иллюстрирует фундаментальные ограничения такого рода рассуждений с помощью так называемой задачи об остановке. Как в 1936 году доказал Алан Тьюринг, никакая компьютерная программа никогда не сможет с уверенностью сказать вам, сможет ли другая программа в конечном итоге закончить свои вычисления – если только специально не моделировать работу этой программы, чтобы, таким образом, попытаться потенциально дойти до самого конца. (Соответственно, у программистов никогда не было автоматизированных инструментов, которые могли бы сказать им, будет ли их программное обеспечение блокироваться.) Это один из основополагающих результатов для всех разделов информатики, на котором базируются многие последующие доказательства[34]. Проще говоря, в любое время система – будь то машина или разум – моделирует работу чего-либо с той степенью сложности, которая ей соответствует, максимально полно используя свои ресурсы. Ученые-компьютерщики используют специальный термин «рекурсия» для обозначения этого потенциально бесконечного путешествия в зеркальную комнату, где разум моделирует разум, который моделирует разум.

«В покере вы никогда не играете себе на руку, – говорит Джеймс Бонд в фильме "Казино Рояль", – вы играете против человека, сидящего напротив вас». На самом деле то, что вы разыгрываете, является примером теоретически бесконечной рекурсии. Существует ваша собственная комбинация карт и комбинация, которую, как вы считаете, имеет ваш противник; затем рассматривается комбинация, которую, по вашему мнению, представляет у вас ваш оппонент, и комбинация, которую, как вы считаете, представляет себе ваш оппонент, размышляя о той комбинации, что он имеет… и т. д. «Я даже не знаю, реальный ли это термин теории игр, – говорит топовый игрок в покер Дэн Смит, – но игроки в покер называют это "выравнивание". Первый уровень – я знаю. Второй уровень – вы знаете, что я знаю. Третий уровень – я знаю, что вы знаете, что я знаю. Порой складываются ситуации, когда вы просто заходите туда, где вы начинаете думать: «Хм, это действительно неподходящий момент, чтобы блефовать; но, если он знает, что это неподходящий момент, чтобы блефовать, то он не будет поднимать ставки, и тогда это как раз самый подходящий момент, чтобы блефовать. Такое случается»».

Один из самых запоминающихся блефов в игре высокого уровня произошел тогда, когда Том Дван на турнире по техасскому холдему разыгрывал $479 500, имея самую худшую из возможных комбинаций – 2: 7, в то время как его оппонент Сэмми Джордж, образно выражаясь, буквально держал выигрыш в руках.

Рекурсии в покере – опасная игра. Вы, конечно, не хотите отстать ни на шаг от вашего оппонента, но – что также крайне важно – не стоит и слишком сильно опережать его. «Существует правило, гласящее, что вы должны играть только на один уровень выше вашего оппонента, – объясняет профессиональный игрок в покер Ванесса Руссо. – Если вы слишком опережаете ваших оппонентов, то вы начинаете думать, что они имеют информацию, которой на самом деле у них нет, и в этом случае они уже никак не смогут получить ту информацию, которую – как вам хотелось бы – они могли бы извлечь из ваших действий». Иногда профессионалы покера могут намеренно втравливать своего противника в развернутую рекурсию, в то время как сами играют по академическим правилам без всякой психологической подоплеки. В этом случае говорят о заманивании оппонентов в войну выравнивания против самих себя.

(Вовлечение противника в бесплодные рекурсии может оказаться эффективной стратегией также и в других играх. Один из самых ярких, странных и захватывающих эпизодов в истории шахматного противостояния человека и машины произошел в 2008 году во время сражения американского гроссмейстера Хикару Накамура с ведущей шахматной компьютерной программой Rybka. В игре, где каждая из сторон получала всего три минуты на все ходы или ей автоматически присуждался проигрыш, преимущество, разумеется, отдавалось компьютеру, способному оценить миллионы комбинаций в секунду и сделать ход без использования мышц. Но Накамура мгновенно создал на доске затор, делая повторяющиеся, бессмысленные ходы настолько быстро, насколько позволяло нажатие кнопки на часах. В то время как компьютер впустую тратил драгоценные мгновения на бесплодные поиски победного варианта, которого даже и не существовало, и упорно пытался предвидеть все возможные будущие ходы противника, Накамура играл в шахматы фактически спустя рукава. Когда компьютер уже почти исчерпал свое время и начал переставлять фигуры так, чтобы хотя бы не проиграть по часам, Накамура наконец открыл свою позицию и разгромил соперника.)

Как же профессиональные игроки выходят из ситуации, зная опасность рекурсии? Они используют теорию игр. «Порой вы можете придумать причины, объясняющие, почему вы играете именно так, но зачастую ваши худшие игры становятся таковыми по причинам, которые на самом деле не стоит и упоминать, – объясняет Дэн Смит. – Я прикладываю немало усилий, чтобы воспользоваться базовым уровнем теории в большинстве ситуаций… Я всегда начинаю со знания или попытки узнать, что такое Нэш».

Так что же такое Нэш?

Достижение равновесия

Вы знаете правила, и я их тоже знаю…

Мы знаем игру, и мы собираемся в нее сыграть.

Рик Эстли

Теория игр охватывает невероятно широкий спектр сценариев сотрудничества и конкуренции, но начиналось все с покера – соревнования между двумя людьми, где выигрыш одного из игроков означает проигрыш другого. Математики, анализирующие эти игры, пытаются найти так называемое равновесие – некий набор стратегий, которым оба игрока могут следовать таким образом, чтобы ни один из игроков не хотел бы изменить собственную игру, даже учитывая игру соперников. Это называется равновесием потому, что это состояние стабильности: никакое количество дальнейших обдумываний не предоставит никому из игроков другого выбора. Я удовлетворен своей стратегией, принимая во внимание вашу, а вы довольны вашей стратегией, учитывая мою.

Например, в детской игре «Камень, ножницы, бумага» равновесие достигается примерно каждую треть времени при совершенно случайном выборе одного из названных жестов. Устойчивым это равновесие делает то, что раз оба игрока приняли эту

то нет ничего лучше, чем и в дальнейшем ей следовать. (Если даже мы попытаемся чаще выбирать, скажем, камень, то наш противник быстро это заметит и начнет чаще выбирать бумагу, что заставит нас чаще выбирать ножницы; и так далее – до тех пор, пока вновь не восстановится равновесие

В одном из основополагающих выводов теории игр математик Джон Нэш доказал в 1951 году, что каждая игра двух игроков имеет по крайней мере одно равновесие. Это крупное открытие принесло Нэшу в 1994 году Нобелевскую премию по экономике (и послужило поводом для написания книги и создания фильма «Игры разума» о жизни Нэша). Такое равновесие теперь часто называют равновесием Нэша, и именно этот «Нэш» всегда пытается отследить Дэн Смит.

На первый взгляд, тот факт, что равновесие Нэша всегда существует в поединках между двумя игроками, казалось бы, должно принести нам некоторое облегчение от рекурсий зеркальной комнаты, которые характерны для покера и многих других привычных соревнований. Когда мы чувствуем, что падаем в рекурсивную кроличью нору, у нас всегда есть возможность покинуть голову оппонента и поискать равновесие, напрямую ведущее к лучшей стратегии, предполагающей рациональную игру. В игре «Камень, ножницы, бумага» попытка прочесть по лицу оппонента, что он выберет в следующий раз, может оказаться не слишком полезной, если вы знаете, что даже простой случайный выбор означает непобедимую стратегию в долгосрочной перспективе.

В более общем смысле равновесие Нэша выражает прогноз стабильного долгосрочного результата для любого набора правил. Таким образом, этот подход – бесценный инструмент не только для прогнозирования и формирования экономической политики, но также и для социальной политики в целом. Как утверждает лауреат Нобелевской премии экономист Роджер Майерсон, равновесие по Нэшу «имело такое фундаментальное и всеобъемлющее влияние на экономику и социальные науки, которое сопоставимо с открытием двойной спирали ДНК в биологии».

Однако информатика усложняет эту ситуацию. В самом широком смысле объектом исследований в математике является истина; объектом исследований в информатике является сложность. Нетрудно заметить, что недостаточно иметь решение проблемы, если такая проблема трудноразрешима.

В контексте теории игр знание, что равновесие существует, не говорит нам, что это такое или как его найти. Как пишет ученый Калифорнийского университета в Беркли Христо Пападимитриу, теория игр «предсказывает равновесное поведение агентов, как правило, без учета того, каким образом такое состояние будет достигнуто, оставляя это в первую очередь на усмотрение того, кто будет этим заниматься». Стэнфордский ученый Тим Ругарден вторит ему, выражая свою неудовлетворенность доказательством Нэша о том, что равновесие всегда существует. «Хорошо, – говорит он, – мы ведь программисты, не так ли? Тогда дайте нам что-нибудь, что мы можем использовать. Не надо говорить мне, что это где-то там; скажите мне, как это найти». Итак, исходное поле боя в теории игр породило теорию алгоритмических игр, то есть изучение теоретически идеальных игровых стратегий переросло в изучение того, как машины (и люди) подошли к формированию стратегий игр.

При этом выясняется, что попытки задавать слишком много вопросов о равновесии Нэша быстро приводят вас к ожидаемым неприятностям. К концу XX столетия выяснение того, имеет ли игра более одного равновесия (или имеет равновесие, которое дает игроку определенные преимущества, или имеет равновесие, которое подталкивает игрока к совершению какого-либо действия), оказалось неразрешимой проблемой. Позже, с 2005 по 2008 год, Пападимитриу и его коллеги доказали, что даже простые поиски равновесия Нэша также являются неразрешимой задачей.

Простые игры, как «Камень, ножницы, бумага», могут иметь равновесие, заметное с первого взгляда, но для игр с уровнем сложности реального мира – и это теперь ясно – мы не можем утверждать, что участники смогут обнаружить или достичь равновесия в игре. Это в свою очередь означает, что создатели игры не обязательно используют равновесие, чтобы предсказать, как будут вести себя игроки.

Последствия этого отрезвляющего результата оказались глубоки: равновесие Нэша заняло почетное место в экономической теории как способ моделировать и прогнозировать поведение рынка. Хотя некоторые считают, что это место занято незаслуженно. Как объясняет Пападимитриу, «если концепция равновесия не является успешно исчисляемой, то бóльшая часть ее надежности и убедительности, такая как предсказание поведения рациональных экономических агентов, попросту теряется». Ученый из Массачусетского технологического института Скотт Ааронсон с ним соглашается. «На мой взгляд, – говорит он, – если теорема о существовании равновесия Нэша считается уместной по отношению к дебатам на тему, скажем, свободных рынков против государственного регулирования, то теорему, что поиски этих равновесий неразрешимы, следует считать также уместной». Пророческие способности теоремы равновесия Нэша имеют значение только тогда, когда эти равновесия действительно могут быть найдены самими игроками. По словам бывшего директора по исследованиям eBay Камаля Джейна, «если ваш компьютер не может его найти, то и рынок не сможет это сделать».

Доминирующие стратегии: к лучшему или к худшему

Даже если мы можем достичь равновесия, то тот факт, что оно устойчиво, не означает, что это хорошо. Это может показаться парадоксальным, но равновесная стратегия – при которой ни один игрок не готов изменить тактику – вовсе не обязательно приводит к лучшим результатам для игроков. Нигде это не иллюстрируется так наглядно, как в самой известной, провокационной и спорной игре для двух игроков под названием «дилемма заключенного».

Дилемма состоит в следующем. Представьте себе, что вы и ваш сообщник были арестованы после ограбления банка. Вас содержат в отдельных тюремных камерах. Теперь вы должны решить, будете ли вы поддерживать друг друга, храня молчание, или нарушите прежние договоренности о партнерстве и донесете на сообщника. При этом вы оба знаете, что если каждый будет хранить молчание, то суд, не имея достаточных доказательств для вынесения обвинительного приговора, будет вынужден освободить вас обоих и вы сможете разделить добычу поровну, получив, скажем, по $0,5 млн каждый. Если же один из вас донесет на сообщника, а другой при этом будет хранить молчание, то информатор выйдет на свободу и ему достанется весь $1 млн, в то время как молчаливый сообщник будет осужден и как единственный виновник преступления получит 10 лет тюрьмы. А если вы оба начнете доносить друг на друга, то оба будете осуждены и разделите наказание: пять лет каждому.

Вот тут-то и зарыта собака. Не так важно, что будет делать ваш подельник: в любом случае наилучший для вас вариант – это нарушить договоренность и донести на сообщника.

Потому что если подельник донесет на вас, а вы, в свою очередь, донесете на него, то это вернет вам пять лет вашей жизни: вы получите каждый по пять лет, а не будете нести всю тяжесть наказания и отсиживать весь срок в одиночку. А если ваш соучастник будет молчать, то это вернет вам и вторые пять лет, и к тому же вы получите в свое распоряжение весь $1 млн. В любом случае получается так, что для вас всегда лучше донести, чем молчать, независимо от того, что выберет ваш соучастник. В противном случае вы всегда окажетесь в худшем положении, каким бы оно ни было.

В реальности это превращает отступничество не просто в стратегию равновесия, а в то, что характеризуется как доминирующая стратегия. Доминирующая стратегия, будучи лучшим ответом на все возможные стратегии оппонентов, позволяет избежать рекурсии вообще, потому что вам даже не нужно утруждать себя попытками проникнуть в их головы. Это весьма мощная штука.

Но теперь мы пришли к парадоксу. Если каждый из вас выберет рациональное поведение и будет придерживаться доминирующей стратегии, то вся эта история закончится для вас обоих пятью годами отсидки, что – по сравнению со свободой и гарантированной половиной миллиона каждому – будет значительно худшим вариантом для обоих. Как же так получается?

Это стало одним из важнейших прозрений в традиционной теории игр: равновесие для множества игроков, рационально действующих в своих собственных интересах, может не быть результатом, который на самом деле является наилучшим для этих игроков.

Алгоритмическая теория игр, в соответствии с принципами информатики, приняла это во внимание и создала количественную меру под названием «цена анархии». Цена анархии измеряет разрыв между сотрудничеством (централизованно разработанное или согласованное решение) и конкуренцией (когда каждый участник самостоятельно пытается добиться для себя максимально хорошего результата). В такой игре, как дилемма заключенного, эта цена фактически бесконечна: увеличение денежной ставки и удлинение тюремного срока могут сделать разрыв между возможными результатами сколь угодно широким, даже если доминирующая стратегия остается неизменной. То есть нет предела тому, насколько болезненными могут быть результаты для игроков, если они не координируют свои действия. Вместе с тем в других играх, которые могли бы быть изучены теоретиками алгоритмических игр, цена анархии не так плоха.

Рассмотрим, например, транспорт. Будут ли это отдельные водители, проделывающие привычный путь в пробках, или маршрутизаторы, гоняющие TCP-пакеты через интернет, – каждый в этой системе хочет получить то, что будет самым удобным лично для него.

Водители просто хотят проехать самым быстрым маршрутом, маршрутизаторы хотят тасовать свои пакеты с минимальными усилиями; но в обоих случаях это может привести к перегрузкам на критических направлениях, создавая заторы, наносящие вред каждому из них.

Хотя о каком, собственно, вреде идет речь? Удивительно, но Тим Ругарден и Ева Тардос из Корнеллского университета доказали в 2002 году, что у такого подхода («эгоистичная маршрутизация») цена анархии не превышает 4/3. То есть свободный и доступный для всех выбор всего лишь на 33 % хуже, чем идеально просчитанный и совершенным образом скоординированный.

Работа Ругардена и Тардос оказала существенное влияние не только на планирование маршрутов городского транспорта, но и на сетевую инфраструктуру. Именно эгоистичная маршрутизация с низкой ценой анархии объясняет, например, почему тот же интернет хорошо работает без какого-либо центрального координирующего органа, управляющего маршрутизацией отдельных пакетов. При том что даже если такая координация была бы возможна, она не принесла бы значимых преимуществ.

Если же рассматривать маршрутизацию с урбанистической точки зрения, то низкая цена анархии – палка о двух концах. Хорошая новость заключается в том, что отсутствие централизованной координации делает ваши перемещения всего лишь на 33 % хуже. С другой стороны, если вы предполагаете, что самостоятельно разъезжающие автономные автомобили – это транспортная утопия будущего, вас может разочаровать тот факт, что сегодняшние эгоистичные, несогласованные и некоординированные действия водителей уже довольно близки к оптимальным. Не секрет, что автономное движение уменьшает количество ДТП и сокращает дистанцию между автомобилями, что в общем и целом увеличивает среднюю скорость движения. Но тот факт, что загруженность абсолютно неорганизованного движения составляет лишь 4/3 от таковой для идеально согласованного, означает, что загруженность идеально скоординированного ежедневного трафика будет составлять всего лишь 3/4 от нынешнего показателя. Это напоминает известную строчку Джеймса Кейбелла: «Оптимист утверждает, что мы живем в лучшем из возможных миров, а пессимист опасается, что это правда». Перегруженность всегда будет проблемой, в большей степени решаемой проектировщиками на основании общего спроса, чем решениями отдельных водителей, основанными на человеческом факторе или расчетливыми, эгоистичными или альтруистичными.

Исчисляемость цены анархии дала пространство для конкретного и строгого способа оценки плюсов и минусов децентрализованных систем, что имело далеко идущие последствия для тех многих сфер, где люди оказываются вовлеченными в игру (знают они об этом или нет). Низкая цена анархии означает, что система более-менее хороша сама по себе по сравнению с тем, как если бы она тщательно управлялась. Высокая цена анархии, с другой стороны, означает, что ситуация имеет потенциал к улучшению, если она будет тщательно координироваться (хотя при этом некоторые формы вмешательства могут спровоцировать катастрофу). Дилемма заключенного явно относится к последнему типу. К сожалению, нас окружает слишком много критичных игр, в которые мир вынужден играть.

Трагедия общин

В 1968 году эколог Гаррет Хардин обратился к дилемме заключенного, мысленно масштабировав ситуацию от двух игроков до всех жителей фермерской деревни. Хардин предложил своим читателям представить общину, пользующуюся для выпаса скота одним общим газоном, который имеет конечный размер. В теории предполагалось, что каждый житель будет пасти только такое количество животных, которое позволяло бы оставлять немного травы и для других. При этом на практике выгода от небольшого превышения допустимого предела доставалась лично вам, а ущерб казался настолько незначительным, что не стоил упоминания. Тем не менее, если бы каждый, следуя этой логике, чуть превысил бы допустимый размер своего стада, это привело бы к ужасному нарушению равновесия: газон был бы полностью истощен, и на следующий год никакой травы ни для кого не осталось бы.

Хардин назвал это «трагедией общин», и она стала одной из главных призм, сквозь которую экономисты, политологи и экологи рассматривают такие крупномасштабные экологические события и кризисы, как загрязнение окружающей среды и изменения климата. «Когда я был маленьким, была такая штука – этилированный бензин, – говорит Аврим Блюм, ученый и теоретик игр из Карнеги – Меллон. – Он был на десять или что-то около этого центов дешевле, но загрязнял окружающую среду… Если предположить, что и все остальные делают то же самое, то насколько плохо поступаете лично вы [рассуждая здраво], когда заправляете ваш собственный автомобиль этилированным бензином? Кажется, что не слишком уж плохо. Это и есть дилемма заключенных». То же самое верно и для корпоративного и национального уровней. Недавно один из газетных заголовков кратко обозначил эту проблему: «Устойчивость климата требует, чтобы большинство ископаемого топлива оставалось бы в земле. Но в чьей?» Каждая корпорация (и до некоторой степени каждая страна) считает, что ради достижения конкурентного преимущества лучше быть немного более безрассудным, чем их соперники. Тем не менее, если все начинают действовать безрассудно, это ведет к опустошению планеты, и усилия оказываются напрасными: никто не получит никакого экономического преимущества по сравнению с первоначальной точкой отсчета.

Логика игр такого типа настолько распространена, что нам даже нет нужды обсуждать отдельные преступления, чтобы увидеть, как все это выходит из-под контроля. Но мы легко можем с чистой совестью покончить с этим ужасным равновесием. Но как? Далеко ходить не надо: рассмотрим политику отпусков вашей компании. В Америке количество рабочих часов одно из самых больших в мире. Как замечает журнал The Economist, «нигде не ценится так высоко работа и так не низка значимость отдыха». В стране существует ряд законов, обязывающих работодателя предоставлять работникам отгулы и свободное время, но даже тогда, когда американские сотрудники действительно получают отпуск, они его не используют. Недавние исследования показали, что среднестатистический работник использует лишь половину предоставляемых ему отпускных дней, а ошеломляющие 15 % вообще не берут отпуск.

Сегодня Область залива Сан-Франциско, где мы оба живем, пытается исправить это плачевное положение в отпускной политике, пройдя через радикальный сдвиг парадигмы – шаг, который очень хорошо осмыслен и апокалиптически обречен. Предпосылка выглядит вполне невинно: вместо того чтобы контролировать произвольные количества отпускных дней каждого сотрудника, а затем тратить человеко-часы кадровиков, чтобы убедиться, что никто не выходит за положенный лимит, почему бы просто не позволить своим сотрудникам отдыхать бесплатно? Почему бы просто не позволить им иметь неограниченный отпуск? Далее начинается казуистика: с теоретико-игровой точки зрения такой подход выглядит кошмаром. С одной стороны, можно предположить, что все сотрудники захотят взять столько дней отпуска, сколько это вообще возможно. С другой стороны, каждый из них захочет взять чуть меньше дней, чем его коллеги, чтобы руководство восприняло его как более лояльного, более преданного компании, более увлеченного работой (следовательно, заслуживающего более весомого поощрения). Каждый будет смотреть на других и претендовать на чуть меньшее количество дней по сравнению с другими. Равновесие Нэша для этой игры – это нуль. Как пишет генеральный директор компании Travis CI Матиас Майер, «никто не решится отдыхать вовсе, поскольку не захочет казаться сотрудником, который берет наибольшее количество дней отпуска. Это гонка ко дну».

Этот пример наглядно и в полной мере демонстрирует трагедию общин. И это характерно не только для отношений внутри компании, но и между компаниями. Представим себе, что в маленьком городишке имеются два магазина. Владелец каждого из них волен выбирать: либо оставаться открытым семь дней в неделю, либо работать шесть дней в неделю и в воскресенье отдохнуть с семьей и с друзьями. Если оба воспользуются выходным днем, то каждый из них сохранит свою существующую долю рынка и не так сильно устанет. Однако если владелец одного магазина решит работать все семь дней, то он получит дополнительных клиентов, забрав их у своего конкурента, что будет угрожать существованию последнего. Равновесие Нэша, опять же, достигается в случае, если каждый будет работать без выходных.

Именно такой случай произошел в Соединенных Штатах в курортный сезон 2014 года. Тогда торговые центры один за другим, не желая терять рынок и делить его с конкурентами, которые вырвались вперед после обычного покупательского ажиотажа на День благодарения, обвалили равновесие. «Магазины открываются раньше, чем когда-либо прежде», – сообщала International Business Times. Macy's решили открыться на два часа раньше, чем в прошлом году, как это сделал Target. Kmart, со своей стороны, в День благодарения открылись в 6 утра и не закрывались в течение 42 часов.

Так что же мы как игроки можем выбрать, когда окажемся в такой ситуации: воспользоваться дилеммой заключенного для двух игроков или же ориентироваться на трагедию общин для множества игроков? В некотором смысле – лучше не выбирать ничего. Потому что сама стабильность, которую эти плохие равновесия имеют, которая и делает их равновесными, становится их проклятием. По большому счету, мы не можем изменить доминирующие стратегии изнутри. Но это вовсе не значит, что плохое равновесие не может быть исправлено. Это просто означает, что решение должно прийти со стороны.

Механизм распределения: измени игру

Не надо ненавидеть игрока, лучше ненавидьте игру.

ICE-T

Никогда не становитесь на чью-либо сторону, если это против интересов семьи. Никогда!

Фильм «Крестный отец»

Дилемма заключенного была отправной точкой для многих развернутых дискуссий и споров о природе человеческого взаимодействия, но теоретик игр Кен Бинмор из Университетского колледжа Лондона считает, что, по крайней мере некоторые из этих дискуссий ошибочны: «неправильно, что дилемма заключенного охватывает то, что относится к природе человеческого взаимодействия. Напротив, дилемма символизирует обстановку, настолько направленную против возникновения взаимодействия, насколько это только возможно»[35].

Ну что ж, если правила игры заставляют нас воспользоваться плохой стратегией, может быть, тогда не стоит пытаться их изменить. Может быть, нам стоит попытаться изменить игру.

Данный вывод подводит нас к разделу теории игр, известному как «механизм распределения». Если теория игр изучает поведение, вызываемое появлением определенного набора правил, то механизм распределения (его иногда называют обратной теорией игр) работает в другом направлении, задавая вопрос: какие правила спровоцируют нас на поступки, которые мы хотим видеть? И если выводы теории игр (например, тот факт, что стратегия равновесия, будучи рациональным выбором для каждого игрока, может быть одновременно и плохим выбором для всех) уже признаны противоречащими здравому смыслу, то механизм распределения таков даже в большей степени.

Давайте снова вернем вас и вашего напарника по ограблению банка в тюремные камеры, чтобы пойти другим путем в решении дилеммы заключенного, с учетом одной существенной корректировки – поправки на наличие «крестного отца». Теперь вы и ваш сообщник – члены преступного синдиката, и в свое время его глава прозрачно всем намекнул: любой информатор пойдет на корм рыбам.

Альтернатива выхода из игры с таким выигрышем существенно ограничивает ваши действия, но по иронии судьбы делает гораздо более вероятным хороший исход дела и для вас, и для вашего партнера. Поскольку предательство теперь выглядит не таким уж привлекательным (мягко говоря), оба заключенных вынуждены будут сотрудничать, что позволит им покинуть тюрьму и стать на $0,5 млн богаче. За вычетом, конечно, той доли, что причитается главе синдиката.

Мощное парадоксальное соображение, что мы запросто можем ухудшить любой расклад (убить, с одной стороны, или задушить налогами, с другой стороны), все же делает жизнь каждого лучше, смещая равновесие.

Для владельцев магазинов маленького городка обычная устная договоренность считать воскресенье нерабочим днем будет нестабильным состоянием: как только одному из них понадобятся дополнительные деньги, он запросто нарушит договоренность, тем самым побуждая и другого начать работать по воскресеньям (хотя бы для того, чтобы не терять свою долю рынка). Такой шаг вновь вернул бы их к состоянию плохого равновесия, при котором оба находятся в наихудшем положении: оба устали, и никто не получает для себя никаких конкурентных преимуществ. Вместе с тем они могли бы действовать так, будто имеют собственного «крестного отца», и подписать официальный договор о том, например, что любые доходы, полученные в воскресенье в одном магазине, должны быть зачислены на счет владельца другого магазина. И тогда, ухудшая первичное равновесие, они создали бы новое и лучшее.

С другой стороны, попытки изменить результаты игры, которые не меняют равновесия, дают, как правило, гораздо меньший эффект, чем хотелось бы. Фил Либин, генеральный директор компании Evernote, предлагал ввести правила, по которым каждому сотруднику компании полагалась бы $1000 за то, что он воспользовался отпуском. Это выглядит вполне разумным способом увеличения количества воспользовавшихся отпуском сотрудников, но с точки зрения теории игр это заблуждение. За попыткой увеличить добычу в дилемме заключенного, например, не видится главное: изменение не дает ничего, что могло бы поколебать плохое равновесие. Если ограбление на $1 млн заканчивается для обоих воров тюрьмой, точно так же закончится попытка украсть и $10 млн. Проблема не в том, что сам по себе отпуск не привлекает; проблема заключается в том, что каждый работник хочет взять отпуск, который будет немного меньше, чем у коллег, и этим вовлекает всех в такую игру, единственным равновесием для которой будет отсутствие отпуска вообще. Тысяча баксов, конечно, подсластят пилюлю, но не изменят принцип игры, суть которого заключается в том, что необходимо взять максимально возможный отпуск, но при этом так, чтобы тебя все равно считали чуть бóльшим патриотом компании, чем остальных. А значит, иметь шанс получить прибавку к зарплате или стать их начальником, что оценивается уже во многие тысячи долларов.

Означает ли это, что Фил Либин должен теперь предлагать каждому сотруднику за его отпуск десятки тысяч долларов? Вовсе нет! Механизм распределения подсказывает нам, что Либин может осчастливить своих сотрудников не столько пряником, сколько кнутом, и прийти к лучшему равновесию, не затратив на это ни копейки. Например, он мог бы сделать так, чтобы использование некоторого минимального количества отпусков являлось бы обязательным условием. Если он не может изменить гонку, он все еще может переставить планку (отодвинуть дно). Механизм распределения дает мощный аргумент в пользу необходимости выбора любому «дизайнеру» событий, будь то генеральный директор, подписывающий контракт между сторонами, или глава мафии, который требует соблюдать «обет молчания», сдавливая сонную артерию.

Комиссар спортивной лиги – также разновидность дизайнера. Представьте себе, как жалко бы выглядела НБА, если бы расписания игр как такового не было, а команды могли бы соревноваться друг с другом в любое время между началом и концом сезона (например, в три утра в воскресенье, в рождественский полдень и т. д.). Тогда мы увидели бы изможденных, полуживых, почти теряющих сознание игроков с хроническим недосыпом, которые борются со сном с помощью стимулирующих препаратов. Это напоминало бы войну. С другой стороны, даже на Уолл-стрит с ее безжалостными, готовыми перерезать друг другу горло капиталистами, ни на мгновение не останавливающими торговлю в «городе, который никогда не спит», каждый день ровно в четыре часа наступает «период прекращения огня», так что брокеры могут спокойно поспать каждую ночь, а не страдать в бессонном равновесии, стараясь избежать ловушек, расставленных конкурентами. В этом смысле биржа больше напоминает спорт, нежели войну.

Расширение масштабов этой логики приводит к мощному аргументу в пользу роли правительства. В реальности многие правительства имеют целые тома законов, предписывающих минимальные отпуска и ограничивающих часы работы магазинов. И хотя Соединенные Штаты – одна из немногих развитых стран, в которой нет федерального закона об оплачиваемых отпусках, тем не менее в штатах Массачусетс, Мэн и Род-Айленд на государственном уровне действительно существуют запреты на торговлю в День благодарения.

Законы, подобные этому, зачастую зарождались в колониальную эпоху и изначально носили религиозный характер. И в самом деле, религия как таковая часто предлагает достаточно жесткий способ модификации игр подобного рода. В частности, такой религиозный закон, как «Помни день субботний», аккуратно решает проблему, с которой сталкиваются владельцы магазинов: не работать по велению всесильного Бога или под давлением членов религиозной общины. А упование на божественную силу в предписаниях против других видов антиобщественного поведения, таких как убийство, прелюбодеяние и воровство, служит еще одним способом решить некоторые из проблем теории игр в жизни социальной группы. В этом отношении Бог зачастую даже лучше, чем правительство, так как его всеведение и всемогущество дают весьма значимую гарантию постулату, что дурные поступки будут всегда иметь ужасные последствия. Никакой «крестный отец» не сравнится с Богом-Отцом.

Религия – та тема, на которую ученые-компьютерщики предпочитают не распространяться; на самом же деле вокруг нее построен сюжет книги под названием «О чем программисты редко рассказывают»[36]. За счет сокращения числа вариантов поведенческие ограничения, навязываемые религией, не просто делают некоторые виды решений в вычислительном отношении менее сложной задачей – они также могут принести лучшие результаты.

Эволюционный механизм распределения

Как весьма эгоистичный человек я могу предположить, что существуют в его природе некоторые принципы, которые интересуют его в судьбах других, и сделать их счастливыми важно для него, хотя от этого он ничего не получает, за исключением удовольствия видеть это.

Адам Смит. Теория нравственных чувств

У сердца есть свои соображения, о которых разум ничего не знает.

Блез Паскаль

Секвойи Калифорнии – одни из самых старых и самых величественных живых существ на планете. Хотя с точки зрения теории игр они олицетворяют трагедию. Единственная причина их феноменальной высоты заключается в том, что они пытаются быть выше, чем другие. И так до того момента, когда вред, наносимый чрезмерным растяжением, наконец не становится больше вреда, получаемого от нехватки солнца. Ричард Докинз подходит к этому так:

Кроны деревьев можно рассматривать как луг – такой же, как холмистые луга прерий, – но только растущий на сваях. Кроны собирают солнечную энергию в той же степени, как и пастбища прерии. Но значительная часть энергии тратится на обеспечение роста стволов, которые не делают ничего более полезного, кроме как поднимают этот «луг» повыше, где он собирает точно такой же урожай фотонов, какой собирал бы – с гораздо меньшими затратами, – лежа плашмя на земле.

Если бы только лес мог каким-то образом прийти к своего рода перемирию, то экосистема могла бы наслаждаться щедротами фотосинтеза, не тратя усилий на «гонку вооружений» между деревьями. Но, как мы уже заметили, хорошие результаты в подобных сценариях имеют тенденцию возникать только лишь в присутствии какого-либо внешнего управляющего органа. Казалось бы, если уж такое заведено природой, то способа установить хорошее равновесие между отдельными людьми просто не существует.

С другой стороны, если взаимодействие и сотрудничество действительно ведут к лучшим результатам в некоторых играх, то можно ожидать, что и в природе кооперативно настроенные виды должны были бы эволюционно превалировать. Но тогда откуда бы взялось сотрудничество, если это целесообразно только на уровне группы, но не на индивидуальном уровне? Может быть, оно должно зарождаться от чего-то, что люди не могут полностью контролировать. Чего-то наподобие эмоций.

Давайте рассмотрим, казалось бы, два не связанных сценария. 1. Мужчина покупает пылесос, который ломается через несколько недель; он тратит 10 минут на составление злобной мстительной жалобы. 2. Женщина, делая покупки в магазине, замечает, что некто украл у пожилого человека кошелек и пытается убежать; она бросается вдогонку и в борьбе с вором завладевает кошельком.

И хотя во втором случае главное действующее лицо выглядит явно героем, а в первом лишь обиженным, есть что-то общее в том, что проявляется (хотя и по-разному) в этих двух миниатюрах, – непроизвольное бескорыстие. Неудовлетворенный потребитель не пытается получить обратно затраченные деньги или новый пылесос взамен испорченного; его греют мысли о косвенном возмездии. И с рациональной точки зрения, и с точки зрения теории игр он предполагает извлечь не более чем злорадное удовлетворение от самого процесса написания жалобы. В магазине героическая женщина сама осуществляет надзор за правопорядком, осознавая возможные огромные личные потери, ведь она рискует получить травму или даже погибнуть, пытаясь вернуть, скажем, $40 абсолютно незнакомому человеку. Ведь если она хотела помочь, она могла бы просто взять две двадцатки из собственного кармана и отдать их пострадавшему, не рискуя прокатиться на скорой помощи! В этом смысле оба главных героя действуют нерационально. Но, с другой стороны, их действия хороши для общества: все мы хотим жить в мире, в котором нет карманных краж, а магазины, торгующие некачественными продуктами, имеют плохую репутацию. Возможно, для каждого из нас в отдельности было бы лучше стать таким человеком, который всегда может принять беспристрастное решение, наилучшим образом отвечающее его собственным интересам, не желая терять время на оплакивание безвозвратных издержек (не говоря уже о том, чтобы лишиться зубов из-за $40). Но все мы хотим жить в обществе, в котором такие смелые поступки являются нормой поведения.

Так что же такое срабатывало у этих людей, что в отсутствие внешнего органа управления заставляло их стряхнуть эгоистичное равновесие? Гнев прежде всего. Негодование, будь оно вызвано некачественным бизнесом или поведением мелкого жулика, может превалировать над рациональностью. И вполне может быть, что в этих случаях рука эволюции сделала то, что в противном случае для достижения результата должен был бы предпринять внешний управляющий орган.

Природа полна примеров того, как один вид может, по сути, заставить представителей другого вида служить своим интересам. Так, например, печеночная ланцетовидная двуустка (Dicrocoelium dendriticum) – паразит, который вынуждает муравьев целенаправленно карабкаться на вершину травинки, где они будут съедены овцами, в желудке которых двуусткам предпочтительней паразитировать. Подобным образом и другой паразит, токсоплазма гонди (Toxoplasma gondii), заставляет мышей навсегда терять страх перед кошками для достижения аналогичного результата.

Как ни прискорбно, но эмоции и обиженного потребителя, и отважной защитницы частной собственности принадлежат нашему собственному виду и в какой-то момент начинают управлять нами. «Мораль – это стадный инстинкт человека», – писал Ницше. Немного перефразируя, мы осмелимся предположить, что эмоции – это механизм, вырабатываемый видом. Именно потому, что чувства возникают непроизвольно, они могут привести нас к действиям без принуждения со стороны. Месть почти никогда не работает в пользу того, кто ее жаждет, и все же тот, кто будет реагировать с «иррациональной» горячностью, стараясь чего-то добиться, по этой самой причине, скорее всего, и получит хороший результат. Как выразился Роберт Франк, экономист из Корнеллского университета, «если люди будут предполагать, что мы всегда будем безрассудно реагировать на кражу нашей собственности, то нам редко придется делать это, потому что тогда воровство будет не в их интересах. Ожидание получить иррациональную реакцию помогает здесь намного лучше, чем простые соображения материальной выгоды».

(Не стоит думать, что современные цивилизованные люди всегда руководствуются правовыми договорами и правилами закона, вместо того чтобы мстить. Здесь уместно напомнить: для того чтобы подать на кого-то в суд и участвовать в нем в качестве истца, зачастую требуется приложить огромные усилия и испытать известные мучения, которые ответчик, как ни надейся, не сможет компенсировать материально. В развитом обществе судебные иски являются лишь инструментом в руках саморазрушающего возмездия, но не заменяют его.)

Это касается как гнева, так и сострадания, и чувства вины… и любви.

Как бы странно это ни звучало, но дилемма заключенного имеет много общего с браком. В наших рассуждениях о проблемах оптимальной остановки, таких как проблема секретаря в главе 1, мы рассматривали и тех, кто ищет себе пару, и тех, кто ищет жилье, с учетом того, что человек должен принять на себя обязательство, в котором возможные будущие варианты еще даже и не просматриваются. Как в любви, так и в жилищном вопросе тем не менее по-прежнему возникает большое количество вариантов даже после того, как мы уже остановили свой выбор на оптимальном решении. Так почему бы не быть готовым дезертировать с корабля? Конечно, знание того, что и другая сторона (будь то супруг или хозяин квартиры), в свою очередь, тоже готова покинуть корабль, предохранило бы нас от многих долгосрочных инвестиций (совместные дети, кропотливо нажитое имущество), которые и делают эти отношения крепкими.

В обоих случаях эта, как ее называют, проблема обязательства может быть хотя бы частично решена с помощью договора. Но теория игр предполагает, что, когда речь идет об отношениях между людьми, добровольно принимаемые на себя законные обязательства менее важны для прочного партнерства, нежели подсознательные и рефлективные узы самой любви. Как выразился Роберт Франк, «беспокойство о том, что люди будут разрывать отношения и потом находить этому поступку рациональное объяснение, в значительной степени снижается, если то, что их соединило с самого начала, не поддается рациональной оценке». И уточняет:

Да, люди ищут в других характерные особенности, которые их волнуют. Каждый хочет найти доброго, умного, интересного, здорового, физически привлекательного, энергичного, с хорошим заработком (следует полный перечень особенностей), – но это лишь изначальный подход… Однако после того, как вы провели вместе достаточно много времени, это уже не те вещи, которые заставляют вас держаться вместе. Общепризнанный факт, что если этот конкретный человек – именно тот, кто вам так дорог, вам нужен не столько брачный контракт, сколько чувство, которое не даст вам с ним развестись, даже если, объективно говоря, для вас может быть доступен и лучший вариант.

Скажем иначе: любовь похожа на организованную преступность. Она изменяет структуру брачной игры так, что достигаемое равновесие становится результатом, который устраивает всех наилучшим образом.

Драматург Джордж Бернард Шоу так однажды написал о браке: «Если заключенный счастлив, зачем запирать его? Если он несчастлив, то зачем делать вид, что это не так?» Теория игр предлагает специфический ответ на эту конкретную загадку. Счастье – это замóк.

Рассматривая любовь с точки зрения теории игр, можно выявить еще один момент: брак – это та же дилемма заключенного, в которой вам необходимо выбрать человека, с которым вы будете в сговоре. Это может показаться небольшим изменением, но оно потенциально имеет большое влияние на структуру игры, в которую вы играете. Если бы вы по какой-либо причине знали, что ваш партнер по преступлению будет несчастен, если вас не будет рядом (и его страдания будут такими сильными, что даже $1 млн его не исцелит), то вы гораздо меньше беспокоились бы о том, что он может проболтаться и оставит вас гнить в тюрьме.

Таким образом, мы имеем двойной рациональный аргумент в пользу любви: эмоциональная привязанность не только предохраняет нас от рекурсивных размышлений и намерений нашего потенциального партнера, но, меняя выигрыш, она дает вам обоим возможность получить лучший результат. Более того, возможность непроизвольно влюбиться делает вас, в свою очередь, более привлекательным партнером. А ваша способность разбить сердце делает вас надежным соучастником.

Информационные каскады: трагическая рациональность пузырей

Всякий раз, когда вы чувствуете, что находитесь на стороне большинства, самое время сделать паузу и задуматься.

Марк Твен

Одна из причин, почему стоит обращать внимание на поведение других, состоит в том, что за счет этого вы получаете возможность присовокупить их информацию об окружающем мире к собственной. Информация о популярном ресторане, очевидно, полезна; полупустой концертный зал, вероятно, является плохим знаком; если тот, с кем вы разговариваете, вдруг резко переводит свой взгляд на то, чего вы не можете видеть, то и вам, скорее всего, стоит взглянуть туда же.

С другой стороны, довод, что стоит учиться у других, не всегда кажется достаточно разумным. Причудливость моды и слепое подражание ей – результат того, что кто-то копирует поведение других, не имея твердой почвы под ногами и какой-либо привязки к реалиям мира. Что еще хуже, предположение, что действия других людей служат хорошим примером, может привести к развитию стадного инстинкта, что, в свою очередь, может ускорить приближение экономической катастрофы. Если окружающие дружно инвестируют в недвижимость, то покупка дома кажется хорошей идеей; в конце концов, цены ведь будут только расти. Не так ли?

Интересный аспект ипотечного кризиса 2007–2009 годов заключается в том, что все вовлеченные участники, похоже, чувствуют себя несправедливо наказанными только за то, что они поступили так, как, казалось, должны были поступать. Целое поколение американцев, выросшее с верой в то, что жилье – надежная и безопасная инвестиция, видевшее, что все вокруг покупают дома, несмотря на быстро растущие цены (или как раз из-за их роста), очень сильно погорело, когда эти цены в конце концов начали падать. Банкиры также считают, что они пострадали несправедливо, ведь они делали то, что и всегда, – всего лишь ненавязчиво предлагали возможности, которые их клиенты могли либо принять, либо отклонить. В результате резкого обвала рынка всегда наступает соблазн переложить вину на другого. И здесь теория игр предлагает отрезвляющую перспективу: катастрофы, подобные этим, могут происходить даже в отсутствие чьей-либо вины.

Правильная оценка механизма финансовых пузырей начинается с понимания механизма аукционных торгов. Несмотря на то что аукционы могут казаться нишевыми уголками экономики, на которых либо за многие миллионы долларов продаются произведения живописи, как на Sotheby's и Christie's, либо не так дорого коллекции игрушек или другие предметы коллекционирования, как на eBay, – в реальности они составляют значительную часть экономики. Компании Google, например, продажа рекламы приносит более 90 % выручки, и все эти рекламные объявления продаются через аукционы. Вместе с тем и правительства используют аукционы при продаже прав на использование диапазонов телекоммуникационных частот (например, частот, на которых работают сотовые телефоны), пополняя казну на десятки миллиардов долларов. В реальности многие мировые рынки во всем – от жилья до книг и цветов – действуют через аукционы различных видов.

Один из самых простых форматов аукциона выглядит так: каждый участник записывает свою ставку втайне от других, и тот, чья ставка в результате окажется самой высокой, получает приз именно по этой цене, которую он записал. Этот подход, известный как «аукцион с запечатанной ставкой первой цены», с алгоритмической точки зрения теории игр скрывает большую проблему; на самом деле даже несколько проблем. С одной стороны, в этом есть смысл, поскольку победитель всегда переплачивает: если вы оцениваете что-то в $25, а я считаю, что это стоит $10, и мы оба делаем такие ставки ($25 и $10), то в конечном итоге вы покупаете это за $25, в то время как могли бы заплатить за это чуть больше $10. Эта проблема, в свою очередь, порождает другую: для того чтобы сделать правильную ставку (то есть чтобы не переплачивать), вам нужно предугадать реальные ставки других игроков, участвующих в аукционе, с тем чтобы потом соответствующим образом скорректировать собственную. В этом есть свой недостаток. Ведь и другие игроки тоже не собираются делать ставки, соответствующие реальной стоимости; они делают свои ставки лишь в зависимости от их представлений о вашей! Вот мы и вернулись к рекурсии.

Другой классический формат аукционов – это голландский аукцион, или аукцион на понижение, при котором цена постепенно снижается до тех пор, пока кто-то не захочет купить это. И хоть это название связано с самым большим в мире цветочным аукционом в Аалсмеере, ежедневно проводимом в Нидерландах, тем не менее голландские аукционы распространены намного шире, чем это может показаться. И магазин, постепенно снижающий цену на непроданный товар, и покупатели, ориентирующиеся на цену, которую, как они думают, вероятнее всего, породит рынок, разделят основные преимущества такого аукциона: продавец, похоже, начинает торги с оптимизмом, опуская цену до тех пор, пока не будет найден покупатель. Аукцион на понижение напоминает аукцион первой цены тем, что если вы выиграете, то заплатите, скорее всего, немногим больше, чем верхний предел ваших возможностей (ведь вы будете готовы принять участие в торгах тогда, когда цена упадет до $25), до поры до времени скрывая свой интерес. Будете ли вы покупать что-то по цене $25 или не станете поднимать руку, ожидая более низкой цены? С каждым долларом, который вы пытаетесь сэкономить, вы рискуете потерять выигрыш.

Зеркальным отражением голландского является тот, что известен как английский аукцион, или аукцион на повышение, – наиболее знакомый всем формат аукциона. В английском аукционе участники торгов поочередно поднимают цену до тех пор, пока остальные не отпадут и не останется один победитель. Это, кажется, уже близко к тому, что мы хотим: если вы оцениваете вещь в $25, а я оцениваю ее в $10, то вы ее выиграете за цену чуть больше, чем $10, без необходимости пройти весь путь до $25 или «провалиться в кроличью нору».

Однако при этом и голландский, и английский аукционы привносят дополнительный уровень сложности по сравнению с аукционом с запечатанной ставкой первой цены. Ведь они не только используют частную информацию, которой владеет каждый участник, но и предполагают публичное проведение торгов. (В голландском аукционе отсутствие заявки фактически дает ясно понять, что ни один из претендентов не оценивает эту вещь по текущему уровню цен.) При некоторых обстоятельствах это смешение частных и публичных данных может испортить все дело.

Представьте себе, что участники торгов сомневаются в своих оценках стоимости аукционного лота, скажем на право бурения нефтяной скважины в какой-то части океана. Как верно отмечает теоретик игр Кен Бинмор из Университетского колледжа Лондона, «количество нефти в скважине одинаково для каждого, но представление покупателей о том, сколько нефти там может быть, будет зависеть от их собственных геологических изысканий. При этом известно, что такие исследования не только дороги, но и ненадежны». В такой ситуации кажется вполне естественным внимательно посмотреть на ставки оппонентов, чтобы ориентироваться не только на свои частные скудные данные, но и на открытую информацию.

Но эти общедоступные данные могут быть не такими уж информативными. Ведь на самом деле вы не узнаёте мнение других участников торгов, а лишь замечаете их действия. И вполне возможно, что их действия основаны как раз на вашем поведении, точно так же как ваше поведение отталкивается от их действий. Легко представить себе толпу людей, которые движутся к обрыву потому, что каждый из них действует так, будто ничего страшного не происходит (при том что каждый человек имеет свои опасения, но старается подавить их из-за безоговорочного доверия всем остальным в группе).

Как и в случае с трагедией общин, их печальный конец не обязательно случается по вине игроков. Основополагающая статья экономистов Сушила Бикчандани, Дэвида Хиршлейфера и Иво Уэлча продемонстрировала, что при определенных обстоятельствах группа людей, которая ведет себя совершенно рационально и адекватно, может тем не менее пасть жертвой того, что достаточно точно характеризуется как дезинформация. Это привело к возникновению термина, который звучит как «информационный каскад».

Возвращаясь к сценарию торгов за права на бурение нефтяной скважины, представьте себе, что в них участвуют десять компаний. Одна из них владеет результатами геологических изысканий, которые подтверждают, что скважина богата нефтью; отчеты второй компании не столь убедительны; разведка недр остальных восьми компаний предполагает, что скважина достаточно скудна. Но, будучи конкурентами, компании не делятся друг с другом результатами своих исследований, а только следят за действиями друг друга. В начале аукциона первая компания (с многообещающим отчетом) делает высокую начальную ставку. Вторая компания воодушевляется этим предложением настолько, что начинает более оптимистично воспринимать результаты собственных неубедительных изысканий и поднимает ставки еще выше. Третья компания с весьма скептическими результатами исследований теперь не очень им доверяет, предполагая, что выводы исследований двух предыдущих компаний говорят о том, что скважина – это золотая жила, а потому тоже поднимает ставку. Четвертая компания, которая имеет такие же скудные результаты исследований, теперь еще больше намерена игнорировать их, поскольку ей кажется, что каждый из трех ее конкурентов, делая ставки, уже считает себя победителем. И тоже поднимает свою ставку. «Консенсус» начинает отрываться от реальности. Каскад сформировался.

И хотя ни один из участников торгов не действовал иррационально, тем не менее конечный результат катастрофичен. Как выразился Хиршлейфер, «что-то очень существенное происходит тогда, когда кто-то решается слепо следовать за предшественниками, не принимая во внимание собственные информационные сигналы; именно поэтому такие действия становятся неинформативными для всех тех, кто принимает решение позже. И получается, что общедоступный пул информации больше не расширяется. То есть польза от наличия открытой информации… прекращается».

Не нужно далеко ходить, чтобы увидеть, что же происходит в реальном мире, когда случается информационный каскад и участники торгов в их попытке оценить лот не ориентируются ни на что, кроме как на поведение друг друга. Достаточно взглянуть на развитие ситуации вокруг книги о дрозофилах «The Making of a Fly» биолога Питера А. Лоуренса, которая в апреле 2011 года продавалась на Amazon за $23 698 655,93 (плюс $3,99 за доставку). Как и почему цена продажи этой всеми уважаемой книги достигла уровня в $23 млн? Оказалось, что два продавца, следуя определенному алгоритму, автоматически устанавливали свои цены как некое постоянное приращение к ставке другого; и если первый всегда устанавливал свою цену с коэффициентом 0,99830 от цены другого, то второй автоматически фиксировал свою цену с коэффициентом 1,27059 от цены конкурента. А поскольку ни один продавец, по-видимому, не подумал о том, чтобы установить какие-либо ограничения на получаемый результат, то процесс, развиваясь по спирали, полностью вышел из-под контроля.

Вполне возможно, что подобный механизм сработал во время загадочного и противоречивого краха фондового рынка, происшедшего 6 мая 2010 года, когда в течение нескольких минут стоимость нескольких, по-видимому случайных компаний, входящих в фондовый индекс S&P 500, стремительно выросла более чем на $100 000 за акцию, в то время как на другие резко упала (иногда до $0,01 за акцию). Почти 1 трлн совокупной стоимости компаний мгновенно превратился в дым. Как ошарашенно сообщил Джим Крамер в прямом эфире канала CNBC, «это… этого просто не может быть. Это нереальная цена. Ну да ладно, – идите и купите себе компанию Procter & Gamble… они как раз сообщили о хорошем окончании квартала… стоит просто пойти и купить ее… Я имею в виду, что все происходящее – это хорошая возможность». Недоверие Крамера базировалось на том, что его личная информация вступала в противоречие с публичной. Он, казалось, был единственным человеком в мире, кто готов был платить (в данном случае по $49 за акцию) за то, что рынок оценивал менее чем в $40; но это его не смущало – он видел ежеквартальные отчеты компании и был уверен в правильности своих знаний.

Инвесторы делятся на две большие группы: «фундаментальные» инвесторы, которые торгуют тем, что, по их мнению, имеет отношение к основным ценностям компании, и «технические» инвесторы, которые зарабатывают на колебаниях рынка. Расцвет скоростной торговли по выработанному алгоритму нарушил баланс между этими двумя стратегиями. Часто стали возникать жалобы на то, что компьютеры, не привязанные к реальной стоимости товаров, не сильно беспокоились о том, что цена на учебник могла достигать десятков миллионов долларов, а акции голубых фишек торговались за копейки. Все это только увеличивало иррациональность рынка. И хотя эта критика в основном касалась компьютеров, тем не менее и сами люди часто поступали аналогичным образом, о чем свидетельствуют некоторые известные примеры инвестиционных пузырей. К тому же зачастую проблема заключалась не столько в игроках, сколько в самой игре.

Информационные каскады предлагают разумную теорию, поясняющую не только возникновение подобных пузырей, но и особенности стадного поведения в более общем смысле. Они дают четкое представление о том, с какой легкостью можно раскачать и обрушить любой рынок, даже в отсутствие иррациональности или злого умысла. Вот несколько выводов. Во-первых, будьте осторожны в тех случаях, когда оказывается, что открытая и публичная информация выходит за границы вашей частной информации; когда вы больше знаете о том, как люди поступают, но меньше – почему они так делают; когда вы больше озабочены тем, как подогнать свое мнение под единодушный консенсус, нежели под факты; когда, чтобы выработать свою линию поведения, вы присматриваетесь к другим (ведь и они точно так же могут в это время равняться на вас). Во-вторых, помните, что поступки не всегда отражают убеждения; каскады случаются отчасти тогда, когда мы неправильно интерпретируем то, о чем люди думают, основываясь лишь на том, что они делают. Мы должны быть особенно недоверчивыми в тех случаях, когда предполагается переступить через собственные сомнения. Но, даже если мы все-таки перешагиваем через них, нам следовало бы найти какой-нибудь способ их высказать. Если мы будем двигаться дальше, это поможет другим отличить нежелание в нашем сознании от предполагаемого энтузиазма в наших действиях. Наконец, мы должны помнить (благодаря дилемме заключенного), что иногда игра может иметь неисправимо отвратительные правила. И если уж мы в нее ввязались, уже ничего нельзя поделать. Но теория информационных каскадов может помочь нам в первую очередь избежать участия в подобной игре.

И если вы тот человек, который считает, что его поступки всегда правильны, независимо от того, что другие могут оценивать это как сумасшествие, мужайтесь. Плохая новость заключается в том, что вы будете неправы намного чаще, чем стадо последователей. Хорошая новость – в том, что последовательная приверженность своим убеждениям создает положительный внешний эффект, который позволяет людям делать более аккуратные выводы из вашего поведения. И, может быть, однажды вы спасете от катастрофы все стадо.

Делайте ваши ставки

Использование информатики в теории игр показало, что необходимость вырабатывать стратегию собственного поведения является частью (нередко – большей частью) цены, которую мы платим в конкурентной борьбе друг с другом. И, как демонстрируют трудности рекурсии, нигде эта цена не высока настолько, как в случае, когда нам требуется проникнуть в головы друг к другу. И здесь алгоритмическая теория игр дает нам способ переосмыслить механизм распределения: необходимо не только обращать внимание на результаты игр, но и принимать во внимание так необходимую игрокам вычислительную деятельность.

Мы видели, например, как безобидные, казалось бы, механизмы аукциона приводили к разного рода проблемам: чрезмерной суете, лишним тратам, стремительным каскадам. Но ситуация не так уж безнадежна. Существует схема организации аукциона, которая помогает пройти сквозь трудности умственных рекурсий так же легко, как горячий нож проходит сквозь масло. Это аукцион Викри.

Названный в честь лауреата Нобелевской премии экономиста Уильяма Викри, аукцион Викри, так же как и аукцион первой цены, является аукционом с «запечатанной» ставкой. То есть и здесь каждый участник втайне от остальных просто записывает свою ставку, а потом самая высокая из них считается победителем торгов. Но в аукционе Викри победитель выплачивает не ту сумму, которая соответствует его ставке; он платит по ставке участника торгов, занявшего второе место. Другими словами, если вы предлагали цену в $25, а моя ставка была $10, то вы выиграете этот лот, но вам придется заплатить только $10.

К чести теоретика игр, аукцион Викри имеет ряд привлекательных свойств. Особенно выделяется одно из них: у участников появляется стимул вести честную игру. На самом деле, нет лучшей стратегии, чем просто сделать ставку, соответствующую «истинной» стоимости лота, – то есть объявлять именно такую цену, которой, по вашему мнению, соответствует этот лот. Ведь очевидно, что продолжать торги со ставкой большей, чем ваша объективная оценка, уже глупо, поскольку ничто не может заставить вас платить за лот больше, чем он, по вашему разумению, стоит. А предлагая цену меньшую, чем объективная стоимость лота (сокрытие ставки), вы рискуете проиграть аукцион без веских причин, что уж никак нельзя назвать экономией денег. Ведь даже если бы вы выиграли, то все равно платили бы по ставке игрока, пришедшего вторым, – независимо от того, насколько высока была ваша собственная ставка. Это делает аукцион Викри тем, что создатели аукционов называют доказанной стратегией, или просто честным. В аукционе Викри честность – лучшая политика.

Более того, честность остается лучшей политикой независимо от того, честны ли другие претенденты. В дилемме заключенного мы увидели, что предательство оказывалось доминирующей стратегией, то есть было лучшим поступком независимо от того, предавал партнер или хранил молчание. В аукционе Викри как раз наоборот: честность является доминирующей стратегией. Это святой Грааль аукционного механизма. Вам не нужно вырабатывать стратегию или использовать рекурсию.

Но теперь может показаться, что по сравнению с аукционом первой цены аукцион Викри приносит продавцу меньше денег. Это не всегда верно. В аукционе первой цены каждый участник торгов снижал (скрывал) свое предложение, чтобы избежать переплаты. В «аукционе второй цены» – аукционе Викри – участникам нет никакой необходимости беспокоиться об этом, потому что в некотором смысле уже сам аукцион оптимально понижает для них же их предложения. На самом деле принцип теории игры, называемый «эквивалентность выручки», утверждает, что в долгосрочной перспективе средняя ожидаемая цена продаж в аукционе первой цены будет стремиться точно к такому же значению, как и в аукционе Викри. Другими словами, равновесие Викри подразумевает, что тот же участник торгов выиграет лот по той же цене без выработки какой бы то ни было стратегии любым из претендентов. Тим Ругартен, читая в Стэнфорде лекции своим студентам, называет аукцион Викри «удивительным».

По мнению теоретика алгоритмических игр Ноама Нисана из Еврейского университета, эта удивительность создает почти утопическую атмосферу. «Ведь вы хотели бы получить такие правила общественного поведения, когда ложь считалась бы недостойным занятием и люди перестали бы лгать так много, не так ли? Это и есть основная идея. С моей точки зрения, поразительный факт о Викри заключается в том, что вы даже не ожидали, что такое вообще возможно воплотить, так ведь? Особенно в таких вещах, как аукцион, где я хотел бы заплатить меньше, чем вы могли бы когда-либо получить. А тут Викри еще и показывает, что имеется способ этого достичь. Я думаю, что это просто фантастика».

На самом деле урок, извлекаемый из вышесказанного, выходит далеко за рамки аукционов. В эпохальном исследовании под названием «принцип откровения» нобелевский лауреат Роджер Майерсон доказал, что любая игра, в которой стратегия требует маскировки истины, может быть преобразована в игру, которая не требует ничего, кроме обычной честности. Пол Милгром, коллега Майерсона, восхищался: «Это один из тех результатов, который, если смотреть на него с разных углов, является, с одной стороны, шокирующим и удивительным, а с другой стороны – тривиальным. И это замечательно. Это так здорово, что вы видите одну из самых лучших вещей, которые только можно увидеть».

На первый взгляд с этим трудно согласиться, но доказательство его правоты на самом деле довольно интуитивно. Представьте себе, что у вас есть посредник или адвокат, который будет играть в этой игре вместо вас. Если вы доверяете ему представлять ваши интересы, то вы просто объясняете ему, что хотите получить, и далее позволяете уже ему от вашего имени и управлять ставками, и разрабатывать рекурсивные стратегии. В аукционе Викри эту функцию выполняет сама игра. И принцип откровения только расширяет эту идею: любая игра, где вас может представлять агент, которому вы дадите правильные установки, станет наилучшей игрой на честность, если, разумеется, предполагаемые действия этого агента не будут выходить за границы правил самой игры. Как выразился Нисан, «основной вывод заключается в следующем: если вы не хотите, чтобы ваши клиенты оптимизировали свое поведение против вас, то было бы лучше вам оптимизировать свое поведение по отношению к ним. Вот и все доказательство… Если я разработал алгоритм, который уже оптимизирован в отношении вас, то вы ничего не сможете сделать».

В течение последних 20 лет алгоритмическая теория игр оказала огромное влияние на несколько практических ситуаций: помогла понять особенности маршрутизации пакетов в интернете; улучшила качество аукционов по продаже диапазонов частот Федеральной комиссии связи (США), что принесло значимые (хоть и невидимые) общественные блага; а также, помимо прочего, усовершенствовала алгоритмы распределения студентов-медиков по больницам. И это, вероятно, только начало гораздо более масштабных преобразований. «Ведь мы пока просто поскребли по поверхности, – говорит Нисан, – даже саму теорию мы только-только начинаем понимать. И, вероятно, потребуется еще одно поколение, чтобы все это хотя бы гипотетически могло успешно использоваться людьми. Целое поколение; не думаю, что больше. На это потребуется поколение».

Французский философ-экзистенциалист Жан-Поль Сартр метко заметил, что «ад – это другие люди». Он имел в виду не столько то, что другие люди по своей сути злобные или неприятные, сколько то, что они просто осложняют наши собственные мысли и убеждения:

Когда мы думаем о себе, когда мы пытаемся познать себя… мы используем те знания о нас, которые уже есть у других людей. Мы судим о себе с помощью возможностей, которые имеются у других людей и которые были даны нам для оценки нас самих. В том, что я когда-либо говорю о себе, всегда присутствует чье-то стороннее суждение. В том, что я когда-либо ощущаю внутри себя, всегда присутствует чье-то стороннее суждение… Но это вовсе не означает, что не нужно иметь отношений с другими людьми. Это просто демонстрирует важнейшую значимость всех остальных людей для каждого из нас.

Может быть, с учетом того, что мы уже узнали в этой главе, нам стоит попытаться пересмотреть заявление Сартра. Взаимодействие с другими не должно быть кошмаром, хотя в несправедливой игре это, безусловно, может быть именно так. Как заметил Кейнс, «популярность – сложная и трудноконтролируемая вещь, она как комната со множеством зеркал, отражающихся одно в другом; но красота, в представлении зрителя, вовсе не в этом». Принятие стратегии, которая не требует прогнозирования, предсказания или поисков второго смысла, которая не требует менять курс из-за поведения других, – один из способов разрубить гордиев узел рекурсии. А иногда именно эта стратегия не только проста, но и оптимальна.

Если перемена стратегии не помогает, вы можете попробовать изменить игру. Но если и это не представляется возможным, то, по крайней мере, старайтесь контролировать выбор игры, в которую собираетесь играть. Дорога в ад вымощена неразрешимыми рекурсиями, плохими равновесиями и информационными каскадами. Выбирайте игры, где честность – доминирующая стратегия. И просто оставайтесь собой.

Заключение

Простота выбора

Я твердо верю в то, что самые важные вещи, имеющие отношение к людям, носят социальный характер, и в то, что перекладывание на компьютеры многих наших сегодняшних интеллектуальных функций наконец даст человечеству время и стимул, чтобы понять, как же хорошо жить вместе.

Меррил Флад

Любая динамическая система, будучи объектом, ограниченным пространством и временем, имеет свой основной набор фундаментальных и неизбежных проблем. Эти проблемы вполне вычисляемы по своей сути, что не только превращает компьютеры в инструменты, но и делает их нашими друзьями. Здесь и возникают три простых мудрых соображения.

Во-первых, существуют случаи, для которых ученые-компьютерщики и математики уже сейчас выявили хорошие алгоритмические подходы, пригодные для решения человеческих проблем. Правило 37 %, алгоритм LRU-вытеснения давно неиспользуемых критериев для обработки переполнения кеша (сверхоперативной памяти), правило верхнего доверительного предела в качестве руководства для исследований как раз и служат примерами этих случаев.

Во-вторых, одно только осознание того, что вы используете оптимальный алгоритм, должно утешить вас даже в том случае, если вы не получили результаты, на которые надеялись. Ведь то же правило 37 % терпит неудачу в течение 63 % времени. А использование алгоритма LRU для обслуживания кеша не гарантирует, что вы всегда получите то, что хотите. Да и ни один алгоритм не даст вам такой гарантии. Применение правила верхнего доверительного предела при анализе ситуации с целью выбора компромиссного решения вовсе не означает, что у вас не будет сожалений по этому поводу; просто разочарования и сожаления на вашем жизненном пути будут накапливаться чуть медленнее. Поскольку даже самая лучшая стратегия иногда дает плохие результаты, ученые-компьютерщики заботятся о том, чтобы различать процесс и результат. Если вы придерживаетесь наилучшего из возможных процессов, то вы уже сделали все возможное и не должны винить себя, если дела идут не так, как вы задумали.

Понятно, что именно результаты определяют заголовки новостей, формируя мир, в котором мы живем; поэтому так легко начать зацикливаться на них. Но процессы – то, что мы можем контролировать. Как выразился Бертран Рассел, «казалось, что мы должны принимать во внимание и вероятность, пытаясь оценить объективную справедливость… Объективно правильным поступком является тот, который, вероятно, будет наиболее удачным. Я бы дал этому такое определение: наимудрейший поступок». Мы, конечно, можем слепо надеяться на то, что нам повезет, но обязательно и сами должны стремиться быть мудрыми. Считайте, что это своего рода расчетливый стоицизм.

И, наконец, последнее. Мы можем провести четкую границу между задачами, которые допускают простые решения, и задачами, не имеющими таковых. Если вы взвинчены, потому что увязли в неразрешимом сценарии, помните, что даже беспорядочные поиски, попытки и метания могут помочь вам найти действенные решения. Тема, которая вновь и вновь всплывала в наших интервью с учеными-компьютерщиками, может быть охарактеризована так: иногда понятие «достаточно хорошо» на самом деле означает «достаточно хорошо». И еще… Понимание сложности ситуации может помочь нам сделать выбор между нашими проблемами: если у нас есть контроль над тем, с какими ситуациями мы столкнемся, мы должны выбирать те, что разрешимы.

Но нам приходится выбирать не только проблемы, встающие перед нами. Мы также выбираем проблемы, которые противопоставляем друг другу, будь то выбор метода проектирования города или способ формулировки вопроса. Это создает удивительный мостик между информатикой и этикой – в виде принципа, который мы называем «простота выбора».

Мы оба заметили интересный парадокс, когда дело доходило до планирования встречи и интервью, которые потом вошли в эту книгу. В общем и целом наши собеседники оказывались более доступными, когда мы просили о встрече, говоря «в следующий вторник между 13 и 14 часами», нежели в том случае, если просьба звучала как «в удобное вам время на следующей неделе». На первый взгляд это кажется абсурдным и напоминает те знаменитые исследования, когда люди в среднем жертвовали больше денег, чтобы спасти жизнь одного пингвина, чем 8000 пингвинов; или известный отчет о том, что люди в большей степени боятся умереть во время террористического акта, чем от любой другой причины, которую также можно отнести к терроризму. Представляется, что в случае с интервью люди просто предпочитали иметь дело с проблемой, связанной с ограничениями, даже если эти ограничения не стоили и выеденного яйца. Для них казалось менее трудным соединить наши предпочтения и ограничения, чем высчитывать лучший вариант, основываясь на собственных преференциях. В этом месте ученые-компьютерщики наверняка многозначительно кивнули бы, ссылаясь на сложность в понимании разницы между терминами «верификация» и «исследование», которая столь же велика, как и разница между «послушать хорошую песню» и «написать свою».

Один из неявных принципов информатики, как бы эксцентрично это ни звучало, утверждает, что вычисление – это плохо, ведь базовой директивой любого хорошего алгоритма является попытка свести к минимуму мыслительный труд. Когда мы взаимодействуем с другими людьми, мы представляем их как набор вычислительных задач, пытаясь не только оценить их скрытые запросы и требования, но и решить такие сложные задачи, как интерпретирование ими наших собственных намерений, убеждений и предпочтений. Следовательно, можно утверждать, что вычисленное понимание этих проблем проливает свет на природу человеческого взаимодействия. Мы можем стать «вычислительно добрыми» по отношению к другим, ограничивая рамки общения условиями, которые облегчат оппоненту основную вычислительную задачу. Этот факт имеет большое значение, потому что многие проблемы – особенно социальные, как мы это уже видели, – по своей сути весьма запутанны и трудноразрешимы.

Рассмотрим этот (слишком общий) сценарий. Группа друзей дискутирует, пытаясь решить, куда идти пообедать. Каждый из них, несомненно, имеет некоторые свои предпочтения, хотя и не жесткие. Но поскольку никто из них не хочет излагать эти предпочтения в явном виде, им приходится вместо этого вести светскую беседу, стараясь не накалять обстановку, а полунамеками подталкивать ее в нужное русло.

Они вполне могут прийти к решению, которое удовлетворило бы их всех. Но этот процесс может столь же легко пойти наперекосяк. Летом после окончания колледжа, например, Брайан с двумя друзьями ездили в Испанию. Поскольку это путешествие они планировали спонтанно, то в какой-то момент поездки вдруг стало ясно, что у них не будет времени, чтобы пойти посмотреть корриду, которой они интересовались и которую запланировали. А когда каждый из друзей пытался утешить других, они вдруг выяснили, что на самом деле никто из них и не хотел так уж обязательно посетить корриду. Просто в свое время, глядя на других, каждый из них с таким большим энтузиазмом поддерживал их желание увидеть бой быков, что это поднимало уровень общего энтузиазма, на который другие столь же безоглядно ориентировались.

Более того, даже такие кажущиеся безобидными слова «да, я гибкий» или «что вы собираетесь делать сегодня вечером?» скрывают темную вычислительную изнанку и должны заставить вас дважды подумать. Это хоть и выглядит по-доброму, но содержит два глубоко тревожных сигнала. Во-первых, они посылают опознавательный знак: «здесь проблема, но вы справитесь с этим». Во-вторых, не указывая свои предпочтения, они приглашают других смоделировать или представить их. И, как мы уже видели, моделирование мыслей других – одна из крупнейших вычислительных задач, с которой разум (или машина) могут когда-либо столкнуться.

В таких ситуациях простота выбора и привычный этикет несколько расходятся. Вежливое умалчивание ваших предпочтений ставит перед остальной частью группы вычислительную задачу по их выявлению. Напротив, вежливое обозначение ваших предпочтений («лично я склонен к Х, а вы что думаете?») помогает уменьшить мыслительную нагрузку при формировании группой коллегиального решения.

В качестве альтернативы вы можете попытаться хотя бы уменьшить, а не увеличивать количество вариантов, которые вы предлагаете обсудить товарищам, предложив им ограничить выбор, скажем, двумя-тремя ресторанами, а не десятью. Если каждый человек в группе исключит из обсуждения свой наименее предпочтительный вариант, это сильно упростит вычислительную задачу остальным. Если вы, приглашая кого-то на обед или планируя встречу, предложите один-два конкретных варианта, которые могут быть приняты или отклонены, это будет хорошей отправной точкой.

И не важно, что ни один из этих вариантов может не подойти; все вместе они могут существенно снизить вычислительные затраты при общении.

Простота выбора – это не просто принцип поведения; это также и дизайнерский подход.

В 2003 году ученый Джеффри Шаллит из Университета Уотерлу исследовал вопрос о том, монету какого достоинства следовало бы ввести в обращение в Соединенных Штатах, чтобы минимизировать количество монет, в среднем выдаваемых в качестве сдачи. Ответ его восхитил: это должна быть 18-центовая монета; и потому Шаллит воздержался от того, чтобы следовать рекомендациям, полученным с помощью этих вычислительных упражнений.

В настоящее время проблема выдачи сдачи решается убийственно просто: выдавая любое заданное количество денег, вначале нужно просто использовать как можно больше четвертаков, но, разумеется, так, чтобы не дать лишнего, затем выдать как можно больше 10-центовых монет и т. д. по убывающему номиналу. Например, 54 цента – это два четвертака и еще четыре цента. Но с 18-центовой монетой такой простой алгоритм уже не был бы оптимальным, ведь 54 цента лучше всего набирается с помощью трех 18-центовых монет, то есть мы обходимся вообще без четвертаков. На самом деле Шаллит заметил, что неудачный подбор достоинства монет превращает обычный процесс выдачи сдачи в нечто «по крайней мере, столь же трудное, как… задача коммивояжера». Это так сложно, что лучше обратиться к кассиру. Шаллит также обнаружил, что наибольшим спросом из всех монет пользовались бы либо двухцентовые, либо трехцентовые монеты. Это хоть и не так волнующе, как в случае с 18-центовой монетой, но почти столь же полезно; и удачно – с точки зрения дальней перспективы.

Более важный вывод заключается в том, что даже небольшие изменения в проекте могут радикально изменить вид когнитивной проблемы, которая встает перед пользователями. Например, архитекторы и градостроители могут выбирать, как они будут формировать окружающую среду; а это значит, что они могут выбирать, как они будут структурировать вычислительные проблемы, которые стоят перед нами.

Представим себе большую парковку со множеством полос для движения (такие парковки часто встречаются при стадионах и торговых центрах). Вы въезжаете на парковку, по одной из ее полос движетесь в направлении торгового центра, находите свободное место, но решаете ехать дальше, надеясь найти место поближе к торговому центру; но вам не везет, приходится разворачиваться и по соседней полосе ехать обратно. И даже после некоторого количества таких попыток вам все равно придется решать, является ли следующее найденное место подходящим, чтобы остановить выбор на нем, или оно расположено так далеко от входа, что вы все-таки будете пытаться найти следующее свободное место даже на третьей полосе.

Алгоритмическая перспектива данного примера может быть полезной не только для водителя, но и для архитектора-проектировщика. Она контрастирует с ужасным, хаотичным решением проблемы, когда среди множества вариантов предлагается единственная прямая дорога, но ведущая прочь от искомого места назначения. Ведь в том случае, когда любой въезжающий просто занимает первое свободное пространство, уже не требуется использовать ни теорию игр, ни анализ, ни правило «семь раз отмерь». Некоторые гаражи построены именно таким образом – с одной полосой, спиралью поднимающейся наверх. Вычислительная нагрузка для таких сооружений равна нулю: любой из заезжающих просто движется вперед и занимает первое же свободное место. И какими бы ни были возможные аргументы «за» и «против» строительства такого рода сооружений, одно можно сказать наверняка: подобные сооружения намного гуманнее относятся к своим пользователям.

Одной из главных целей проектировщиков должна быть защита людей от ненужного напряжения, сомнений, умственного труда. (И это не просто абстрактное утверждение; ведь если парковка торгового центра, например, становится источником стресса, то покупатели будут намного реже его посещать и потратят там меньше денег.) Городские планировщики и архитекторы каждый раз взвешивают, какие ресурсы будут задействованы различными вариантами дизайна: ограниченное пространство, материалы, деньги. Но они редко обращают внимание на то, насколько их решения будут напрягать вычислительные ресурсы людей, которые их соберутся использовать. Признание алгоритмических основ нашей повседневной жизни (в данном случае речь об оптимальной остановке) не только позволит водителям принимать наилучшие решения в той или иной ситуации, но в первую очередь будет подталкивать проектировщиков больше задумываться о проблемах, решать которые они вынуждают водителей.

Существует множество других случаев, когда такие подходы напрашиваются сами. Рассмотрим для примера политику ресторана по рассадке своих посетителей. Некоторые рестораны проводят политику открытого размещения, при которой посетители ждут поблизости, пока не освободится стол, и тогда его занимает первый из очереди. Другие рестораны спросят ваше имя, пригласят выпить в баре и уведомят вас, когда стол освободится. Эти подходы к управлению общедоступными, но дефицитными ресурсами прекрасно отображают различие между прокруткой и блокировкой в работе компьютера.

Если обрабатываемый поток запрашивает ресурс и не может получить его, то компьютер может либо разрешить этому потоку крутиться дальше, то есть продолжать проверку доступности, бегая по кругу и непрерывно спрашивая, доступен ли ресурс, либо блокировать доступ, то есть приостановить этот поток, выполнить другую задачу и потом вновь вернуться к первому потоку, делая это всякий раз, когда ресурс становится свободным. Для ученого-компьютерщика это реальный компромисс; выбор подхода определяется сравнением времени, затрачиваемого на постоянные запросы, и времени, теряемого на контекстные переключения. Но в ресторане не все ресурсы, к которым обращаются посетители, являются собственностью ресторана. Для ресторана подход «крутиться» помогает быстрее заполнить пустые столы, но для процессора, который, между прочим, больше изнашивается в таком режиме, это означает попадание в утомительную ловушку, в которой надо все время держать ухо востро и не терять бдительности.

В качестве параллельного примера рассмотрим вычислительную задачу, имеющую отношение к автобусной остановке. Если на остановке висит информационное табло, показывающее, что следующий автобус прибывает через 10 минут, то вы, скорее всего, примете решение, что его стоит подождать, чем – при отсутствии табло – захотите вновь и вновь принимать решение о том, стоит ли его ждать, рассматривая процесс неприбытия автобуса как поток косвенных данных о текущей ситуации. При этом все эти 10 минут вы можете время от времени бросать взгляд на дорогу («кручение»). (В случае городов, которые не оборудованы устройствами для информирования о предстоящем приезде автобуса, мы видели, что байесовский вывод может быть полезной альтернативой, если знать время отправления предыдущего автобуса.) Такие хитрые действия для упрощения расчетов могут значительно облегчить жизнь пассажиров.

Если мы можем быть добрее к другим, мы также можем быть более великодушными и к себе. И речь не только о простоте вычислений; все алгоритмы и идеи, которые мы обсуждали, смогут нам в этом помочь.

Интуитивный подход к процессу рационального принятия решений тщательно оценивает все возможные варианты и выбирает лучший. На первый взгляд компьютеры выглядят как идеальный образец такого подхода, поскольку тоже прокладывают свой путь через сложные вычисления до тех пор, пока не будет получен идеальный ответ. Но, как мы уже знаем, это устаревшая картина того, что делают компьютеры: такую роскошь можно объяснить лишь простотой проблемы. А в тяжелых случаях лучшие алгоритмы используются тогда, когда это имеет наибольший смысл с точки зрения снижения затрат времени; но это никоим образом не предполагает отказ от внимательного учета каждого фактора и проведения всех вычислений до самого конца. Жизнь слишком сложна для этого.

Почти в каждой области, которую мы рассматривали, мы видели, что чем больше факторов реального мира мы принимаем во внимание (касается ли это получения неполной информации при проведении собеседования с претендентами на работу; имеет ли это отношение к изменчивому миру при попытке решить дилемму; решаются ли конкретные, зависящие от других игроков задачи, когда мы пытаемся добиться цели), тем с большей вероятностью в конечном итоге мы оказываемся в ситуации, когда поиск идеального решения требует неоправданно много времени. И в самом деле, люди почти всегда сталкиваются лицом к лицу с тем, что информатика характеризует как трудный случай. В противовес такого рода тяжелым случаям эффективные алгоритмы допускают смещение в пользу более простых решений, разменивая стоимость возможной ошибки на стоимость задержки, и используют свой шанс.

Это не уступки, на которые мы идем, когда не можем быть рациональными. Это как раз и означает быть рациональным.

Благодарности

В первую очередь хочу выразить благодарность исследователям, практикам и экспертам, которые смогли найти время для обсуждения с нами своей работы и более широких перспектив: Дейву Окли, Стиву Альберту, Джону Андерсону, Джеффу Этвуду, Нейлу Бирдену, Рику Белью, Дональду Берри, Авриму Блуму, Лоре Карстенсен, Нику Четеру, Стюарту Чеширу, Парасу Чопре, Герберту Кларку, Рут Корбин, Роберту Кринджли, Питеру Деннингу, Реймонду Донгу, Элизабет Дюпьи, Джозефу Дуаеру, Дэвиду Эстлунду, Кристине Фанг, Томасу Фергюсону, Джессике Флек, Джеймсу Фогарти, Джину Фокс Три, Роберту Франку, Стюарту Геману, Джиму Геттису, Джону Гиттинсу, Элисон Гопник, Деборе Гордон, Майклу Готтлибу, Стиву Хейнову, Эндрю Харбисону, Айзеку Хекстону, Джону Хеннеси, Джеффу Нинтону, Дэвиду Хиршлиферу, Джордану Хо, Тони Хоаре, Камалю Джейну, Крису Джонсу, Уильяму Джонсу, Лесли Кейлблинг, Дэвиду Каргеру, Ричарду Карпу, Скотту Киркпатрику, Байрону Ноллсу, Кону Коливасу, Майклу Ли, Яну Карелу Ленстре, Полу Линчу, Престону Макафи, Джею Макклелланду, Лоре Альберт Маклей, Полу Милгрому, Энтони Миранде, Майклу Митценмахеру, Розмари Нагел, Кристофу Ньюману, Ноаму Нисану, Юкио Ногучи, Питеру Норвигу, Кристосу Пападимитриу, Меган Петерсон, Скотту Плагенхофу, Аните Померанц, Балажи Прабхакару, Кирку Прюсу, Амнону Рапопорту, Рональду Ривесту, Рут Розенхолтц, Тиму Рауфгардену, Стюарту Расселу, Роме Шах, Дональду Шупу, Стивену Скиене, Дэну Смиту, Полу Смоленски, Марку Стейверсу, Крису Стуччио, Майлинду Тамбе, Роберту Таржану, Джеффу Торпе, Джексону Толинсу, Майклу Трику, Хэлу Вариану, Джеймсу Уэйру, Длинноволосому Воину, Стиву Уиттакеру, Эви Виджерсон, Джейкобу Уобброку, Джейсону Вулфу и Питеру Зиджстре.

Отдельная благодарность публичной библиотеке округа Кинг, публичной библиотеке Сиэтла, Северному Региональному библиотечному отделению, библиотекам Университета Беркли за доступ к их работе. Спасибо всем тем, кто ответил на наши письменные запросы и указал нам новые направления для исследований, а именно Шэрон Гойтц, Майку Джонсу, Тевье Крынски, Элифу Кушу, Фалку Лидеру, Стивену Липпману, Филипу Могану, Сэму Маккензи, Гарро Рантеру, Дэррилу Силу, Стивену Стиглеру, Кевину Томпсону, Питеру Тодду, Саре Уотсон и Шелдону Зедеку.

Спасибо тем многим, благодаря которым нами был получен ряд ценных инсайтов, причем это далеко не полный список: Эллиот Агиляр, Бен Бакус, Лайет Бердуго, Дейв Блей, Бен Блум, Джои Дамато, Ева де Вальк, Эмили Друри, Питер Экерсли, Джесс Фармер, Алан Файнберг, Крис Финн, Лукас Фолья, Джон Гонт, Ли Джильман, Мартин Глазьер, Адам Гольдштейн, Сара Гринлиф, Графф Хейли, Бен Йертманн, Грег Йенсен, Генри Каплан, Шармин Карим, Филк Лидер, Пол Линке, Роуз Линке, Таня Ломброзо, Брендон Мартин-Андерсон, Сэм Маккензи, Илон Маск, группа «Ньюрайт» Колумбийского университета, Ханна Ньюман, Эби Отман, Сью Пенни, Диллон Планкет, Кристин Поллок, Диего Понториеро, Ави Пресс, Мэтт Ричардс, Энни Роач, Фелисити Роуз, Андерс Сандберг, Клер Скрейбер, Гаэль и Рик Стенли, Макс Шрон, Чарли Симпсон, Наджиб Тарази, Джош Тененбаум, Питер Тодд, Питер ван Уесеп, Шон Вен, Джеред Вирбицки, Майа Уилсон, Кристен Янг.

Спасибо ряду доступных и бесплатных программных приложений, которые сделали нашу работу возможной: Git, LaTeX, TeXShop и TextMate 2 для начинающих.

Спасибо всем тем, кто поделился с нами своими знаниями и умениями: Линдси Баггетт, Дэвиду Бурджину и Тане Ломброзо за расследование, проведенное по библиографиям и архивам. Спасибо библиотеке Кембриджского университета за разрешение напечатать замечательную страницу из дневника Дарвина и Майклу Ленгану за ее блестящую реставрацию.

Спасибо Генри Янгу за наш четкий портрет. Спасибо всем тем, кто читал наброски этой книги и дал свои бесценные заключения по ходу написания работы: Бену Блуму, Винту Серфу, Элизабет Кристиан, Ренди Кристиану, Питеру Деннингу, Питеру Экерсли, Крису Финну, Рику Флетчеру, Адаму Голдштейну, Элисон Гопник, Саре Гринлиф, Граффу Хейли, Грегу Йенсену, Чарльзу Кемпу, Рафаэлю Ли, Роуз Линке, Тане Ломброзо, Ребеке Отто, Диего Понториеро, Дэниэлу Рейхману, Мэтту Ричардсу, Филу Ричерме, Мелиссе Рисс Джеймс, Кате Савчук, Самиру Шариффу, Дженет Силвер, Наджибу Тарази и Кевину Томпсону.

Эта книга стала неизмеримо лучше благодаря их дополнениям и мыслям. Спасибо нашему агенту Максу Брокману и команде Brockman Inc. за их потрясающую проницательность и энергичность в работе. Спасибо нашему редактору Григори Товбису и команде Henry Holt за неутомимый и полный энтузиазма труд по максимальному совершенствованию нашей книги и оповещению всего мира о ее выходе.

Спасибо Тане Ломброзо, Вивиане Ломброзо, Энрике Ломброзо, Джуди Гриффитс, Роду Гриффитсу и Джульет Морено, которые принимали эстафету в многочисленных ситуациях, а также семье Ломброзо – Гриффитс и сотрудникам лаборатории вычислительной когнитивистики при Университете Беркли и всем, кто проявил терпение и деликатность в вопросах, связанных с работой над книгой.

Отдельная благодарность различным институтам и организациям, которые предложили непосредственную или косвенную помощь и содействие. В первую очередь благодарим Калифорнийский университет в Беркли, программу приглашенных экспертов Института когнитивных наук и наук о мозге за продуктивную двухлетнюю работу и факультет психологии за непрерывную поддержку. Спасибо бесплатной библиотеке Филадельфии, библиотеке Калифорнийского университета в Беркли, библиотеке Института механики и публичной библиотеке Сан-Франциско за предоставление помещения и доступа к фолиантам. Спасибо библиотеке изобразительных искусств Фишера при Университете Пенсильвании за то, что пускали нестудентов день за днем. Отдельная благодарность корпорации Yaddo, MacDowell Colony и Port Townsend Writers' Conference за красивые, вдохновляющие резиденции. Спасибо USPS Media Mail за то, что сделали максимально возможным наш образ жизни странствующих летописцев. Спасибо Обществу когнитивных наук и Ассоциации по развитию искусственного интеллекта за приглашения к участию в ежегодных конференциях, на которых и были наработаны многие связи: межличностные, междисциплинные и межполушарные. Спасибо кафе Borderlands – единственному месту в Сан-Франциско, которое нам известно, где можно выпить кофе в тишине без музыки. Дальнейшего вам процветания. Спасибо Роуз Линке, спасибо Тане Ломброзо – нашим читателям, партнерам, единомышленникам, вдохновителям, как всегда.

Сноски

1

В переводе М. Канна. – Прим. ред.

2

Жирным шрифтом выделены названия алгоритмов, которые будут описаны в книге.

3

В рамках этой стратегии существует 33 %-ная вероятность того, что мы откажем лучшему кандидату, и 16 %-ная вероятность – что мы никогда не встретим лучшего кандидата. Конкретно, есть шесть точных возможных последовательностей для трех кандидатов: 1–2–3, 1–3–2, 2–1–3, 2–3–1, 3–1–2, и 3–2–1. Если мы начнем отбор со второго претендента, то успех вероятен только в трех комбинациях из шести (2–1–3, 2–3–1, 3–1–2), соответственно в трех остальных случаях нас постигнет неудача – дважды из-за нашей излишней взыскательности (1–2–3, 1–3–2) и один раз по причине неразборчивости (3–2–1).

4

Необязательно строго 37 %. Точнее, математически оптимальная доля кандидатов, которых необходимо отсмотреть, рассчитывается по формуле 1/е (е – та же математическая константа, 2,71828…, которая появляется при расчете сложных процентов). Однако вам нет необходимости знать наизусть все 12 десятичных знаков числа е. На самом деле любое значение от 35 до 40 % максимально приближает вас к успеху.

5

Более подробно вычислительные риски теории игр рассматриваются в главе 11.

6

Краткое содержание данного фрагмента: делай ноги, пока Гиттинс хорош.

7

Это далеко не единственный рекорд Брадака. Он также может освободиться из трех пар наручников, находясь под водой, примерно за то же время.

8

На самом деле процесс пузырьковой сортировки занимает ничуть не меньше времени, поскольку в среднем книги будут находиться на n/2 позиций на полке дальше от тех, где должны оказаться в итоге. Программист все равно округлит n/2 осмотра n-ного количества книг на полке до O(n2).

9

Иногда, например в боксе, применяется другой подход. Чтобы боксеру не приходилось снова выходить на ринг после недавнего нокаута (что небезопасно с медицинской точки зрения), на соревнованиях вручаются сразу две бронзовые медали.

10

Стоит отметить, что расписание игр в турнире March Madness сознательно строится так, чтобы смягчить этот недостаток алгоритма. Казалось бы, самой большой проблемой в турнире на выбывание, как мы уже отмечали, должен быть сценарий, при котором какая-нибудь команда, будучи побежденной и располагаясь в нижней (несортированной) части таблицы, становится затем серебряным призером. Ассоциация принимает это во внимание и организовывает посев команд с высоким рейтингом так, чтобы топовые команды не могли встретиться друг с другом на ранних стадиях турнира. Такой подход к посеву команд оказывается оправданным и более надежным в большинстве случаев. В истории турнира еще не было случая, когда посеянная под шестнадцатым номером команда вдруг побеждала бы команду, посеянную под первым номером.

11

Однако по неизвестным причинам фильм «Мой личный штат Айдахо» является фаворитом в штате Мэн.

12

Вы можете заставить свой компьютер показывать электронные документы такой же «стопкой». По умолчанию, система просмотра файлов выводит папки и файлы в алфавитном порядке, но принцип замещения по давности использования советует вам отказаться от этого и просматривать файлы по критерию «последний открытый», а не по имени файла. Тогда то, что вы ищете, будет почти всегда наверху списка.

13

Аллен Д. Как привести дела в порядок. Искусство продуктивности без стресса. – М.: Манн, Иванов и Фербер, 2014.

14

15

Фьоре Н. Легкий способ перестать откладывать дела на потом. – М.: Манн, Иванов и Фербер, 2013.

16

Партной Ф. Подожди! Как отложить решение до последнего момента и… победить. – М.: АСТ: Neoclassic, 2015.

17

Что примечательно, руководитель группы по управлению программным обеспечением «Марсопроходца» считал, что проблема заключается в «давлении дедлайнов» и в том, что во время разработки программного обеспечения устранение именно этой проблемы сочли низкоприоритетной задачей. Таким образом, коренная причина, по сути, стала отражением самой задачи.

18

Такой отпуск предоставляется на год преподавателям ряда университетов и колледжей в США с сохранением заработной платы.

19

Более подробно мы рассмотрим труднорешаемые задачи в главе 8.

20

На самом деле все не так плохо, как может показаться при беглом взгляде на статистику, поскольку некоторые задачи предполагают разработку расписания работы для множества устройств, а это больше напоминает управление группой подчиненных, а не просто вашим календарем.

21

Перевод М. Лозинского.

22

Здесь есть определенная ирония: когда речь идет о времени, даже осознание того, что наше появление ничего особенно не меняет, не мешает нам представлять себя в самом центре явления.

23

Это и есть самое простое проявление закона Лапласа: он предполагает, что наличие 1 или 10 % выигрышных билетов так же вероятно, как и наличие 50 или 100 %. Формула

может показаться наивной в своем предположении, что после покупки единственного проигрышного лотерейного билета у вас все еще остается

шанса на то, что следующий ваш билет выиграет. Но этот результат как нельзя лучше отражает ваши шансы в лотерее, в которую вы играете, не обладая вообще никакой информацией.

24

LASSO – least absolute shrinkable and selection operator.

25

Для тех, кто обладает уверенными знаниями в математике: это сумма абсолютных значений (модулей) коэффициентов переменных.

26

Авторы вышедших в издательстве «Манн, Иванов и Фербер» книг «Rework» и «Remote».

27

Может показаться странным при условии, что O(n2) казалось таким ужасающим в контексте сортировки, называть эту формулу эффективной в данном случае. Но правда в том, что даже экспоненциальное время с маленьким числом основания, как, например, O(2n), стремительно становится катастрофически огромным при сравнении с полиномиальным временем с большим основанием, как, например, n10. Экспоненциал всегда будет превосходить полиномиал в некоторых задачах. В этом случае, если вы сортируете более нескольких десятков элементов, n10 выглядит как прогулка в парке по сравнению с 2n. После работы Кобхэма и Эдмондса эта пропасть между полиномиалами и экспоненциалами всегда служила маркером выхода за рамки области.

28

Американский игрок в гольф, предпочитавший смешивать чай со льдом и лимонад. В 1960 году он заказал такой напиток в баре, сидевшая рядом женщина тоже попросила «напиток Палмера», так название и закрепилось. – Прим. ред.

29

Интересно отметить, что некоторые из этих экспериментов дали гораздо более точный расчет величины числа π, чем можно было бы ожидать от случайного стечения обстоятельств. И это наводит на мысль, что они либо преднамеренно выбрали хорошую точку остановки, либо подделали все результаты. Например, в 1901 году итальянский математик Марио Лаццарини предположительно произвел 3408 бросков и получил π≈3,1415929 (фактическое отношение числа π к семи знакам после запятой – 3,1415927). Но, если бы количество раз, когда иголка пересекла линию, было бы достигнуто одним броском, получившееся значение было бы не столь симпатичным (3,1398 или 3,1433), что делает результаты Лаццарини подозрительными. Лаплас счел бы уместным использование правила Байеса, чтобы подтвердить, что данные результаты вряд ли были получены в ходе реального эксперимента.

30

Нет смысла проверять простые числа, которые больше квадратного корня исходного числа, потому что если множитель числа больше его квадратного корня, то по определению у него также должен быть соответствующий множитель меньше его квадратного корня (то есть вы бы его уже вычислили). Если вы ищете множители числа 100, например, то любой множитель больше 10 будет спарен с множителем меньше 10: 20 соотносится с 5, 25 с 4 и т. д.

31

Числа-близнецы – пара простых чисел, отличающихся на 2, например 5 и 7.

32

Обратите внимание, что мы намеренно взяли с сайта одну из первых историй, а не прочитали их все перед тем, как выбрать одну, что противоречило бы цели.

33

Американская компания, поставщик фильмов и сериалов на основе потокового мультимедиа. – Прим. ред.

34

На самом деле это краеугольный камень всех современных компьютеров; это была задача об остановке, которая вдохновила Тьюринга формально установить границы вычислений с помощью того, что мы теперь называем машиной Тьюринга.

35

Бинмор выдвигает еще одну идею: такие игры, как дилемма заключенного, казалось бы, должны уничтожить довод Иммануила Канта, что нравственность заключается в том, что всегда следует поступать так, как вы хотели бы, чтобы поступали другие (Кант назвал это «категорический императив»). Категорический императив дал бы нам лучший результат в дилемме заключенного, чем стратегия равновесия, но нельзя обойти тот факт, что этот результат не был бы стабильным.

36

В своей книге «Things a Computer Scientist Rarely Talks About» «отец информатики» Дональд Кнут рассказывает, как его понимание Бога соотносится с его работой в области компьютерных наук. – Прим. ред.